อุปสรรคในการแยกคลาสความซับซ้อนอื่น ๆ

ทำหลักฐานธรรมชาติ Relativization และ Algebrization ยังส่งผลกระทบต่อการแยกชั้นความซับซ้อนอื่น ๆ เช่น$L\neq NL\neq NP\neq coNP \neq PH\neq PSPACE$ etc?

เช่นอุปสรรคการพิสูจน์ตามธรรมชาติควรมีผลต่อการพิสูจน์ของ $NP\neq CoNP$ เพราะมันจะแยกจากกัน $P\neq NP$. อย่างไรก็ตามความสัมพันธ์ระหว่าง$NP$ และ $CoNP$ ดูเหมือนจะไม่ได้มีมากกับ OWFs เมื่อเทียบกับความสัมพันธ์ระหว่าง $P$ และ $NP$. ดังนั้นการพิสูจน์ตามธรรมชาติส่งผลกระทบต่อการแยกที่แข็งแกร่ง$NP\neq CoNP$?

มี (อย่างน้อย) สองด้านที่อุปสรรคที่มีอยู่มีน้อยที่จะพูดว่า:

ACC ขอบเขตที่ต่ำกว่าไม่มีสิ่งกีดขวางใด ๆ ที่รู้จักกันในการพิสูจน์ว่า TC0 ไม่ได้อยู่ใน (ไม่เหมือนกัน) ACC - นอกเหนือจากความเป็นไปได้ที่การแยกอาจเป็นเท็จ ไม่ชัดเจนว่าควรใช้การพิสูจน์ทางธรรมชาติกับ ACC คำถามนี้ลดลงไปที่: เราควรคาดหวังว่าจะมีฟังก์ชั่นหลอกเทียมที่สามารถใช้งานได้ใน ACC หรือไม่?

LOGSPACE vs NPตามที่Fortnowชี้ให้เห็นกลไกออราเคิลที่มีอยู่สำหรับการคำนวณที่ จำกัด พื้นที่ดูเหมือนจะไม่แสดงอุปสรรคที่แท้จริงให้กับ LOGSPACE vs NP สำหรับความรู้ของฉันแบบจำลองพยากรณ์ที่รู้จักกันซึ่งทำให้การล่มสลายของ LOGSPACE และ NP ยังยุบตัว ALTERNATING LOGSPACE (เช่น P) และ ALTERNATING POLYTIME (เช่น PSPACE) ดังนั้นนักทำนายเหล่านี้จึงเลือกใช้แบบจำลองการคำนวณที่ไม่สอดคล้องกันกับความเป็นจริง ถึง PSPACE)

ผลของ Razborov และ Rudich ในกระดาษพิสูจน์ธรรมชาติของพวกเขา ค่อนข้างทั่วไป มันไม่ได้ถูก จำกัด$\mathsf{P}$ เมื่อเทียบกับ $\mathsf{NP}$.

ฉันชอบความชัดเจนของคำอธิบายในหนังสือเล่มล่าสุดของStasys Juknaเรื่อง " Boolean Function Complexity: Advance and Frontiers ":

คำจำกัดความ 18.30 ฟังก์ชั่น$G : \{0,1\}^l \to \{0,1\}^n$ กับ $l < n$ เรียกว่า $(s,\epsilon)$- เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมหลอกที่ปลอดภัยถ้าสำหรับวงจรใด ๆ $C$ ขนาด $s$ บน $n$ ตัวแปร

$$|Pr[C(y) = 1] − Pr[C(G(x)) = 1]| < \epsilon,$$ ที่ไหน $y$ ได้รับการสุ่มเลือกอย่างสม่ำเสมอ $\{0,1\}^n$และ $x$ ใน $\{0,1\}^l$.

คำจำกัดความ 18.31 ปล่อย$f : {0,1}^n \to {0,1}$เป็นฟังก์ชั่นบูลีน เราพูดอย่างนั้น$f$ คือ $(s,\epsilon)$- ยากสำหรับวงจรใด ๆ $C$ ขนาด $s$,

$$|Pr[C(x) = f(x)] − \frac{1}{2}| < \epsilon,$$ ที่ไหน $x$ ได้รับการสุ่มเลือกอย่างสม่ำเสมอ $\{0,1\}^n$.

ตัวสร้างฟังก์ชันแบบสุ่มหลอกเป็นฟังก์ชันบูลีน $f(x,y) : \{0,1\}^{n+n^2} \to \{0,1\}$. โดยการตั้งค่า$y$- แปรปรวนสุ่มเราได้รับฟังก์ชั่นย่อยของมัน $f_y(x) = f(x,y)$. ปล่อย$h : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$เป็นฟังก์ชั่นบูลีนสุ่มอย่างแท้จริง เครื่องกำเนิดไฟฟ้า$f(x,y)$ ปลอดภัยต่อ $\Gamma$- โจมตีถ้าสำหรับทุก ๆ วงจร $C$ ใน $\Gamma$,

$$|Pr[C(f_y) = 1] − Pr[C(h) = 1]| < 2^{−n^2}.$$

$\Gamma$- หลักฐานธรรมชาติต่อต้าน $\Lambda$ เป็นทรัพย์สิน $\Phi : B_n \to {0,1}$ความพึงพอใจต่อไปนี้สามเงื่อนไข:
1. ประโยชน์กับ$\Lambda$ : $\Phi(f) = 1$ หมายถึง $f \notin \Lambda$.
2. ส่วนใหญ่:$\Phi(f) = 1$ อย่างน้อย $2^{−O(n)}$ เศษส่วนของทั้งหมด $2^{2^n}$ ฟังก์ชั่น $f \in B_n$.
3. การสร้าง:$\Phi \in \Gamma$คือเมื่อมองว่าเป็นฟังก์ชันบูลีน $N = 2^n$ ตัวแปรคุณสมบัติ $\Phi$ ตัวเองเป็นของชั้นเรียน $\Gamma$.

ทฤษฎีบท 18.35 หากมีระดับความซับซ้อน$\Lambda$ มีตัวสร้างฟังก์ชันสุ่มหลอกที่ปลอดภัยต่อการโจมตีแบบΓแล้วไม่มี $\Gamma$- หลักฐานธรรมชาติต่อต้าน $\Lambda$.

คำถามคือ 1. เราเชื่อไหมว่ามีฟังก์ชั่นหนัก ๆ 2. เราคาดหวังว่าจะมีคุณสมบัติในการพิสูจน์การแยกที่เป็นไปได้ในปัจจุบันหรือไม่

ในอีกทางหนึ่ง Razbarov ได้กล่าวถึงสถานที่ต่าง ๆ ที่เขามองว่าเป็นแนวทางสำหรับสิ่งที่ควรหลีกเลี่ยงและไม่ใช่อุปสรรคสำคัญในการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า

นอกเหนือจากเอกสารของRyan Williamsในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมามีสองบทความที่เขากล่าวถึง:

1. Timothy Chow , " เกือบเป็นข้อพิสูจน์ทางธรรมชาติ ", 2008, ซึ่งระบุว่าถ้าเราผ่อนคลายความใหญ่โตเล็กน้อยแล้วมีคุณสมบัติทางธรรมชาติที่พิสูจน์ได้ว่าจะแยกจากกัน$\mathsf{NP}$ จาก $\mathsf{P}$.

2. Eric AllenderและMichal Koucký , "การขยายขอบเขตที่ต่ำกว่าโดยวิธีการลดตัวเอง ", 2008, ซึ่งบอกว่าจะแยก$\mathsf{NC^1}$ จาก $\mathsf{TC^0}$ เราจำเป็นต้องพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสุดเพียงเล็กน้อยกับขนาดของ $\mathsf{TC^0}$วงจรคำนวณปัญหาการประเมินสูตรบูลีน การดำรงอยู่ของการพิสูจน์ตามธรรมชาติสำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่านั้นดูเหมือนจะไม่มีเหตุผล

Relativization และ Algebraization ค่อนข้างซับซ้อนและขึ้นอยู่กับวิธีที่เรากำหนด relaztivization สำหรับคลาสเหล่านี้ แต่ตามกฎทั่วไปdiagonalization ง่าย ๆ (diagonalization ที่ใช้เคาน์เตอร์ - ตัวอย่างเดียวกันสำหรับทุกเครื่องคอมพิวเตอร์ที่ใช้ฟังก์ชันเดียวกันนั่นคือเคาน์เตอร์ - ตัวอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เครื่องจักรในการคำนวณขนาดเล็กและไม่ขึ้นอยู่กับรหัสและวิธีการคำนวณ ) ไม่สามารถแยกคลาสเหล่านี้ได้

เป็นไปได้ที่จะดึงฟังก์ชั่น diagonalization ที่ไม่ใช่แบบง่ายจากผลลัพธ์ diagonaliztion ทางอ้อมเช่นขอบเขตล่างล่างสำหรับ SAT