การแยก Logspace จากเวลาพหุนาม

24

เป็นที่ชัดเจนว่าปัญหาใด ๆ ที่ decidable ใน logspace กำหนด ( ) ทำงานในเวลาพหุนามมากที่สุด ( ) มีความมั่งคั่งของการเรียนซับซ้อนระหว่างเป็นและPตัวอย่าง ได้แก่ , , , , ,ฉัน เป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าP $L$ $P$ $L$ $P$ $NL$ $LogCFL$ $NC^i$ $SAC^i$ $AC^i$ $SC^i$ $L \neq P$

ในตอนหนึ่งของฉันบล็อกโพสต์ที่ผมกล่าวถึงสองวิธี (พร้อมกับคาดเดาที่สอดคล้องกัน) ที่มีต่อการพิสูจน์P วิธีการทั้งสองนี้ขึ้นอยู่กับโปรแกรมการแยกสาขาและห่างกัน 20 ปี !! จะมีวิธีการอื่น ๆ และ / หรือการคาดเดาไปทางแยกจาก (หรือ) แยกชั้นเรียนกลางระหว่างและP $L \neq P$ $L$ $P$ $L$ $P$

cc.complexity-theory lower-bounds space-bounded

— พระอิศวร Kintali
แหล่งที่มา

คิดว่าการบีบอัดปัญหาของลำดับการรัน TMนั้นเกี่ยวข้องกัน

— vzn

21

ขอบเขตความลึกของวงจรต่ำกว่า (เทียบเท่าขนาดสูตรต่ำกว่าขอบเขต) อาจเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติมากที่สุด: Super-ความลึกต่ำสุดที่ถูก จำกัด ขอบเขตสำหรับปัญหาในจะแยกจากและ เทคนิคการสื่อสารที่ซับซ้อนของ Karchmer-Wigderson อาจเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับสิ่งนั้น $\log^2(n)$ $\mathsf P$ $\mathsf P$ $\mathsf L$

— โนม
แหล่งที่มา

3

อุปสรรคการพิสูจน์โดยธรรมชาติจะไม่เป็นปัญหาที่นี่หรือไม่ ฉันสงสัยว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น

— Suresh Venkat

6

ใช่ดูเหมือนว่าหลักฐานดังกล่าวจะต้องเป็น "ไม่เป็นธรรมชาติ" แต่เท่าที่ฉันเข้าใจดังนั้นจะต้องมีวิธีการอื่น ๆ ที่กล่าวถึงในโพสต์บล็อก

— โนม

8

[1] พิสูจน์ขอบเขตล่างสำหรับกรณีของ mincost-flow ซึ่งบิตขนาดมีขนาดใหญ่พอสมควร (แต่ยังคงเป็นแบบเส้นตรง) เทียบกับขนาดของกราฟและยิ่งกว่านั้นพิสูจน์ได้ว่าถ้าใครสามารถแสดงขอบเขตล่างเดียวกันสำหรับอินพุตของพอเล็ก ขนาดบิตมันจะแปลว่า (และด้วยเหตุนี้ ) นี่คือในระดับสูงเช่นเดียวกับคำตอบของ Noam ที่เกี่ยวกับการพิสูจน์ขอบเขตความลึกของวงจรที่ต่ำกว่า (= ขอบเขตสูตรที่มีขนาดต่ำกว่า) แต่ดูเหมือนจะเป็นทิศทางที่แตกต่างจากเกม Karchmer-Wigderson $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$

ในรายละเอียดเพิ่มเติม [1] จะแสดงรายการต่อไปนี้ ใช้สัญลักษณ์เดียวกับในกระดาษให้แทนภาษา mincost-flow เราสามารถคิดถึง mincost-flow language บน -vertex graphs แทนในฐานะเซตย่อยของสำหรับสำหรับบางคนด้วยจำนวนเต็มที่เข้ารหัสโดยบิตสตริง Letแสดงว่าชุดของเวกเตอร์ทั้งหมดที่อยู่ในที่แต่ละจำนวนเต็มประสานงานมีบิตขนาดที่มากที่สุด รับฟังก์ชั่น (เราจะระบุชนิดของฟังก์ชั่นในภายหลัง) เราบอกว่าแยกภายใน $L$ $n$ $L(n)$ $\mathbb{Z}^{k(n)}$ $k(n) = \Theta(n^2)$ $B(a,n)$ $\mathbb{Z}^{k(n)}$ $an$ $f(x_1, \dotsc, x_k)$ $f$ $L(n)$ $B(a,n)$ ถ้าจุดในจะตรงผู้เช่นว่า1 $L(n) \cap B(a,n)$ $\vec{x} \in B(a,n)$ $f(\vec{x}) = 1$

ข้อเสนอ [1, ข้อเสนอ 7.3] หากถูกแยกในโดยโดยที่คือเมทริกซ์ขนาดซึ่งเป็นรายการ (ซับซ้อน) เชิงเส้นการรวมกันของและเช่นที่แล้ว{NC} $L(n)$ $B(a,n)$ $\det(M(\vec{x}))$ $M$ $\leq 2^{n/d}$ $x_1, \dotsc, x_k$ $a < 1/(2d)$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$

ความสัมพันธ์ระหว่าง bit-boundและขนาดที่ถูกผูกไว้นั้นสำคัญมาก ในกระดาษเดียวกันเขาแสดง: $an$ $2^{n/d}$

ทฤษฎีบท [1, ทฤษฎีบท 7.4] สมมติฐานของข้อเสนอก่อนหน้านี้ถือสำหรับทุกขนาดใหญ่พอบิตขอบเขต $a$

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทดังกล่าวใช้ค้อนหนักบางตัวเป็นกล่องดำ แต่เป็นระดับประถมศึกษา (หมายเหตุ: "ระดับต้น" " ง่าย ") กล่าวคือมันใช้ Milnor-Thom ที่ถูกผูกไว้กับจำนวนส่วนประกอบที่เชื่อมต่อของความหลากหลาย semialgebraic จริง (เช่นเดียวกับที่ใช้โดย Ben-Or เพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำลงของ Element Distinctness / Sorting ในแบบจำลองการคำนวณต้นไม้จริง) การสลายตัวของ Collins ใช้เพื่อพิสูจน์การกำจัดปริมาณที่มีประสิทธิภาพมากกว่า ) การโต้แย้งตำแหน่งทั่วไปและแนวคิดอื่น ๆ เล็กน้อย อย่างไรก็ตามเทคนิคเหล่านี้ทั้งหมดขึ้นอยู่กับระดับของพหุนามที่เกี่ยวข้องและไม่สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์เหมือนในข้อเสนอข้างต้น (ที่จริง [1, Prop. 7.5] สร้างพหุนาม $\neq$ $\mathbb{R}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ $g$ ในระดับเดียวกับเช่นว่าข้อเสนอข้างต้นล้มเหลวด้วยแทนที่ ) การวิเคราะห์สถานการณ์นี้และมองหาอสังหาริมทรัพย์ที่เกินระดับเป็นหนึ่งในแรงบันดาลใจของ GCT $\det$ $g$ $\det$

[1] K. Mulmuley ต่ำกว่าขอบเขตในรูปแบบขนานโดยไม่ต้องดำเนินงาน Bit SIAM J. Comput., 28 (4), 1460–1509, 1999

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

8

มันทำให้วันของฉันเมื่อเจมส์เพื่อนของฉันบอกฉันว่าหัวข้อนี้จากนานมาแล้วถูก rekindled ขอบคุณสำหรับสิ่งนั้น.

นอกจากนี้ฉันยังต้องการที่จะแบ่งปันการอ้างอิงที่น่าสนใจบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับ L vs Log (DCFL) vs Log (CFL) ขอให้มีความสุขมาก ๆ ในวันนี้!

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-14031-0_35#page-1

http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-10003-2_89?no-access=true

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-00982-2_42#page-1

http://www.researchgate.net/publication/220115950_A_Hardest_Language_Recognized_by_Two-Way_Nondeterministic_Pushdown_Automata

— Michael Wehar
แหล่งที่มา

7

กระดาษใหม่นี้เพิ่งถูกเน้นโดย Luca Aceto ในบล็อกของเขาเป็นกระดาษนักเรียนที่ดีที่สุด EATCS ที่ ICALP 2014 & มีวิธีใหม่ในการแยก NL / P:

ผลการทดสอบความแข็งสำหรับจุดแยกแบบไร้สันติ Wehar

เราทำการตรวจสอบโครงสร้างของ Karakostas, Lipton และ Viglas (2003) อีกครั้งอย่างรอบคอบเพื่อแสดงให้เห็นว่าปัญหาการไม่แยกความว่างเปล่าของ DFA (จำกัด ขอบเขตออโตมาตา) ของ DFA นั้นแสดงถึงความซับซ้อนของคลาส NL โดยเฉพาะอย่างยิ่งหาก จำกัด ไว้ที่ตัวอักษรไบนารีเทปงานตัวอักษรจะมีค่าคงที่และซึ่งสำหรับทุก ๆสี่แยกไม่ใช่ความว่างเปล่าสำหรับ DFA นั้นสามารถแก้ไขได้ในพื้นที่แต่ไม่สามารถแก้ไขได้ใน พื้นที่ เราปรับโครงสร้างการก่อสร้างให้เหมาะสมเพื่อแสดงให้เห็นว่าจำนวนจุดตัดของ DFA ที่ไม่ใช่ความว่างเปล่าไม่สามารถแก้ไขได้ใน $c_1$ $c_2$ $k$ $k$ $c_1 k \log(n)$ $c_2 k \log(n)$ $o \left( \frac{n}{\log(n) \log(\log(n))} \right)$ ช่องว่าง ยิ่งไปกว่านั้นถ้ามีฟังก์ชั่นเช่นนั้นสำหรับทุก ๆสี่แยกไม่ว่างเปล่าสำหรับ DFA นั้นสามารถแก้ไขได้ในเวลาดังนั้น P ≠ NL หากไม่มีค่าคงที่ เช่นนั้นสำหรับทุก ๆจุดตัดไม่ใช่ความว่างเปล่าสำหรับ DFA นั้นสามารถแก้ไขได้ใน เวลาเวลา P ก็ไม่มีพื้นที่ซับซ้อนใด ๆ ที่มีขนาดใหญ่กว่า NL $f(k) = o(k)$ $k$ $k$ $n^{f(k)}$ $c$ $k$ $k$ $n^c$

— vzn
แหล่งที่มา