เวอร์ชัน combinatorial สำหรับการคาดคะเนพหุนาม Hirsch

พิจารณาครอบครัวเคลื่อนของส่วนย่อยของ {1,2 ... , n}, F 1 , F 2 , ... Fเสื้อ$t$${\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t}$

สมมติว่า

(*)

ทุก และทุกR ∈ FฉันและT ∈ F kมีS ∈ F Jซึ่งมีR ∩ T$i \lt j \lt k$$R \in {\cal F}_i$$T \in {\cal F}_k$$S \in {\cal F}_j$$R \cap T$

คำถามพื้นฐานคือ:

ขนาดใหญ่แค่ไหน ???

สิ่งที่เป็นที่รู้จัก

ที่รู้จักกันดีที่สุดบนปกเป็นเสมือนพหุนาม 1$t \le n^{\log n+1}$

ขอบเขตล่างที่รู้จักกันดีที่สุดคือ (ขึ้นอยู่กับปัจจัยลอการิทึม) กำลังสอง

การตั้งค่านี้นามธรรมจะนำมาจากกระดาษขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของรูปทรงหลายเหลี่ยม: ขีด จำกัด ของการเป็นนามธรรมโดยฟรีดริชอเซนแบรนด์, Nicolai Hähnle, Sasha Razborov และโธมัส Rothvoss ขีด จำกัด ล่างกำลังสองเช่นเดียวกับการพิสูจน์ของขอบเขตบนสามารถพบได้ในกระดาษของพวกเขา

แรงจูงใจ

ขอบเขตบนทุกอันจะนำไปใช้กับเส้นผ่านศูนย์กลางของกราฟของ polytopes d-dimension ที่มี n facets หากต้องการดูการเชื่อมโยงนี้กับทุกจุดยอดชุดS vของ facets ที่ประกอบด้วย จากนั้นเริ่มต้นจากจุดสุดยอดWปล่อยF Rเป็นชุดที่สอดคล้องกับจุดของ polytope ของระยะทางR + 1จากW$v$$S_v$$w$${\cal F}_r$$r+1$$w$

มากกว่า

ปัญหานี้เป็นหัวข้อของpolymath 3 แต่ฉันคิดว่ามันจะมีประโยชน์ที่จะนำเสนอที่นี่และใน MOแม้จะเป็นปัญหาเปิด หากโครงการจะนำไปสู่ปัญหาย่อยเฉพาะที่ฉัน (หรืออื่น ๆ ) อาจลองถามพวกเขาเช่นกัน

(อัปเดต; 5 ต.ค. :) ปัญหาเฉพาะอย่างหนึ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือการ จำกัด ความสนใจของชุดขนาด d ปล่อยให้ f (d, n) เป็นค่าสูงสุดของ t เมื่อทุกชุดในตระกูลทั้งหมดมีขนาด d ให้ f * (d, n) เป็นค่าสูงสุดของ t เมื่อเราอนุญาตให้มีหลายชุดขนาด d การเข้าใจ f * (3, n) อาจมีความสำคัญ

ปัญหา: f * (3, n) ทำตัวเหมือน 3n หรือ 4n ไหม?

$2^{d-1}$

$t$$n$$d$$3^{2^n}$$f$จากค่าแรก ๆ เรายังไม่ได้ศึกษาความคิดเห็นทั้งหมดของเธรดก่อนหน้าในรายละเอียดดังนั้นบางสิ่งนี้อาจเป็นที่รู้จักกันแล้ว - โดยทั่วไปเราสนุกที่จะทำให้โค้ดของเรารวดเร็วและต้องการโพสต์ผลลัพธ์ของเราที่ไหนสักแห่งถ้าฉันมีสภาพแวดล้อม LaTeX นำสิ่งนี้ไปใช้กับ ArXiV

รหัส (มันไม่ตรงกับรหัสการผลิต ... ): http://pastebin.com/bSetW8JS ค่า:

f(d=2, n)=2n-1 for n <= 6

f(d=3, n=3) = 6
{} {0} {01} {012} {12} {2}

f(d=4, n=4) = 8
f(d=3, n=4) = 8
{} {0} {01} {1,02,03} {2,13} {123} {23} {3}
{} {0} {01} {2,013} {1,02,03} {023} {23} {3}

f(d=5, n=5) = 11
f(d=4, n=5) = 11
f(d=3, n=5) = 11
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,3} {02,12,013,014} {13,023,04,124} {123,024} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,13} {02,12,013} {03,123,014,024} {023,124} {23,24} {234} {34} {4}

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$A \in {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$${\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

$\sim$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$${\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1} \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t, {\cal F}_{t+1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$${\cal F}_{t+1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$. อัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกที่ตามมานั้นชัดเจน จำนวนคลาสที่เท่าเทียมกัน (พร้อมกับเวลาที่ดำเนินการโดยสองการดำเนินการข้างต้น) จากนั้นจะให้เวลาการทำงานของอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกที่ชัดเจน

$A$$\{ 1, \dots, n \}$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$\{ k \mid \exists B \in {\cal F}_k : A \subseteq B \} = \{ i, \dots, j \}$$1 \leq i \leq j \leq n$$(i, j)$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$\{ 1, \dots, n \}$

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$\{ 1, \dots, n \}$${\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$$B$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$$(i, j)$$j < t - 1$$A$$\sim$$B$$C \in {\cal F}_t$$D \in {\cal F}_{t+1}$$B \cap C \subseteq D$$3^{2^n}$

${\cal F}_{t+1}$${1, \dots, i}$${\cal F}_1 = \{ \{ 1 \} \}, {\cal F}_2 = \{ \{ 1, 2 \} \}$${\cal F}_{t-1}$${\cal F}_t$${\cal F}_3$ อาจส่งผลให้ประหยัดมากขึ้น