ความซับซ้อนของปัญหาการครอบคลุมช่วงเวลา

พิจารณาต่อไปนี้ปัญหา$Q$ n k [ l i , r i ] 1 ≤ l i ≤ r i ≤ 2 n 2 n d 1 , … , d 2 n ≥ 0 [ l i , r i ] i = 1 , … , 2 n d i i : เราจะได้รับจำนวนเต็มและช่วงกับ2n เรายังจะได้รับจำนวนเต็ม0 ภารกิจคือการเลือกช่วงเวลาต่ำสุดเช่นนั้นสำหรับทุกๆ , อย่างน้อยช่วงที่มีจำนวนเต็มถูกเลือก$n$$k$$[l_i,r_i]$$1\leq l_i\leq r_i\leq 2n$$2n$$d_1,…,d_{2n}\geq 0$$[l_i,r_i]$$i=1,…,2n$$d_i$$i$

ไม่ยากที่จะเห็นว่าสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม (ดูด้านล่าง)$Q$

ตอนนี้ให้พิจารณาปัญหาที่$Q’$แก้ไขเล็กน้อยต่อไปนี้ : อินพุตของปัญหาเหมือนกันก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตามตอนนี้ภารกิจคือการเลือกช่วงเวลาขั้นต่ำเช่นสำหรับทุก , อย่างน้อยช่วงเวลาที่มีจำนวนเต็มหรืออย่างน้อยช่วงเวลาที่ประกอบด้วย จำนวนเต็มถูกเลือก (ด้วย“ หรือ” เราหมายถึงตรรกะปกติหรือ)d 2 i - 1 2 i - 1 d 2 i 2 $i=1,…,n$$d_{2i-1}$$2i-1$$d_{2i}$$2i$

คำถามของฉัน:สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามหรือไม่$Q’$

นี่คือสองวิธีในการแก้ปัญหาอย่างมีประสิทธิภาพ:$Q$

อัลกอริทึมโลภง่าย: กวาดผ่านช่วงเวลาจากซ้ายไปขวาและเลือกเป็นเพียงช่วงเวลาไม่กี่เท่าที่จำเป็นในการ“ตอบสนองความว่า” ตัวเลขd_iเมื่อใดก็ตามที่มีตัวเลือกระหว่างช่วงเวลาที่แตกต่างกันให้เลือกหนึ่งรายการที่มีจุดสิ้นสุดด้านขวาสูงสุด$d_i$

โปรแกรมจำนวนเต็ม: สำหรับแต่ละช่วงเวลาแนะนำตัวแปรการตัดสินใจด้วย iff เลือกช่วงเวลา โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อลดภายใต้ข้อ จำกัดd_i เมทริกซ์ข้อ จำกัด ของโปรแกรมเลขจำนวนเต็มนี้มีคุณสมบัติตัวต่อเนื่องกันดังนั้นการโปรแกรมเชิงเส้นของโปรแกรมนี้จึงมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็มที่ดีที่สุดx i ∈ { 0 , 1 } x i = 1 x 1 + … + x k ∑ j : ฉัน∈ [ l j , r j ] x j ≥ d $[l_i,r_i]$$x_i\in\{0,1\}$$x_i=1$$x_1+…+x_k$$\sum_{j:i\in[l_j,r_j]} x_j\geq d_i$

ขอบคุณสำหรับคำแนะนำใด ๆ และสำหรับการอ้างอิง!

ทุกอินสแตนซ์ของ Q สามารถแปลงร่างเป็นอินสแตนซ์ของปัญหาการตั้งค่าหลายชุดซึ่งที่ตั้งเป็นช่วงเวลาซึ่งครอบคลุมลำดับของคะแนนความต้องการ (= จำนวนเต็ม ) ตามลำดับd $[l_i,r_i]$$d_i$