มีส่วนร่วมในปัญหาการแต่งงานที่มั่นคงหรือไม่?

นี่อาจฟังดูคล้ายกับคำถามทางสังคมศาสตร์มากกว่าคำถาม TCS แต่ไม่ใช่ เมื่ออ่าน " อัลกอริทึมแบบสุ่ม " ซึ่งอธิบายปัญหาการแต่งงานที่มีเสถียรภาพคุณสามารถอ่านสิ่งต่อไปนี้ (p54)

"มันสามารถแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุก ๆ ทางเลือกของการตั้งค่ารายการมีอยู่อย่างน้อยหนึ่งการแต่งงานที่มั่นคง (พออยากรู้อยากเห็นนี่ไม่ใช่กรณีในสังคมคู่สมรสรักร่วมเพศกับจำนวนผู้อยู่อาศัย) .... "

มีส่วนขยายที่ง่ายมากของปัญหาการแต่งงานที่มั่นคงที่อนุญาตให้รัฐบางประเภทที่มีสังคมรักร่วมเพศคู่สมรสหรือสังคมที่กลุ่มย่อยบางส่วนของประชากรปฏิบัติตามกฎที่แตกต่างจากชุดที่ใหญ่กว่าหรือไม่?

ในการยืนยันมีอัลกอริทึมที่ใช้ทำการจับคู่เช่นนั้นหรือไม่?

มีการคาดคะเนแบบเปิดสำหรับคน 3 ประเภท สมมติว่าคุณมีผู้ชายผู้หญิงและสุนัขเพื่อให้ผู้ชายมีรายการการตั้งค่าในผู้หญิงผู้หญิงมีรายการการตั้งค่าในสุนัขและสุนัขมีรายการการตั้งค่ากับผู้ชาย มีการแต่งงานที่มั่นคงเสมอหรือไม่?

(สำหรับโครงสร้างการตั้งค่าอื่น ๆ ในสังคม 3 ประเภทคำตอบนั้นเป็นที่รู้จักในเชิงลบ)

ความคิดเห็นอีกข้อคือการแต่งงานที่มั่นคงแสดงถึงแกนกลางที่ไม่ว่างเปล่าและมีสภาพที่เป็นที่รู้จักกันดีโดยผ้าพันคอที่แสดงถึงการมีอยู่ของแกนกลางที่ไม่ว่าง เป็นที่ทราบกันดีว่าสภาพของผ้าพันคอมีความพึงพอใจต่อปัญหาการแต่งงานที่มั่นคงและปัญหาการจัดสรรบ้าน (แต่ล้มเหลวสำหรับปัญหาชาย / หญิง / สุนัข)

อ้างอิงบางส่วน:

• อ้างอิงถึงกระดาษของ Scarf: HE Scarf ซึ่งเป็นแกนหลักของเกม person, Econometrica 35 (1967) 50--69$N$
• กระดาษที่แสดงแอพพลิเคชั่นต่าง ๆ สำหรับบทแทรกที่สำคัญของ Scarf และอ้างถึงอีกไม่กี่: (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเศษส่วนของ Gale-Shapley ทฤษฎีบทสำหรับการวาดกราฟิคโดย Aharoni และ Holzman อธิบายไว้): R. Aharoni และ T. Fleiner ของผ้าพันคอ, J. Combin ทฤษฎี Ser B 87 (2003), 72--80
• วิธีแก้ปัญหาของชาย - หญิง - สุนัขเมื่อมีมากที่สุด 4 ของแต่ละเพศปรากฏในกระดาษโดย Eriksson et al (Math Soc Sci 2006)

สิ่งที่คุณถามไม่ได้เรียกว่า "ปัญหาการแต่งงานที่มั่นคง" อีกต่อไป ในทางตรงกันข้ามเรียกว่า "ปัญหาเพื่อนร่วมห้องที่มีเสถียรภาพ" ตามที่Wikipedia :

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านทฤษฎีเกมและ combinatorics ปัญหาเพื่อนร่วมห้องที่มีเสถียรภาพ (SRP) คือปัญหาในการค้นหาการจับคู่ที่มีเสถียรภาพ - การจับคู่ที่ไม่มีคู่ขององค์ประกอบแต่ละชุดที่แตกต่างกันซึ่งสมาชิกแต่ละคน ของทั้งคู่ชอบอีกคู่กับคู่ของพวกเขา สิ่งนี้แตกต่างจากปัญหาการแต่งงานที่มั่นคงซึ่งปัญหาเพื่อนร่วมห้องที่มั่นคงไม่ต้องการให้ชุดแยกออกเป็นชุดย่อยชายและหญิง บุคคลใดก็ตามสามารถชอบใครก็ได้ในชุดเดียวกัน

เป็นที่ทราบกันโดยทั่วไปว่า:

ในตัวอย่างที่กำหนดของปัญหาเพื่อนร่วมห้องที่มีปัญหา (SRP) ผู้เข้าร่วม 2n แต่ละคนจะจัดอันดับอื่น ๆ ตามลำดับที่ต้องการ การจับคู่คือชุดของผู้เข้าร่วมจำนวนหนึ่งซึ่งไม่รวม (ไม่มีการเรียงลำดับ) การจับคู่ M ในตัวอย่างของ SRP นั้นมีเสถียรภาพหากไม่มีผู้เข้าร่วมสองคน x และ y แต่ละคนชอบคู่อื่นในหุ้นส่วนของเขาใน M. คู่ดังกล่าวถูกบล็อก M หรือเป็นคู่บล็อกที่เกี่ยวข้องกับ เอ็ม

Wikipedia กล่าวถึงคำตอบสำหรับคำถามของคุณ มันบอกว่าไม่พบเคสที่เสถียรเสมอไป แต่มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพเนื่องจาก Irving (1985) ซึ่งจะพบการจับคู่ดังกล่าวถ้ามี

แก้ไข:

การผ่อนคลายตามธรรมชาติหลายอย่างเกิดขึ้นกับ SRP: แทนที่จะกำหนดว่า "ไม่มีผู้เข้าร่วมสองคน x และ y ซึ่งแต่ละคนชอบที่จะให้คู่ของเขาใน M" อีกคนหนึ่งต้องการ:

1. อย่างน้อยก็มีบางคนที่พอใจกับเพื่อนร่วมห้อง ที่นี่ความพึงพอใจสามารถตีความแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น
   • คู่ (x, y) ถูกกล่าวว่าพอใจถ้า y เป็นตัวเลือกแรกของ x และในทางกลับกัน
   • คู่ (x, y) ถูกกล่าวว่าพอใจถ้าหนึ่งใน x หรือ y เป็นตัวเลือกแรกของอีกคนหนึ่ง
   • คู่ (x, y) ถูกกล่าวว่าไม่พอใจถ้ามีคู่ (z, w) เช่นนั้นที่ x ชอบ z มากกว่า y และ z ชอบ x มากกว่า w
   • ...
2. ส่วนใหญ่บางคนไม่พอใจกับเพื่อนร่วมห้อง (ข้อกำหนดนี้อาจแตกต่างจากที่กล่าวข้างต้นขึ้นอยู่กับการตีความความพึงพอใจ )

$n$$m$บ้านผู้คนจัดอันดับบ้านตามความต้องการของพวกเขา แต่บ้านไม่ได้แสดงความพึงพอใจใด ๆ มากกว่าคน บทความนี้โดย Abraham และคณะได้กล่าวถึงอัลกอริทึมเพื่อค้นหาภาวะเชิงการสูงสุดการจับคู่ที่เหมาะสมที่สุดของ Pareto