ปัญหาการตัดสินใจง่ายปัญหาการค้นหายาก

36

การตัดสินใจว่าสมดุลของแนชนั้นมีอยู่นั้นเป็นเรื่องง่ายหรือไม่ อย่างไรก็ตามการค้นหาสิ่งหนึ่งเชื่อว่าเป็นเรื่องยาก (เป็น PPAD-Complete)

มีตัวอย่างอะไรบ้างของปัญหาที่รุ่นตัดสินใจง่าย แต่รุ่นค้นหาค่อนข้างยาก (เทียบกับรุ่นตัดสินใจ)

ฉันจะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับปัญหาที่เวอร์ชันการตัดสินใจไม่ตรงกับความเป็นจริง

cc.complexity-theory big-list

— บริการเทรวิส
แหล่งที่มา

น่าจะเป็นวิกิชุมชน: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/225/…

— เดฟคลาร์ก

2

@supercooldave: ฉันจะไม่รีบกับ CW ในกรณีนี้ อาจกลายเป็นว่ามีปัญหาทางธรรมชาติน้อยมากที่มีเวอร์ชันการตัดสินใจที่ไม่ใช่เรื่องง่าย แต่ง่ายและเวอร์ชันการค้นหาที่ยาก นี่ไม่จำเป็นต้องเป็น "รายการใหญ่"

— Jukka Suomela

1

ฉันไปกับการแก้ปัญหาที่รายการใหญ่ = ชุมชน wiki

— Dave Clarke

5

ดังนั้นสิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามว่า "อะไรคือปัญหาการตัดสินใจตามธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับปัญหาการค้นหา" ฉันคิดว่าการมีอยู่ของ NE ไม่ใช่ปัญหาการตัดสินใจตามธรรมชาติที่เชื่อมโยงกับ NE

— Kaveh

1

@Kaveh: คุณสามารถกำหนดปัญหาการตัดสินใจสำหรับแนช (ถ้าคุณระบุการเข้ารหัสของโซลูชั่นให้กับแนช) แต่ปัญหาคือว่ามันมีความซับซ้อนเช่นเดียวกับแนชหรือไม่หรือเป็นทางการไม่ว่าจะเป็นปัญหาการตัดสินใจที่แนช . ฉันสงสัยว่าเพราะการหาสมดุลของแนชที่ทำให้เกิดข้อ จำกัด เพิ่มเติมนั้นมักจะเป็นเรื่องยาก

— Tsuyoshi Ito

37

เมื่อระบุจำนวนเต็มจะมีปัจจัยที่ไม่สำคัญหรือไม่? -> ไม่สำคัญใน P

รับค่าจำนวนเต็มค้นหาปัจจัยที่ไม่สำคัญถ้ามี -> ไม่ทราบว่าอยู่ใน FP

— slimton
แหล่งที่มา

หรือคุณอาจถามว่ามันมีปัจจัยสำคัญหรือไม่? จากนั้นคุณไม่จำเป็นต้องใช้PRIMES ที่อยู่ในกระดาษP

— Bjørn Kjos-Hanssen

28

นี่คืออีกตัวอย่าง: จากกราฟลูกบาศก์ G และรอบ hamiltonian H ใน G, หารอบ hamiltonian ที่แตกต่างกันใน G. วงจรดังกล่าวมีอยู่ (ตามทฤษฎีบทของสมิ ธ ) แต่เท่าที่ฉันรู้มันเปิดอยู่ไม่ว่ามันจะเป็น คำนวณในเวลาพหุนาม

— Marek Chrobak
แหล่งที่มา

20

หากคุณให้ "leeway" ต่อไปนี้ที่คุณทำกับ Nash equilibria ดังนั้น:

การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มที่ปัญหาการตัดสินใจคือ "มีตัวประกอบจำนวนเต็มของตัวประกอบนี้หรือไม่" (เล็กน้อยใช่) และปัญหาการค้นหาคือการส่งออก

ปัญหาขัดแตะจำนวนหนึ่งอาจจะพอดีกับที่นี่ด้วยค่าเผื่อเผื่อแผ่ชนิดเดียวกันสำหรับการกำหนดปัญหาการตัดสินใจ:

Shortest Vector Problem (SVP) - ตัดสินใจว่ามีเวกเตอร์ที่สั้นที่สุดเทียบกับการค้นหามันหรือไม่
ปัญหาเวกเตอร์ที่ใกล้เคียงที่สุด (CVP) - ตัดสินใจว่ามีเวกเตอร์ที่ใกล้เคียงที่สุดเทียบกับการค้นหาหรือไม่

แน่นอนว่านี่เป็นกรณีทั้งหมดที่เวอร์ชันการตัดสินใจที่ฉันพูดถึงไม่น่าสนใจมาก (เพราะเป็นเรื่องเล็กน้อย) ปัญหาหนึ่งที่ไม่น่ารำคาญ :

ระนาบกราฟ -colorability สำหรับ $k$ $k \ge 4$

ปัญหาการตัดสินใจของระนาบกราฟ 4-colorability อยู่ใน P แต่การได้มาซึ่งวิธีแก้ปัญหาแบบ lexicographically อันดับแรกคือ NP-hard ( Khuller / Vazirani )

โปรดทราบว่าคุณสมบัติที่คุณสนใจจริง ๆ คือการลดขนาดตัวเอง (หรือค่อนข้างไม่ใช่การลดตัวเอง) ในปัญหาการระบายสีกราฟระนาบปัญหาที่สำคัญคือวิธีการลดขนาดกรณีทั่วไปของ -colorability จะทำลาย planarity ในกราฟ $k$

— Daniel Apon
แหล่งที่มา

18

ให้กราฟสุ่มซึ่งในแต่ละขอบเป็นอิสระอยู่กับความน่าจะเป็น1/2เลือกจุดยอดของอย่างสุ่มและเพิ่มขอบทั้งหมดระหว่างพวกเขา เรียกกราฟที่เกิดHจากนั้นมีก๊กที่มีขนาด{1/3} $G=G(n,1/2)$ $1,\ldots,n$ $1/2$ $n^{1/3}$ $G$ $H$ $H$ $n^{1/3}$

ค้นหาปัญหา: พบก๊กที่มีขนาดอย่างน้อยn $10\log n$

— user1624
แหล่งที่มา

เรียบร้อยมาก! มีกระดาษที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้หรือไม่?

— András Salamon

1

@ András: เพื่อให้พื้นหลังเพิ่มขึ้นอีกเล็กน้อยสิ่งนี้เรียกว่า "ปัญหากลุ่มที่ซ่อนอยู่" หากกลุ่มที่ซ่อนอยู่ที่ถูกปลูกนั้นอยู่บนจุดยอดของโอเมก้า (sql (n log n)) ใคร ๆ ก็สามารถเห็นได้ว่าจุดยอดของกลุ่มนั้นเป็นกลุ่มที่มีระดับสูงสุดเกือบแน่นอน [Alon-Krivelevic-Sudakov] ( tau.ac.il/~nogaa/PDFS/clique3.pdf ) ปรับปรุงสิ่งนี้ให้เป็นโอเมก้า (sqrt (n)) โดยใช้เทคนิคสเปกตรัม สำหรับกลุ่มเล็กที่ซ่อนอยู่ขนาดเล็กเช่น O (log n) จะไม่มีใครรู้เรื่องที่ไม่สำคัญเลย

— arnab

ปัญหาที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งที่เกี่ยวข้องโดย Karp คือการหาขนาด (1 + c) log (n) ใน G (n, 1/2) สำหรับค่าคงที่ 0 <c <1 เป็นที่ทราบกันว่ามีกลุ่มขนาด 2log (n) ใน G (n, 1/2) เกือบทั้งหมด อัลกอริทึมเวลาพหุนามเท่านั้นที่รู้จัก (เช่นโลภหนึ่ง) ค้นหากลุ่มของขนาด (1 + o (1)) บันทึก (n)

— arnab

@arnab: Feige และ Ron เพิ่งทำให้ผลลัพธ์ AKS ง่ายขึ้น (ดูข้อมูลอ้างอิงที่คำถามของฉันcstheory.stackexchange.com/questions/1406/ ...... ) คำถามของฉันที่ @Louigi นั้นเกี่ยวกับคำถาม : สิ่งที่กระตุ้นค่าคงที่โดยเฉพาะและคำถามนี้ถูกถามในกระดาษที่สามารถอ้างอิงได้หรือไม่

10 \log n

$10\log n$

— András Salamon

15

อีกตัวอย่างหนึ่ง; เซต-เงินก้อนเท่าเทียมกัน: ให้หมายเลขธรรมชาติกับ -1 หลักการของนกพิราบหลุมรับประกันการมีอยู่ของสองเซตย่อยในเช่นนั้น (เนื่องจาก มีชุดย่อยมากกว่าผลรวมที่เป็นไปได้) การดำรงอยู่ของอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับการค้นหาเซตและเป็นปัญหาเปิดที่มีชื่อเสียง $a_1,a_2,a_3,...,,a_n$ $\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$ $I, J$ ${1,2,..., n}$ $\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$ $I$ $J$

เซตย่อยผลรวมเท่าเทียม (รุ่น pigeonhole)

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

13

อีกตัวอย่างของทฤษฎีจำนวนคล้ายกับตัวอย่างข้างต้น เป็นที่รู้จักกันโดยสัจพจน์ของเบอร์แทรนด์ว่าสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกมีความสำคัญระหว่างและ2nแต่เรามีขั้นตอนวิธีการไม่มีเวลาพหุนามในปัจจุบันจะหาดังกล่าวที่สำคัญให้n(อัลกอริทึมที่ต้องการจะต้องทำงานใน polylog ( ) เวลา.) หนึ่งสามารถเกิดขึ้นกับเวลาพหุนามสุ่มอัลกอริทึมเพราะทฤษฎีบทจำนวนที่สำคัญและเป็นหนึ่งสามารถ derandomize พวกเขาโดยสมมติว่าบางจำนวนมาตรฐานคาดเดาตามทฤษฎี (เช่นการคาดเดาของ Cramer ) แต่ไม่รู้จักอัลกอริธึมกำหนดเวลาพหุนามโดยไม่มีเงื่อนไข งานที่เกี่ยวข้องได้เสร็จสิ้นเร็ว ๆ นี้ใน $n$ $n$ $2n$ $n$ $n$ โครงการ Polymath4 ; บล็อกโพสต์ของ Taoในโครงการเป็นบทสรุปที่ดี

— Arnab
แหล่งที่มา

1

แม้จะไม่มีท่วงท่าของเบอร์ทรานด์คุณก็มีอัลกอริธึมที่กำหนดขึ้นพร้อมรันไทม์แบบพหุนามที่คาดว่าจะเกิดขึ้นเนื่องจากทฤษฎีบทหมายเลขนายกรัฐมนตรีและการทดสอบดั้งเดิมของ AKS

— Joe Fitzsimons

@ JoeFitzsimons ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่คุณหมายถึง "อัลกอริทึมที่กำหนดด้วยพหุนามที่คาดหวังรันไทม์"

— จันทรา Chekuri

@ChandraChekuri, "deterministic" อาจหมายถึงการพูดว่ามันได้รับคำตอบที่ถูกต้องเสมอ

— usul

@ChandraChekuri: ขออภัยการเลือกใช้ถ้อยคำของฉันไม่ดี ฉันหมายความว่าคุณสามารถหาหมายเลขเฉพาะด้วยความมั่นใจแน่นอนในเวลาพหุนามที่คาดหวังมากกว่าเพียงแค่มีข้อผิดพลาดที่ถูกผูกไว้ อย่างน้อยฉันคิดว่านั่นคือสิ่งที่ฉันหมายถึง เมื่อ 3 ปีก่อน

— Joe Fitzsimons

11

เมื่อมีความเสี่ยงที่จะอยู่นอกหัวข้อเล็กน้อยให้ฉันยกตัวอย่างง่ายๆและเป็นธรรมชาติของทฤษฎีคำตอบC : วัฏจักรออยเลอร์และอัลกอริธึมกระจาย

ปัญหาการตัดสินใจนั้นไม่สำคัญอย่างสมบูรณ์ในแง่ที่ว่ามีทั้งกราฟ Eulerian และไม่ใช่ Eulerian

อย่างไรก็ตามมีอัลกอริธึมการกระจายที่รวดเร็วและง่าย ๆ ที่แก้ปัญหาการตัดสินใจ (ในแง่ที่ว่าใช่ทุกกรณีเอาท์พุทโหนด "1" และไม่มีอินสแตนซ์อย่างน้อยหนึ่งโหนดเอาท์พุท "0"): แต่ละโหนดเพิ่งตรวจสอบ ความเท่าเทียมกันของระดับของมันเองและเอาท์พุท 0 หรือ 1 ตามลำดับ

แต่ถ้าคุณต้องการหาวงจร Eulerian (ในแง่ที่ว่าแต่ละโหนดแสดงโครงสร้างของวงจรในละแวกของมันเอง) เราต้องการข้อมูลทั่วโลกเป็นหลักในกราฟ มันไม่ยากที่จะเกิดขึ้นกับตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าปัญหาต้องมีการสื่อสารในทางกลับกันรอบก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาใด ๆ (สมมติว่า ID ที่ไม่ซ้ำกัน) $\Omega(n)$ $O(n)$

โดยสรุป: - ปัญหาการตัดสินใจเวลา - ปัญหาการค้นหาเวลาและนี่คือช่องว่างที่เลวร้ายที่สุด $O(1)$ $\Theta(n)$

แก้ไข:นี่อนุมานว่ากราฟเชื่อมต่อ (หรือเท่ากับที่เราต้องการหาวงจร Eulerian ในแต่ละองค์ประกอบที่เชื่อมต่อ)

— Jukka Suomela
แหล่งที่มา

นี่อาจเป็นคำถามงี่เง่า (เพราะฉันไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับการคำนวณแบบกระจาย) แต่มีสัญญาว่ากราฟเชื่อมต่ออยู่หรือว่าการเชื่อมต่อนั้นง่ายต่อการตรวจสอบอย่างมีประสิทธิภาพในวิธีการแจกจ่ายหรือไม่

— Tsuyoshi Ito

ขอบคุณไม่ใช่คำถามที่โง่เลย ฉันชี้แจงคำตอบของฉันฉันลืมเพิ่มสมมติฐานที่เราจัดการกับกราฟที่เชื่อมโยงที่นี่ (มักจะมีจุดเล็ก ๆ น้อย ๆ ในการศึกษากราฟตัดการเชื่อมต่อจากมุมมองของอัลกอริทึมแบบกระจายเป็นโดยความหมายมีวิธีการส่งข้อมูลระหว่างส่วนประกอบที่เชื่อมต่อไม่ได้ แต่ของหลักสูตรนี้ควรจะทำอย่างชัดเจน.)

— Jukka Suomela

ขอบคุณ! หลังจากอ่านคำตอบของคุณแล้วฉันคิดว่ามันน่าจะชัดเจนว่ากราฟ (= ทอพอโลยีเครือข่าย) นั้นเชื่อมโยงกัน :)

— Tsuyoshi Ito

10

การหาพาร์ติชันของ Tverberg นั้นมีความซับซ้อนที่ไม่รู้จัก:

ทฤษฎีบท: Letเป็นคะแนนใน ,(R-1) จากนั้นมีพาร์ติชัน จาก เช่นนั้น\ $x_1,x_2,\dots, x_m$ $R^d$ $m \ge (r-1)(d+1)+1$ $S_1,S_2,\dots, S_r$ ${1,2,\dots,m}$ $\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$

เช่นเดียวกับ Nash equilibria พาร์ติชั่นรับประกันด้วยทฤษฎีบท แต่ก็ไม่ทราบว่ามีอัลกอริทึม polytime อยู่เพื่อค้นหาสิ่งใด

กิลคาไลเขียนซีรีส์ยอดเยี่ยมของการโพสต์ในหัวข้อนี้: หนึ่ง , สองและสาม

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

2

อันที่จริงปัญหาใด ๆ ที่ตกอยู่ใน TFNP จะเป็นผู้สมัครที่ดีที่ฉันคิดว่า เมื่อคำตอบรับประกันได้ว่ามีอยู่ในทฤษฎีบท - จากนั้นให้นิยามปัญหาการค้นหาที่เห็นได้ยากกว่า P มากกว่าแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้

— Daniel Apon

7

ในตัวอย่างทั้งหมดข้างต้นปัญหาการตัดสินใจอยู่ใน P และไม่ทราบว่าปัญหาการค้นหาอยู่ใน P แต่ไม่ทราบว่าเป็น NP-hard เช่นกัน ฉันต้องการชี้ให้เห็นว่าเป็นไปได้ที่จะมีปัญหาการค้นหา NP-hard ที่มีเวอร์ชันการตัดสินใจง่าย

พิจารณาปัญหา satisfiability ทั่วไปสำหรับความสัมพันธ์ที่ได้รับกว่าบูลีโดเมน\} อินสแตนซ์คือนิพจน์ของฟอร์ม โดยที่เป็นตัวแปรหรือค่าคงที่ในและคือ arities ของ (นี่เป็นกรอบเดียวกับที่ Schaeffer ทฤษฎีบทแบ่งขั้วกับค่าคงที่ ในกรณีที่คุณรู้ว่ามันคืออะไร) ปัญหาการค้นหา: กำหนดนิพจน์ดังกล่าวค้นหาวิธีแก้ปัญหาพจนานุกรมน้อยที่สุดหากมี $R_1,\ldots,R_k$ $\{0,1\}$

R_{i_{1}} (t_{11}, \dots, t_{1 r_{1}}) \land \dots \land R_{i_{m}} (t_{m 1}, \dots, t_{m r_{m}})

$R_{i_1}(t_{11},\ldots,t_{1r_1}) \wedge \cdots \wedge R_{i_m}(t_{m1},\ldots,t_{mr_m})$

t_{i j}

$t_{ij}$

0, 1

${0,1}$

r_{1}, \dots, r_{m}

$r_1,\ldots,r_m$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\ldots,R_k$

มันแสดงให้เห็นโดย Reith และ Vollmer ที่นี่ว่ามีตัวเลือกของความสัมพันธ์ที่ทำให้ปัญหานี้เกิดปัญหา NP-hard (จริง OptP-complete) แต่ทำให้ปัญหาความพึงพอใจง่ายมาก ตัวอย่างที่ให้ไว้ในกระดาษคือ (ที่นี่ ) เมื่อปัญหาความน่าพอใจสามารถแก้ไขได้ในพหุนามเวลาคำถามว่ามีงานที่ได้รับความพึงพอใจน้อยที่สุดจากการทำพจนานุกรมเล็ก ๆ น้อย ๆ นั้นเป็นเรื่องเล็กน้อยหรือไม่ $R_1,\ldots,R_k$ $R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$ $k = 1$

ดูควันหลง 13 และเป็นตัวอย่างต่อไปนี้ไว้ในกระดาษดังกล่าวข้างต้น (อย่างน้อยในนี้รุ่น On-line)

— slimton
แหล่งที่มา

6

เวอร์ชันการตัดสินใจคือ (ไม่สูงมาก) ไม่ใช่ trival ในP : -colourability ( fixed) บนกราฟที่ไม่มีเส้นทางเหนี่ยวนำที่มีจุดยอดห้าจุด เนื่องจากกระดาษนี้ $k$ $k$
รุ่นค้นหาคือNP -hard: การค้นหาจำนวนสีของกราฟที่ไม่มีเส้นทางเหนี่ยวนำที่มีจุดยอดห้าจุด เนื่องจากกระดาษนี้

— Peng O
แหล่งที่มา

$k$

4

$e$ $e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$ $e$

การจับคู่ดังกล่าวมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการเข้ารหัสบางส่วนตั้งแต่ได้รับมันเป็นเรื่องง่ายที่จะแก้ปัญหาการตัดสินใจ Diffie-Hellman (ให้ , ตัดสินใจว่า : เพียงตรวจสอบว่า ) อย่างไรก็ตามมันยังคงคาดเดาได้ว่าปัญหาการค้นหา / การคำนวณเชิงคอมพิวเตอร์เป็นเรื่องยาก $e$ $(g, h, g^a, h^b)$ $a = b$ $e (g, h^b) = e (h, g^a)$

กลุ่มดังกล่าวยังได้รับการสรุปเป็น "กลุ่มช่องว่าง"

— cryptocat
แหล่งที่มา

2

ฉันเดาว่า Planar Perfect Matching พลาดไปจากรายการนี้

เวอร์ชันการตัดสินใจอยู่ใน NC (แม้แต่เวอร์ชันการนับอยู่ใน ) โดยรุ่นขนาน (ดูMahajan-Subramanya-Vinay ) ของอัลกอริทึมของ Kastelyn $\mathsf{NC}$
รุ่นค้นหายังคง unparallelised คือวันที่มีเป็นที่รู้จักกันไม่มีกำหนดอัลกอริทึมสำหรับปัญหานี้ ( แต่ถ้าเราลดลงของทั้งคู่ขนานหรือข้อ จำกัด ที่กำหนดมีขั้นตอนวิธีการที่รู้จักกันดี - เอ็ดมันด์และMulmuley-Vazirani-Vazirani / Karp- Upfal-Wigdersonตามลำดับ $\mathsf{NC}$

— samid
แหล่งที่มา

2

เรามาไขความซับซ้อนกันหน่อย

ปัญหาการตัดสินใจจำนวนมากเกี่ยวกับระบบการเพิ่มเวกเตอร์ (VAS) นั้นเสร็จสมบูรณ์แล้วใน EXPSPACE แต่อาจต้องมีพยานจำนวนมาก ยกตัวอย่างเช่นการตัดสินใจว่าภาษาของ VAS นั้นปกติจะเป็นแบบ EXPSPACE หรือไม่ (เช่นBlockelet & Schmitz, 2011 ) แต่ออโตเมติกจำกัด ที่มีขนาดเล็กที่สุดนั้นอาจมีขนาดเท่ากับ Ackermannian ( Valk & Vidal-Naquet, 1981 ) คำอธิบายที่อยู่เบื้องหลังช่องว่างขนาดใหญ่นี้คือมีพยานจำนวนน้อยมากที่ไม่ใช่เรื่องผิดปกติ

— ซิลแว็ง
แหล่งที่มา