คุณสามารถระบุผลรวมของพีชคณิตสองชนิดในเวลาพหุนามได้หรือไม่?

29

มีสอง คำถามที่ถามเมื่อเร็ว ๆ นี้ใน cs.se ซึ่งอาจเกี่ยวข้องกับหรือมีกรณีพิเศษเทียบเท่ากับคำถามต่อไปนี้:

สมมติว่าคุณมีลำดับของตัวเลขดังกล่าวว่า สลายลงในผลรวมของสองพีชคณิตที่และของเพื่อให้ $a_1, a_2, \ldots a_n$ $n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$ $\pi$ $\sigma$ $1 \dots n$ $a_i = \pi_i + \sigma_i\,$ .

มีบางเงื่อนไขที่จำเป็นคือ: ถ้า จะเรียงเพื่อให้ $a_i$ $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$ แล้วเราต้องมี

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq k (k + 1) .

$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$

อย่างไรก็ตามเงื่อนไขเหล่านี้ไม่เพียงพอ จากคำตอบของคำถาม math.se นี้ฉันถามลำดับ 5,5,5,9,9,9 ไม่สามารถแยกย่อยเป็นผลรวมของพีชคณิตสองวิธี (หนึ่งสามารถเห็นสิ่งนี้ได้โดยใช้ความจริงที่ว่าทั้ง 1 หรือ 5 สามารถ จับคู่กับ 4)

ดังนั้นคำถามของฉันคือความซับซ้อนของปัญหานี้คืออะไร?

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา

BTW รูปแบบที่เรียบง่ายมาถึงใจของฉันและฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับความซับซ้อนของมัน คุณสามารถระบุจำนวนรวมของพีชคณิตสองพีชคณิตแบบคงที่ในเวลาได้หรือไม่? (เราต้องการให้การเปลี่ยนลำดับทั้งสองไม่เห็นด้วยในแต่ละตำแหน่งเช่น

สำหรับทุกคน

)

π_{i} \neq σ_{i}

$\pi_i \ne \sigma_i$

i

$i$

— Mohammad Al-Turkistany

20

ไม่คุณไม่สามารถระบุผลรวมของการเปลี่ยนลำดับสองครั้งในเวลาพหุนามยกเว้น P = NP ปัญหาของคุณคือปัญหา NP-complete เนื่องจากรุ่นการตัดสินใจของปัญหาของคุณจะเทียบเท่ากับปัญหา NP-complete จับคู่ตัวเลขกับจำนวนเป้าหมาย: $2$

การป้อนข้อมูล: ลำดับของจำนวนเต็มบวก , สำหรับ $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$ $1 \le a_i \le 2n$ $1 \le i \le n$

คำถาม: มีสองพีชคณิตและเช่นนั้นสำหรับหรือไม่ $\psi_1$ $\psi_2$ $\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$ $1\le i \le n$

ในการอ้างอิงตัวแปรที่ จำกัด อย่างรุนแรงของการจับคู่ 3 มิติแบบตัวเลข (RN3DM) ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็น NP ที่สมบูรณ์มาก

RN3DM, กำหนด MultiSet ของจำนวนเต็มและจำนวนเต็มเช่นนั้น , มีการเรียงสับเปลี่ยนสองค่าและเช่นนั้น $U = \{u_1, . . . , u_n\}$ $e$ $\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$ $\lambda$ $\mu$ $u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$ สำหรับ ? $j = 1, . . . , n$

มีการลดความง่ายดายจาก RN3DM เป็นจับคู่แบบตัวเลขกับปัญหาผลรวมของเป้าหมาย: กำหนดอินสแตนซ์ของ RN3DM เราสร้างอินสแตนซ์ที่สอดคล้องกันโดยการสำหรับ $2$ $a_i= e-u_i$ $1 \le i \le n$

W. Yu, H. Hoogeveen และ JK Lenstra ลด makespan ในร้านค้าไหลสองเครื่องที่มีความล่าช้าและการดำเนินงานของหน่วยเวลา NP-ยาก วารสารการจัดตารางเวลา 7: 333–348, 2004

แก้ไขตุลาคมวันที่ 1 : ปัญหาของคุณเรียกว่า PERMUTATION SUMS มันถูกระบุไว้ตั้งแต่ปี 1998 ในปัญหาการเปิดในการเพิ่มประสิทธิภาพรวมโดยสตีฟ Hedetniemi

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

2

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. ฉันได้ตอบปัญหาข้อใดข้อหนึ่งของ cs.se ซึ่งเป็นแรงบันดาลใจให้คนนี้ (ซึ่งไม่ได้อยู่ในรูปแบบที่ตอบโดยการอ้างอิงของคุณโดยตรง) แต่ฉันคิดว่าคุณควรมีโอกาสแรกที่จะตอบคำถามที่สองนับตั้งแต่ได้รับคำตอบ ในการอ้างอิงของคุณ

— Peter Shor

ขอบคุณมากปีเตอร์ ฉันดีใจที่ฉันสามารถช่วยคุณได้ ฉันคิดว่าคุณจะให้คำตอบที่ดีกว่า ดังนั้นโปรดดำเนินการต่อและตอบคำถามนั้นด้วย

— Mohammad Al-Turkistany

นี่คือคำแถลงปัญหาตามที่ปรากฏบนเว็บเพจด้านบน: PERMUTATION SUMS [Cheston, 198X] INSTANCE: อาร์เรย์ A [1..n] ของจำนวนเต็มบวก คำถาม: มีสองวิธีเรียงสับเปลี่ยน r และ s ของจำนวนเต็มบวก {1,2, ... , n} แบบนั้นสำหรับ 1 <= i <= n, r (i) + s (i) = A [i] ?

— Mohammad Al-Turkistany

4

ในอีกทางหนึ่งมาร์แชลล์ฮอลล์แสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้ที่จะระบุความแตกต่างของการเปลี่ยนลำดับที่สองได้อย่างง่ายดาย

— กวางมูซนิรนาม
แหล่งที่มา

14

ทฤษฎีบทของมาร์แชลล์ฮอลล์นำไปใช้กับผลรวมเช่นกัน แต่ทั้งความแตกต่างและผลรวมจะต้องคำนวณแบบโมดูโล

n

$n$ สำหรับผลการสมัครของเขา เกิน

Z

$\mathbb{Z}$ ทั้งผลรวมและความแตกต่างคือ NP-complete

— Peter Shor

3

@PeterShor เพื่อความสมบูรณ์กรุณาโพสต์ความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบที่แยกจากกันโดยการแสดงภาพร่างหลักฐานของความสมบูรณ์แบบ NP- การระบุความแตกต่างของสองพีชคณิต

— Mohammad Al-Turkistany

3

เพื่อความสมบูรณ์: สมมติว่าเรามีสองพีชคณิต

ϕ

$\phi$ และ

π

$\pi$ . เรานั้นมี

\bar{π} (i) = n + 1 - π (i)

$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$ is also a permutation. Now, if

ϕ + π

$\phi+\pi$ is the multiset

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ , then

ϕ - \bar{π}

$\phi-\bar{\pi}$ is the multiset

{x_{1} - (n + 1), x_{2} - (n + 1), \dots, x_{n} - (n + 1)}

$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$ . For example,

{- 2, - 2, - 2, 2, 2, 2}

$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$ cannot be represented as a difference of two permutations because

{5, 5, 5, 9, 9, 9}

$\{5,5,5,9,9,9\}$ is not the sum of two permutations.

— Peter Shor