เลือกตัวเลขสองจำนวนที่รวมเป็นโดยใช้เวลาแบบสอบถามย่อยเชิงเส้น

นี่คือปัญหาเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด

รับ reals (ใหญ่มากn !), รวมทั้งเป้าหมายจริงp , หาa_iและa_jซึ่ง SUM ใกล้เคียงกับpมากที่สุด เราอนุญาตการประมวลผลล่วงหน้า / การจัดทำดัชนีที่เหมาะสมของa_1, \ ldots, a_n (ไม่เกินO (n \ log n) ) แต่ในเวลาแบบสอบถาม (ที่กำหนดp ) ผลลัพธ์ควรถูกส่งคืนอย่างรวดเร็ว (เช่นO (\ log n)เวลา)$a_1, \ldots, a_n$$n$$p$$a_i$$a_j$$p$$a_1, \ldots, a_n$$O(n \log n)$$p$$O(\log n)$

(ตัวอย่างง่ายกว่า: ถ้าเราต้องการเพียงa_iเดียว$a_i$ที่ใกล้เคียงกับ$p$มากที่สุดเราจะจัดเรียง$a_1, \ldots, a_n$ออฟไลน์, $O(n \log n)$จากนั้นทำการค้นหาแบบไบนารีที่เวลาสอบถาม$O(\log n)$ )

โซลูชันที่ไม่ทำงาน:

1) จัดเรียง$a_1, \ldots, a_n$ออฟไลน์จากนั้นในเวลาสอบถามเริ่มต้นจากปลายทั้งสองและย้ายตัวชี้สองตัวเข้าด้านใน ( http://bit.ly/1eKHHDy ) ไม่ดีเนื่องจากเวลาสอบถาม$O(n)$

2) เรียงออฟไลน์จากนั้นในเวลาแบบสอบถามใช้เวลาในแต่ละและดำเนินการค้นหาแบบไบนารีสำหรับ "เพื่อน" ที่จะช่วยให้มันรวมกับสิ่งที่ใกล้เคียงกับพีไม่ดีเนื่องจากเวลาสอบถาม$a_1, \ldots, a_n$$a_i$$p$$O(n \log n)$

3) จัดเรียงคู่ทั้งหมดออฟไลน์จากนั้นทำการค้นหาแบบไบนารี ไม่ดีเพราะการประมวลผลล่วงหน้า$(a_{1}, \ldots, a_{n})$$O(n^2)$

ขอบคุณ!

PS การวางหลักเกณฑ์ทั่วไปเพิ่มเติมที่จำเป็นสำหรับการปฏิบัติ: (1)และเป็นเวกเตอร์ 50 มิติ, (2) "ปิด" เพื่อเป็นระยะทางโคไซน์โคไซน์และ (3) -bestest ไม่ใช่แค่ 1-best$a_1, \ldots, a_n$$p$$k$

นี่เป็นไปไม่ได้อย่างแน่นอน

สมมติว่าคุณสามารถแก้ปัญหาของคุณด้วยเวลาการประมวลผลล่วงหน้า $P(n)$ และเวลาสอบถาม $Q(n)$. จากนั้นมีอัลกอริทึมง่าย ๆ ในการแก้ปัญหา 3SUM - รับชุด$n$ จำนวนจริงมีองค์ประกอบสามอย่างรวมกันเป็นศูนย์หรือไม่ - ใน $P(n)+n\cdot Q(n)$เวลา. เราประมวลผลหมายเลขทั้งหมดล่วงหน้าสำหรับแต่ละหมายเลข$a_k$เราหาค่าของ $a_i+a_j$ ที่ใกล้เคียงที่สุด $-a_k$; ถ้ามันตรงกัน$-a_k$ แน่นอนเราได้พบทางออกสำหรับปัญหา 3SUM แล้ว

อย่างไรก็ตามอัลกอริทึมที่เร็วที่สุดที่รู้จักสำหรับ 3SUM ทำงานอยู่ $O(n^2)$เวลาและอัลกอริทึมนี้คาดเดาอย่างกว้างขวางว่าเหมาะสมที่สุด นอกจากนี้ยังมีการจับคู่$\Omega(n^2)$ขอบเขตล่างในโมเดลการคำนวณแบบต้นไม้ตัดสินใจที่ จำกัด แต่เป็นธรรมชาติ สำหรับชุดของจำนวนเต็มมีอัลกอริธึมเวลา subquadratic เล็กน้อยที่ "เล่นเกมด้วยบิต" แต่แม้ในรูปแบบ RAM จำนวนเต็ม 3SUM จะต้องคาดเดาว่าต้องการ$\Omega(n^2/\text{polylog}\,n)$ เวลา.

ดังนั้นสมมติว่าการคาดเดานั้นถูกต้องปัญหาของคุณอาจต้องใช้เวลา (ใกล้ -) กำลังประมวลผลกำลังสองกำลังสองหรือ (ใกล้ -) เวลาแบบสอบถามเชิงเส้น

หากคุณสามารถใช้พื้นที่ไม่ จำกัด และไม่ จำกัด เวลาในระหว่างการประมวลผลล่วงหน้าโซลูชันต่อไปนี้ตรงตามความต้องการของคุณ:

• ในระหว่างการประมวลผลล่วงหน้าให้คำนวณชุด $\{a_i+a_j:1\le i\le j\le n\}$และเก็บชุดนี้เรียงตามลำดับ ชุดนี้สามารถสร้างและเรียงลำดับ$O(n^2)$ เวลาและมันต้องใช้ $O(n^2)$ พื้นที่ในการจัดเก็บ

• ตอนนี้เพื่อตอบแบบสอบถาม (เพื่อค้นหา $a_i,a_j$ ที่ไหน $a_i+a_j$ ใกล้เคียงกับ $p$เป็นไปได้) เพียงทำการค้นหาแบบไบนารีในรายการเรียงลำดับนี้ ที่จะพา$O(\lg n)$ เวลา.

หากวิธีนี้ไม่เป็นที่ยอมรับคุณจะต้องคิดถึงความต้องการของคุณให้รอบคอบและแก้ไขคำถามให้เหมาะสม