ปัญหาเปิดที่เก่าแก่ที่สุดใน TCS คืออะไร

ปัญหานี้ได้รับแรงบันดาลใจจากคำถาม MOซึ่งฉันคิดว่าน่าสนใจมาก

ปัญหาเปิดที่เก่าแก่ที่สุดใน TCS คืออะไร

เห็นได้ชัดว่าคำถามนี้ต้องการคำชี้แจงบางอย่าง

ก่อนอื่น TCS คืออะไร ฉันคิดว่าการมีอยู่ของจำนวนที่สมบูรณ์แบบผิดปกติไม่ใช่ TCS ฉันจะบอกว่าปัญหาที่สิบของฮิลแบร์ตคือ TCS ฉันคิดว่าปัญหาเช่น "เราสามารถสร้าง X ด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศ" ก็เป็น TCS ด้วยเช่นกันเพราะพวกเขากำลังขออัลกอริทึมในรูปแบบการคำนวณแบบ จำกัด อาจไม่มีวิธีที่เข้มงวดในการกำหนดว่าปัญหา TCS คืออะไร แต่ใช้วิจารณญาณของคุณ บางทีการทดสอบหนึ่งครั้งคือ "ถ้าสิ่งนี้ได้รับการแก้ไขมันน่าจะปรากฏใน STOC / FOCS หรือไม่นักวิจัยที่แก้ไขมันน่าจะเป็นนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีหรือไม่"

ประการที่สอง "เก่าแก่ที่สุด" คืออะไร? ฉันหมายถึงเก่าที่สุดตามวันที่ วันที่ที่ระบุควรตรวจสอบได้ แต่ฉันไม่คิดว่ามันจะยากเกินไป

ประการที่สาม "ปัญหาเปิด" คืออะไร? โดย "ปัญหาเปิด" ฉันหมายถึงปัญหาที่ถูกพิจารณาเป็นการเปิดโดยเฉพาะในบางครั้ง บางทีมันอาจปรากฏในตอนท้ายของบทความในส่วนเปิดปัญหาหรืออาจมีหลักฐานว่าบางคนทำงานและล้มเหลวหรืออาจมีหลักฐานที่ไม่ถูกต้องในวรรณคดีซึ่งแนะนำว่ามีการศึกษา ตัวอย่างของสิ่งที่ไม่ตรงกับเกณฑ์นี้: "ชาวกรีกศึกษาวัตถุ X และ Y. Z เป็นวัตถุกลางแน่นอนว่าพวกเขาสงสัยว่ามันสามารถสร้างได้หรือไม่" หากไม่มีวรรณคดีใน Z จากช่วงเวลานั้นแสดงว่าไม่ใช่ปัญหาเปิดตั้งแต่ช่วงเวลานั้น

ประการที่สี่ "ปัญหา" หมายถึงอะไร ฉันหมายถึงคำถาม "ใช่ / ไม่ใช่" โดยเฉพาะและไม่ใช่บางอย่างเช่น "กำหนดลักษณะวัตถุทั้งหมด X ด้วยคุณสมบัติ Y" เนื่องจากคำถามดังกล่าวมักไม่มีคำตอบที่น่าพอใจ บ่อยครั้งที่มีความขัดแย้งกันว่าคำถามได้รับการแก้ไขแล้วหรือไม่ อย่าถามคำถามแบบนี้ที่นี่ หากไม่ใช่คำถามใช่ / ไม่ใช่ แต่เป็นที่ชัดเจนว่าเปิดจริง ๆ ก็ใช้ได้เช่นกัน (ในกรณีนี้ยังไม่ชัดเจนโดย "ปัญหา" ฉันหมายถึงปัญหาที่ระบุไว้อย่างเป็นทางการโปรดอย่าแปลงตำนานพื้นบ้านเกี่ยวกับการพนันในศตวรรษที่ 16 เป็นคำถามเกี่ยวกับ BPP และ PSPACE)

ท้ายสุดเนื่องจากนี่ไม่ใช่คำถามที่ยิ่งใหญ่โปรดโพสต์คำตอบเฉพาะเมื่อคุณคิดว่ามันเก่ากว่าคำตอบที่โพสต์แล้ว (หรือถ้าคุณคิดว่าคำตอบที่โพสต์ไม่ตรงตามเงื่อนไขอื่น ๆ - เช่นพวกเขาไม่ใช่ TCS หรือไม่เปิด) นี่ไม่ได้เป็นการรวบรวมปัญหาแบบเปิดที่เก่าแก่

ความซับซ้อนในการคำนวณของการคูณจำนวนเต็มคืออะไร? คำถามนี้ย้อนกลับไปที่อัลกอริธึม 'การทำซ้ำและการไกล่เกลี่ย' อย่างน้อยสำหรับการคูณจำนวนเต็มที่อธิบายไว้ในกระดาษคำนวณ Rhind Mathematical Papyrus ซึ่งเขียนในปี1650 ก่อนคริสต์ศักราชแต่อ้างว่าเป็นสำเนาของเอกสารเก่าอย่างมีนัยสำคัญ

เป็นที่ยอมรับว่าต้นกก Rhind ไม่ได้พิจารณาความซับซ้อนของอัลกอริทึมเป็นอย่างชัดเจน ดังนั้นอาจเป็นคำตอบที่ดีกว่าคือความซับซ้อนของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นคืออะไร? การวิจัยในขั้นตอนวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการแก้ระบบเชิงเส้นวันที่กลับมาอย่างน้อยความเห็นหลิวฮุ่ยตีพิมพ์ในปี263 ADในบท Nine ในคณิตศาสตร์ Art โดยเฉพาะ Liu Hui เปรียบเทียบสองสายพันธุ์ของสิ่งที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นการกำจัดแบบเกาส์เซียนและนับจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่แต่ละคนใช้โดยมีเป้าหมายชัดเจนในการค้นหาวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น

คำถามทั้งสองนี้ยังคงเป็นเป้าหมายของการวิจัยเชิงรุก

การค้นหาอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการรับแฟ็กเตอริ่งดูเหมือนจะย้อนกลับไปอย่างน้อย Gauss บทความ 329 ของ Gauss ' Disquitiones Arithmeticae (1801) มีการอ้างอิงต่อไปนี้ (ที่มา ):

The problem of distinguishing prime numbers from composite numbers and of resolving the latter into their prime factors is known to be one of the most important and useful in arithmetic. It has engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem at length. ... Further, the dignity of the science itself seems to require that every possible means be explored for the solution of a problem so elegant and so celebrated.

แน่นอนว่ามันเป็นความจริงที่ว่าเกาส์ไม่ได้กำหนดอย่างเป็นทางการตามที่เขาต้องการจากอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบ เขาได้พูดคุยกันในบทความเดียวกันเกี่ยวกับข้อเท็จจริงที่ว่าอัลกอริธึมการทดสอบขั้นต้นทั้งหมดที่รู้จักในเวลานั้นมีความ "ลำบากและมีส่วนอย่างมาก"

ต่อไปนี้ยกมาจาก

• Goldwasser, S. และ Micali, S. 1982 การเข้ารหัสที่น่าจะเป็น & วิธีการเล่นโปกเกอร์จิตรักษาความลับของข้อมูลบางส่วน ในการประชุมวิชาการ ACM ประจำปีที่สิบสี่เรื่องทฤษฎีคอมพิวเตอร์ (ซานฟรานซิสโก, แคลิฟอร์เนีย, สหรัฐอเมริกา, วันที่ 05 - 07 พฤษภาคม 2525) STOC '82 ACM, New York, NY, 365-377 DOI = http://doi.acm.org/10.1145/800070.802212

อ้างถึงปัญหาอื่นย้อนหลังไปถึง Gauss 'Disquitiones Arithmeticae (1801):

$(\frac{q}{N})=1$$(\frac{q}{N})$

PS:ตอนนี้เรารู้ปัญหาสองในสี่ขั้นตอนวิธี :

1. แฟคตอริ่ง (ดังกล่าวโดย arnab);
2. การตัดสินใจตกค้างกำลังสอง

สิ่งที่เหลืออยู่สองปัญหาที่อธิบายโดยเกาส์คืออะไร?

ในวรรณคดีของประเทศเรามีคำพูดซึ่งฉันแปลตามตัวอักษรว่า "ปริศนากลายเป็นเรื่องง่ายเมื่อแก้ไขแล้ว" แม้ว่าจะไม่ใช่การแปลที่ดี แต่ก็หมายถึงความจริงที่ว่าเมื่อคุณมีทางออกคุณสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดาย แต่ก่อนหน้านั้นปริศนานั้นดูยากมาก

นี่หมายถึงปัญหา "FP vs. FNP" ที่โด่งดังในขณะนี้: ถ้า FNP = FP การตรวจสอบคำตอบของปริศนานั้นง่ายพอ ๆ กับการค้นหา แต่ถ้า FNP ≠ FP ก็มี "ปริศนา" ที่หาวิธีแก้ปัญหาได้ยากกว่าการตรวจสอบการแก้ปัญหา

ฉันเชื่อว่าปัญหานี้เป็นปัญหาเปิดที่เก่าแก่ที่สุดของ TCS แต่มันเป็นสูตรที่เข้มงวดวันที่กลับไปเพียงประมาณ 30 ปีที่ผ่านมา!

There seems to be a similar (yet somehow different!) proverb in the English language: "It's easy to be wise after the event" or "It's easy to be smart after the fact."

แก้ไข: "เราสามารถแยกตัวประกอบจำนวนโพลีเวลา" เป็นอีกปัญหาหนึ่งของ TCS แบบเปิดได้ แต่ฉันคิดว่ามันอายุน้อยกว่าปัญหาที่กล่าวถึงข้างต้น

นี่คือสองรายการของปัญหาเปิด TCS บนเว็บ:

• http://www.c2.com/cgi/wiki?OpenProblemsInComputerScience
• http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=category/theoretical_computer_science

เรายังมีรายการดังกล่าวที่นี่ใน CSTheory

ฉันถามทฤษฎีจำนวนที่ไม่รวมของคุณที่เกี่ยวข้องกับคำถามว่าเซตเชิงทฤษฎีจำนวนหนึ่งนั้นมี จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ TCS และจะโต้แย้งอย่างอื่นอย่างแน่นอน ชาวกรีกถามว่า:

• มีตัวเลขที่สมบูรณ์แบบแปลก ๆ หรือไม่? [อาจพิจารณาโดย euclid]

• มีจำนวนเฉพาะช่วงเวลาแฝดหรือไม่?

$TM_x$$TM_y$

ดังนั้นเนื้อหาเหล่านี้เป็นปัญหาสองอัลกอริทึมโบราณและชาวกรีกเป็นผู้บุกเบิก TCS ที่เก่าที่สุดส่วนใหญ่ในรูปแบบของทฤษฎีจำนวนและปัญหาทฤษฎีจำนวนต้นเป็นเพียงกรณีพิเศษของ Turings หยุดปัญหาและหลักฐานเบื้องต้นสำหรับความยากลำบากของมัน และมีความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างการถามเกี่ยวกับ / การค้นหา / การค้นหาเพื่อพิสูจน์และทฤษฎี undecidability

การวิจัยครั้งใหม่ที่มีเนื้อหากำลังแสดงให้เห็นถึงการคาดคะเนโคลลาตซ์ซึ่งครั้งหนึ่งเคยคิดว่ามีความอยากรู้ทฤษฎีจำนวนมากมีทฤษฎีการคำนวณที่ล้ำลึกและอาจอยู่ในขอบเขตระหว่างปัญหาที่แน่นอนและไม่แน่นอน ตัวอย่างที่คุณอ้างถึงปัญหาที่ฮิลเบอร์ต์ 10 แสดงให้เห็นถึงการเชื่อมโยงพื้นฐานระหว่างทฤษฎีจำนวนและ TCS

อีกสองคำถามอัลกอริทึมโบราณ:

• อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพหรือมีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับการคำนวณ gcd คือตัวหารทั่วไปที่ยิ่งใหญ่ที่สุด?

• อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพหรือมีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับการคำนวณเฉพาะช่วงเวลาคืออะไร

เห็นด้วยกับคำถามที่ 2 นั้นค่อนข้างเกี่ยวข้องกับแฟ็กตอริ่ง แต่มันก็ไม่เหมือนกันแน่นอน มันถูกพิจารณาโดยตะแกรง eratosthenes 'และยูคลิด แน่นอนว่าเมื่อเร็ว ๆ นี้แสดงให้เห็นว่ามันอยู่ใน P โดย AKS แต่ถึงกระนั้นอัลกอรึทึมก็ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าเหมาะสมที่สุด

มีการวิจัย TCS ที่ทันสมัยมากเกี่ยวกับอัลกอริธึม gcd euclids (เช่นศตวรรษที่ 20) ที่แสดงให้เห็นว่าตัวเลขฟีโบนักชีทำให้ประสิทธิภาพของกรณีแย่ที่สุด [ไม่แน่ใจว่าใครที่ 1 แสดงสิ่งนี้]

จนกระทั่งยูคลิดอัลกอริธึมได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเหมาะสมที่สุดการคำนวณที่มีประสิทธิภาพของ gcd ยังคงเปิดอยู่

ไม่แน่ใจว่าคำตอบนี้ร้ายแรงเพียงใด แต่ ....

มันขึ้นอยู่กับว่าคุณเต็มใจจะกำหนดคำถามของคุณมากแค่ไหน

แน่นอน "ใครจะสร้างเครื่องจักรอัจฉริยะได้" เป็นคำถามเปิดที่เก่าแก่ที่สุดใน CS ซึ่งเริ่มจากวิทยาการคอมพิวเตอร์ แต่อาจเป็นคำถามเก่าแก่กว่าหนึ่งพันมิลลิวินาที ไม่มี? (มันเป็นคำถามเชิงทฤษฎีเนื่องจากมันขอคำตอบไม่ใช่สำหรับตัวมันเอง ... )

การอ้างอิงตามธรรมชาติในการค้นหาเครื่องจักรอัจฉริยะจะเป็น Golem ... http://en.wikipedia.org/wiki/Golem#History

ฉันสามารถตอบคำถามของคุณด้วยความมั่นใจ 100% เป็นระยะเวลาหนึ่ง หากเราพิจารณาระยะเวลาจากเอกสารน้ำเชื้อของ Hartmanis และ Stearnsถึงจุดใด ๆ ในอนาคตปัญหาที่เก่าแก่ที่สุดใน TCS ซึ่งยังเปิดอยู่คือ:

ค่าโสหุ้ยขั้นต่ำที่จำเป็นสำหรับการจำลอง TM ที่กำหนดไว้คืออะไร?

$T^{2}(n)$$T(n)$$\log T(n)$

$\log T(n)$