ทำให้ทฤษฎีเซต จำกัด ในทฤษฎีประเภทเป็นทางการ

ผู้ช่วยที่พิสูจน์ได้ส่วนใหญ่มีแนวคิดของ "ชุด จำกัด " อย่างเป็นทางการ อย่างไรก็ตามความเป็นทางการเหล่านี้มีความแตกต่างกันไปอย่างรุนแรง สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจในตอนนี้คือพื้นที่การออกแบบที่เกี่ยวข้องและข้อดีและข้อเสียของการทำให้เป็นระเบียบแต่ละแบบคืออะไร

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันต้องการที่จะเข้าใจต่อไปนี้:

• ฉันสามารถ axiomatize เซต จำกัด (เช่นประเภทที่อาศัยอยู่โดยจำนวน จำกัด ของผู้อยู่อาศัย) ในทฤษฎีแบบง่าย ๆ หรือไม่? ระบบ F ข้อเสียของการทำเช่นนี้คืออะไร?
• ฉันรู้ว่ามันสามารถทำได้ 'หรูหรา' ในระบบที่พิมพ์ได้อย่างพึ่งพา แต่จากมุมมองแบบคลาสสิกคำจำกัดความที่ได้นั้นดูเหมือนจะเป็นเรื่องที่แปลกมาก [ฉันไม่ได้พูดว่าพวกเขาผิดไปไกลจากมัน!] แต่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมพวกเขาถึงถูกต้อง ฉันเข้าใจว่าพวกเขาเลือกแนวคิดที่ถูกต้องแต่เหตุผลที่ลึกซึ้งกว่าสำหรับ 'พูดอย่างนั้น' คือสิ่งที่ฉันไม่เข้าใจ

โดยทั่วไปฉันอยากจะแนะนำเหตุผลในการออกแบบพื้นที่ของ formalization แนวคิดของ 'ชุด จำกัด ' ในทฤษฎีประเภท

ฉันรู้ว่ามันสามารถทำได้ 'หรูหรา' ในระบบที่พิมพ์ได้อย่างพึ่งพา แต่จากมุมมองแบบคลาสสิกคำจำกัดความที่ได้นั้นดูเหมือนจะเป็นเรื่องที่แปลกมาก

คุณสามารถอธิบายความหมายของคำว่า "เอเลี่ยน" ได้หรือไม่? ฉันคิดว่าคุณทำให้แนวคิดของขอบเขต จำกัด เป็นจริงในแบบเดียวกันกับทฤษฎีประเภทและทฤษฎีเซต

$Fin(n)$

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \{ k \in \mathbb{N} \;|\; k < n \}$$ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \exists n\in\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

ในทฤษฎีประเภทคุณสามารถทำสิ่งเดียวกัน! โปรดทราบว่าเป็นประเภทที่มีองค์ประกอบองค์ประกอบ (เนื่องจากองค์ประกอบที่สองของคู่นั้นไม่มีหลักฐานที่ไม่เกี่ยวข้อง) จากนั้นคุณสามารถกำหนดตัวสร้างประเภทความประณีตเป็น: โดยที่หมายถึงมอร์ฟิซึ่มส์ประเภท

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \Sigma k:\mathbb{N}.\; \mathsf{if}\; k < n\,\mathsf{then}\; \mathsf{Unit} \;\mathsf{else}\; \mathsf{Void}$$ $\mathrm{Fin}(n)$$n$ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \Sigma n:\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

ให้ฉันดูว่าฉันสามารถเพิ่มสิ่งที่มีประโยชน์กับคำตอบของ Neel "พื้นที่การออกแบบ" สำหรับชุด จำกัด นั้นมีขนาดที่ใหญ่กว่าอย่างสร้างสรรค์ซึ่งเป็นแบบคลาสสิกเพราะคำจำกัดความต่างๆของ "ไฟไนต์" ไม่จำเป็นต้องเห็นด้วยอย่างสร้างสรรค์ คำจำกัดความต่าง ๆ ในทฤษฎีประเภทให้แนวคิดแตกต่างกันเล็กน้อย นี่คือความเป็นไปได้บางอย่าง

Kuratowski finite sets ( -finite) สามารถกำหนดให้เป็นอิสระ -semilattices: เมื่อได้รับเซต, ชนิดหรือวัตถุ , องค์ประกอบของ free -semilatticeอาจถือว่าเป็นเซตย่อยของ . แน่นอนแต่ละองค์ประกอบดังกล่าวถูกสร้างขึ้นโดย:$K$$\lor$$X$$\lor$$K(X)$$X$

• องค์ประกอบที่เป็นกลางซึ่งสอดคล้องกับชุดที่ว่างเปล่าหรือ$0$
• เครื่องกำเนิดซึ่งสอดคล้องกับซิงเกิลหรือ$x \in X$$\lbrace x \rbrace$
• การเข้าร่วมของสององค์ประกอบซึ่งสอดคล้องกับสหภาพ$S \lor T$

สูตรที่เทียบเท่าของคือ:คือ -finite ถ้าและหากว่ามีและการปฏิเสธส$K(X)$$S \subseteq X$$K$$n \in \mathbb{N}$ $e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$

ถ้าเราเปรียบเทียบกับนิยาม Neel ของเราจะเห็นว่าเขาต้องมีbijection S จำนวนนี้จะนำพวกเซตย่อย -finiteซึ่งมีความเสมอภาคที่ตัดสินใจได้:Y ให้เราใช้สำหรับคอลเลกชันของ decidableย่อย -finite ของX$e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$$K$$S \subseteq X$$\forall x, y \in S . x = y \lor x \neq y$$D(X)$$K$$X$

เห็นได้ชัดว่าถูกปิดภายใต้สหภาพ จำกัด แต่ไม่จำเป็นต้องปิดภายใต้ทางแยกแน่นอน และไม่ได้ปิดภายใต้การดำเนินการใด ๆ เนื่องจากผู้คนคาดหวังว่าเซต จำกัด นั้นจะทำตัวเหมือน "บูลีน aglebra โดยไม่มียอด" ใคร ๆ ก็สามารถลองนิยามพวกมันเป็นพีชคณิตบูลีนทั่วไปที่แจกฟรี ( , ,และญาติเสริม ) แต่จริงๆแล้วฉันไม่เคย ได้ยินถึงความพยายามดังกล่าว$K(X)$$D(X)$$0$$\lor$$\land$$\setminus$

เมื่อตัดสินใจว่านิยาม "ถูกต้อง" คืออะไรคุณต้องใส่ใจกับสิ่งที่คุณต้องการจะทำกับเซต จำกัด และไม่มีคำจำกัดความที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียว ยกตัวอย่างเช่นในความหมายของ "จำกัด " คือเซตของรากที่ซับซ้อนของพหุนาม จำกัด ?

ดูจำกัด อย่างสร้างสรรค์? โดย Thierry Coquand และ Arnaud Spiwack สำหรับการสนทนาอย่างละเอียดเกี่ยวกับความประณีต บทเรียนก็คือความวิจิตรนั้นอยู่ไกลจากการสร้างที่ชัดเจน