ความซับซ้อนของการจัดเรียงทอพอโลยีที่มีตำแหน่งที่ จำกัด

ฉันกำลังได้รับเป็นใส่ DAGของจุดซึ่งแต่ละจุดสุดยอดมีข้อความระบุว่านอกจากนี้ยังมีบางส่วน\}n x S ( x ) ⊆ { 1 , … , n $G$$n$$x$$S(x) \subseteq \{1, \ldots, n\}$

ทอพอโลยีแบบหนึ่งของคือ bijectionจากจุดยอดของถึงเช่นนั้นสำหรับ ,หากมีเส้นทางจากไปยังในดังนั้น(y) ฉันต้องการที่จะตัดสินใจว่าจะมีอยู่การจัดเรียงทอพอโลยีของเช่นว่าทุก ,(x)f G { 1 , … , n } x y x y G f ( x ) ≤ f ( y ) G x f ( x ) ∈ S ( x $G$$f$$G$$\{1, \ldots, n\}$$x$$y$$x$$y$$G$$f(x) \leq f(y)$$G$$x$$f(x) \in S(x)$

ความซับซ้อนของปัญหาการตัดสินใจครั้งนี้คืออะไร?

[หมายเหตุ: เห็นได้ชัดว่านี่เป็น NP หากคุณดูกราฟของคู่จุดสุดยอด / ตำแหน่งที่ได้รับอนุญาตโดยมีขอบที่ไม่ได้บอกทิศทางระหว่างการจับคู่ที่ขัดแย้งกันเนื่องจากพวกเขาละเมิดคำสั่งซื้อคุณจะได้รับกราฟของกลุ่มที่แยกจากกันซึ่งคุณต้องการเลือกคู่ละหนึ่งคู่ ตำแหน่งและมากที่สุดหนึ่งคู่ต่อจุดสุดยอด - ดูเหมือนว่าจะเกี่ยวข้องกับการจับคู่ 3 มิติ แต่ฉันไม่สามารถดูว่ามันยังยากกับโครงสร้างเพิ่มเติมของปัญหาเฉพาะนี้]

ฉันคิดว่าปัญหานี้เป็นปัญหาที่ยาก ฉันพยายามที่จะร่างการลดลงจาก MinSAT ในปัญหา MinSAT เราได้รับ CNF และเป้าหมายของเราคือการลดจำนวนอนุประโยคที่พอใจ ปัญหานี้เกิดจากปัญหา NP-hard ดูตัวอย่างเช่นhttp://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480191220836?journalCode=sjdmec

แบ่งจุดยอดออกเป็นสองกลุ่ม - บางกลุ่มจะเป็นตัวแทนของตัวอักษรส่วนคำสั่งอื่น ๆ ดังนั้นโดยที่vคือจำนวนของตัวแปรของ CNF (แสดงโดยปกติโดยn ) และcคือจำนวนของคำสั่ง กำหนดขอบจากแต่ละจุดยอดตามตัวอักษรไปยังจุดสุดยอดจุดที่มันเกิดขึ้น กำหนดSสำหรับตัวอักษร - จุดสุดยอดที่แสดงถึงx ฉันเป็น{ i , i + v + k } (โดยที่kเป็นพารามิเตอร์ที่กำหนดเอง) ดังนั้นf ( x i$n=2v+c$$v$$n$$c$$S$$x_i$$\{i,i+v+k\}$$k$และ F ( ˉ xฉัน ) = ฉัน+ V + kหรือ F ( ˉ xฉัน ) = ฉันและk สำหรับแต่ละส่วนจุดยอดขอให้ดังนั้นของจุดยอดคือ '' เล็ก ''$f(x_i)=i$$f(\bar x_i)=i+v+k$$f(\bar x_i)=i$$f(x_i)=i+v+k$$S=\{v+1,\ldots,v+k,2v+k+1,\ldots,n\}$$k$

ตอนนี้ CNF มีการมอบหมายที่อย่างน้อยอนุประโยคเป็นเท็จถ้าหากปัญหาของคุณสามารถแก้ไขได้สำหรับอินสแตนซ์ด้านบน ปัญหา MinSAT นั้นเป็นการทดสอบว่าสูตร CNFมีการมอบหมายให้ทำอย่างน้อยคำสั่งเท็จดังนั้นสิ่งนี้แสดงว่าปัญหาของคุณคือปัญหา NP-hard$k$$\varphi$$k$

เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจการลดลงนี่คือสัญชาตญาณ: ป้ายกำกับขนาดเล็ก ( ) สอดคล้องกับค่าความจริงเท็จและป้ายกำกับขนาดใหญ่ ( ) ตรงกัน เป็นจริง ข้อ จำกัด สำหรับตัวอักษร - จุดยอดให้แน่ใจว่าแต่ละเป็นจริงหรือเท็จและมีค่าความจริงตรงข้าม ขอบให้แน่ใจว่าหากตัวอักษรใด ๆ ที่เป็นจริงแล้วข้อทั้งหมดที่มีมันจะได้รับมอบหมายจริงเช่นกัน (ตรงกันข้ามถ้าตัวอักษรทั้งหมดในประโยคได้รับมอบหมายเท็จแล้วโครงสร้างกราฟนี้ช่วยให้ข้อ - จุดยอดจะได้รับมอบหมายทั้งเท็จหรือจริง) ในที่สุดการเลือกทำให้มั่นใจได้ว่าของจุดยอดประโยคได้รับเท็จและV + k + 1 , ... , 2 V + k x ฉัน¯ x ฉัน k k ค- k k φ k φ $1,2,\dots,v+k$$v+k+1,\dots,2v+k$$x_i$$\overline{x_i}$$k$$k$$c-k$ของพวกเขาได้รับมอบหมายจริง ดังนั้นถ้ามีการจัดเรียงทอพอโลยีที่ถูกต้องของกราฟนี้แล้วมีการมอบหมายให้ตัวแปรที่ทำให้อย่างน้อยของคำสั่งของเท็จ (ทั้งหมดของข้อ-จุดที่ได้รับมอบหมายเป็นเท็จรวมทั้งอาจจะเป็นบางส่วนของ สิ่งที่ได้รับมอบหมาย True) ในทางกลับกันหากมีการมอบหมายให้ตัวแปรที่ทำให้อย่างน้อยของอนุประโยคของ false นั้นมีการจัดเรียงทอพอโลยีที่ถูกต้องของกราฟนี้ (เราเติมป้ายกำกับสำหรับตัวอักษร - จุดในทางที่ชัดเจนและ สำหรับแต่ละประโยคของ$k$$\varphi$$k$$\varphi$$\varphi$นั่นเป็นความจริงเราให้ฉลากที่สอดคล้องกับข้อที่สอดคล้องกับ True; ส่วนคำสั่งอื่น ๆ สามารถรับฉลากที่สอดคล้องกับค่าความจริงโดยพลการ)

โปรดทราบว่าหากคุณผ่อนคลายปัญหาโดยอนุญาตให้เป็นแบบสุ่ม (ไม่จำเป็นต้องมี bijective) แสดงว่าพหุนามกลายเป็น อัลกอริทึมดำเนินการคล้ายกับการเรียงลำดับทอพอโลยี: คุณกำหนดจำนวนจุดยอดจุดหนึ่งต่อหนึ่งโดยคงชุดUของจุดยอดที่ไม่ได้เรียงซึ่งมีหมายเลขในประเทศเพื่อนบ้าน เมื่อใดก็ตามที่เป็นไปได้ให้คุณเลือกจุดสุดยอดx ∈ Uและกำหนดจำนวนด้วยองค์ประกอบที่เล็กที่สุดของS ( x )มากกว่าจำนวนของเพื่อนบ้าน ไม่ยากที่จะเห็นว่าอินสแตนซ์( G , S )มีวิธีแก้ปัญหาหากอัลกอรึทึมก่อนหน้าทำงาน( G $f$$U$$x \in U$$S(x)$$(G,S)$ลงท้ายด้วยหมายเลขทุกจุด$(G,S)$

ข้อสังเกตเล็กน้อยคือถ้าสำหรับxทั้งหมดดังนั้นปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยลดลงเป็น 2SAT$|S(x)| \le 2$$x$

นี่คือวิธี แนะนำตัวแปรสำหรับแต่ละจุดสุดยอดxและแต่ละฉันเช่นที่ฉัน∈ S ( x ) สำหรับแต่ละคู่x , y ที่จุดถ้ามีเส้นทางจากxไปy ที่เราได้รับข้อ จำกัด บาง: ถ้าฉัน∈ S ( x ) , เจ∈ S ( Y )และฉัน> Jแล้วเราได้รับข้อ จำกัด¬ v x , $v_{x,i}$$x$$i$$i \in S(x)$$x,y$$x$$y$$i\in S(x)$$j\in S(y)$$i>j$ J Bijectivity ช่วยให้เรามีชุดของข้อ จำกัด อื่น: สำหรับแต่ละคู่ x , y ที่จุดกับ x ≠ Yถ้าฉัน∈ S ( x )และฉัน∈ S ( Y )เราเพิ่ม ¬ วีx , ฉัน ∨ ¬ วีY ,ฉัน ในที่สุดความต้องการที่แต่ละจุดสุดยอดจะต้องกำหนดฉลากให้เราอีกชุดของข้อ จำกัด : สำหรับแต่ละ xถ้า S $\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,j}$$x,y$$x\ne y$$i \in S(x)$$i \in S(y)$$\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,i}$$x$เราได้รับข้อ จำกัดวีx , ฉัน ∨ วีx , J (โปรดทราบว่าข้อ จำกัด ชุดสุดท้ายเท่านั้นใช้ประโยชน์จากสัญญาที่ | S ( x ) | ≤ 2สำหรับแต่ละ x )$S(x)=\{i,j\}$$v_{x,i} \lor v_{x,j}$$|S(x)|\le 2$$x$

ฉันรู้ว่าการสังเกตนี้จะไม่ช่วยคุณในสถานการณ์เฉพาะของคุณ ขอโทษสำหรับเรื่องนั้น.