หาองค์ประกอบ k ที่เล็กที่สุดในอาร์เรย์ใน O (k)

นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจที่ฉันพบในเว็บ รับอาร์เรย์ที่มีตัวเลข n (โดยไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับพวกเขา) เราควรประมวลผลอาร์เรย์ในเวลาเชิงเส้นเพื่อให้เราสามารถคืนองค์ประกอบที่เล็กที่สุดในเวลา O (k) เมื่อเราได้รับหมายเลข 1 <= k <= n

ฉันได้พูดคุยปัญหานี้กับเพื่อนบางคน แต่ไม่มีใครสามารถหาทางออกได้ ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม!

บันทึกย่อแบบด่วน: - ลำดับขององค์ประกอบที่เล็กที่สุดของ k นั้นไม่สำคัญ - องค์ประกอบในอาร์เรย์คือจำนวนอาจเป็นจำนวนเต็มและอาจจะไม่ใช่ การประมวลผลล่วงหน้าคือเวลา O (n) ฟังก์ชั่น (ค้นหาองค์ประกอบที่เล็กที่สุด k) ในเวลา O (k)

ประมวลผลอาร์เรย์ของค่าล่วงหน้าในเวลา :O ( n $n$$O(n)$

• $i\leftarrow n$
• ในขณะที่$i>2$
  • คำนวณค่ามัธยฐานของในเวลาA [ 1 .. i ] O ( i $m$$A[1..i]$$O(i)$
  • พาร์ติชันเป็นและในเวลาเดียวกันA [ 1 .. i / 2 - 1 ] ≤ m A [ i / 2 + 1 .. i ] ≥ $A[1..i]$$A[1..i/2-1] \leq m$$A[i/2+1..i]\geq m$
  • $i \leftarrow \lfloor i/2 \rfloor$

เวลาประมวลผลล่วงหน้าทั้งหมดอยู่ภายใน$O(1+2+4+...+n)\subseteq O(n)$

ตอบแบบสอบถามสำหรับที่องค์ประกอบที่เล็กที่สุดในในเวลา :A O ( k $k$$A$$O(k)$

• $l\leftarrow \lfloor \log_2 k \rfloor$
• เลือกองค์ประกอบองค์ประกอบของในเวลา$(k-2^l)$$x$O ( 2 l ) ⊆ O ( k $A[2^l..2^{l+1}]$$O(2^l)\subseteq O(k)$
• พาร์ทิชันโดยในเวลาเดียวกัน$A[2^l..2^{l+1}]$$x$

$A[1..k]$มีองค์ประกอบที่เล็กที่สุด$k$

อ้างอิง:

• ในปี 1999 โดเรซวิคและให้อัลกอริทึมในการคำนวณค่ามัธยฐานขององค์ประกอบในเวลาภายในการเปรียบเทียบที่ทำให้ขั้นตอนวิธีการเลือกองค์ประกอบ TH จากองค์ประกอบเรียงลำดับในเวลาน้อยกว่าเปรียบเทียบ2.942 n + o ( n ) k n 6 $n$$2.942 n + o(n)$$k$$n$$6n$

สมมติว่าสำหรับความเรียบง่ายที่เมตร ใช้อัลกอริทึมการเลือกเวลาเชิงเส้นเพื่อค้นหาองค์ประกอบที่ตำแหน่ง ; ใช้เวลาเชิงเส้น ได้รับหาดังกล่าวที่ ; ทราบว่า2k กรองออกทุกองค์ประกอบของการจัดอันดับที่มากที่สุดและตอนนี้ใช้ขั้นตอนวิธีการเลือกเส้นเวลาเพื่อหาองค์ประกอบที่ตำแหน่งในเวลา(k)$n = 2^m$$2^{m-1},2^{m-2},2^{m-3},\ldots,1$$k$$t$$2^{t-1} \leq k \leq 2^t$$2^t \leq 2k$$2^t$$k$$O(2^t) = O(k)$

การชี้แจง:อาจดูเหมือนว่าการประมวลผลล่วงหน้าใช้เวลาและนั่นเป็นกรณีจริง ๆ หากคุณไม่ระวัง นี่คือวิธีทำการประมวลผลล่วงหน้าในเวลาเชิงเส้น:$\Theta(n\log n)$

while n > 0:
  find the (lower) median m of A[0..n-1]
  partition A in-place so that A[n/2-1] = m
  n = n/2

การแบ่งพาร์ติชันแบบ in-place ทำได้เหมือนกับใน quicksort เวลาทำงานเป็นเชิงเส้นในและเป็นเส้นตรง ในท้ายที่สุดอาร์เรย์เป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้: สำหรับแต่ละ ,ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เล็กที่สุดของ$n + n/2 + n/4 + \cdots + 1 < 2n$$A$$k$$A[0..n/2^k-1]$$n/2^k$

ขั้นแรกใช้เพื่อสร้าง min-heap เป็นที่ทราบกันว่าเราสามารถใช้เพื่อหาสิ่งที่องค์ประกอบที่เล็กที่สุดในนาทีกอง:$O(n)$$O(k)$$k$

Frederickson, Greg N. , อัลกอริทึมที่ดีที่สุดสำหรับการเลือกใน min-heap , Inf คอมพิวเต 104, ฉบับที่ 2, 197-214 (1993) ZBL0818.68065 ..

ใช้การเลือกเวลาเชิงเส้นเพื่อค้นหาองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดจากนั้นทำขั้นตอนพาร์ติชันจาก quicksort โดยใช้องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดเป็นเดือย$k$$k$