ผลกระทบของการประมาณปัจจัย

$n\times n$ $\log^2(n)$ $1$ $\left\|A\right\|\leq 1$ $1/\text{poly}$

ในแง่นี้การประมาณ "ถูกต้อง" ที่จะขอ - multiplicative หรือสารเติมแต่งคืออะไร (ดูหนึ่งในคำตอบด้านล่าง)

determinant cc.complexity-theory

สิ่งเหล่านี้ควรจะเป็นบน Real RAM หรือไม่?

$\:$

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคำถามอย่างถูกต้อง แต่ถ้าคุณอ้างถึงความแม่นยำของเลขคณิตแล้วฉันจะสมมติว่าแต่ละจำนวนจริงถูกเก็บไว้ใน log (n) บิต

— Lior Eldar

ด้วยความเสี่ยงที่จะไม่เข้าใจรายละเอียดของคำถามอย่างถูกต้อง: ความสามารถในการประมาณปัจจัยภายในปัจจัยใด ๆ จำเป็นต้องสามารถตัดสินใจได้ว่าตารางเมทริกซ์นั้นมีเอกพจน์หรือไม่ซึ่งควรมีผลกระทบบางอย่าง

สำหรับสิ่งหนึ่งมันให้การทดสอบแบบสุ่มว่ากราฟทั่วไปมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ (ผ่าน Tutte matrix และ Schwarz-Zippel) ฉันไม่คิดว่าอันหลังเป็นที่รู้จักกันใน logspace แบบสุ่ม (เช่น Complexity Zoo แสดงการจับคู่ bipartite ที่สมบูรณ์แบบซึ่งยากสำหรับ NL)

— แมกนัสWahlström
แหล่งที่มา

ขอบคุณแมกนัสแม้ว่าฉันจะคิดถึงข้อผิดพลาดการเติมสารเติมแต่ง แต่ในกรณีนี้คุณไม่จำเป็นต้องบอกว่าเมทริกซ์นั้นเอกพจน์หรือไม่ การประมาณหลายระดับอาจเป็นที่สนใจดังนั้นตอนนี้ฉันไม่แน่ใจว่าคำจำกัดความที่ดีที่สุดคืออะไร

— Lior Eldar

@ LiorEldar แน่นอนว่าแม้จะมีข้อผิดพลาดการประมาณค่าเพิ่มเติมถ้ารายการในเมทริกซ์เป็นจำนวนเต็มและข้อผิดพลาดเพิ่มเติมที่ถูกผูกไว้น้อยกว่า 0.5 คุณมีการทดสอบความผิดปกติที่ไม่สามารถเข้าใจได้หรือไม่

— Peter Taylor

สวัสดีปีเตอร์เทย์เลอร์ฉันคิดว่าจะพูดความแม่นยำ 0.5 ครั้งแรกที่คุณต้องการอย่างใดเพื่อระบุบรรทัดฐานผู้ประกอบการที่ใหญ่ที่สุดที่คุณสนับสนุน ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่นถ้าใส่ของคุณมี

แล้วความผิดพลาดของคุณเติมแต่งปัจจัยที่สามารถเป็น

)

ดังนั้นแม้ว่าอินพุตของคุณจะถูกกำหนดให้คุณเป็นจำนวนเต็มที่ถูกตัดทอนแต่ละส่วนของ

บิตจากนั้นค่ามาตรฐานสูงสุดที่คุณจะต้องประมาณค่าดีเทอร์มีแนนต์จะเป็น

ในรูปของจำนวนเต็มหมายความว่า

A

$A$

‖ A ‖ \leq 1

$\left\|A\right\|\leq 1$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

l o g (n)

$log(n)$

n^{n}

$n^n$

0.5

$0.5$ ข้อผิดพลาดประมาณมีขนาดเล็กกว่า

เทียบกับ

‖

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

‖ A ‖

$\left\|A\right\|$

— Lior Eldar

ฉันคิดว่าปัญหาเกี่ยวกับข้อผิดพลาดเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับบรรทัดฐานคือมันไม่ได้ปรับขนาดอย่างแท้จริง ว่าฉันมีอัลกอริทึมที่ให้ข้อผิดพลาดประมาณ

เทียบกับ

. ตอนนี้ขอ

เป็น

บล็อกเมทริกซ์ทแยงมุมเกิดขึ้นโดยใช้

สำเนาของเป็นบล็อก จากนั้น

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

| | A | |

$||A||$

A^{'}

$A'$

n^{3} \times n^{3}

$n^3 \times n^3$

n^{2}

$n^2$

A

$A$

| | A | | = | | A^{'} | |

$||A||=||A'||$ แต่

ดังนั้น a

ข้อผิดพลาดสารเติมแต่งสำหรับ

เครื่องชั่งน้ำหนักกับ

ข้อผิดพลาดสารเติมแต่งสำหรับ

)

det (A^{'}) = det (A)^{n^{2}}

$\det(A')=\det(A)^{n^2}$

| | A^{'} | | / p o l y (n)

$||A'||/poly(n)$

d e t (A^{'})

$det(A')$

O (1)

$O(1)$

d e t (A)

$det (A)$

— Kevin Costello