เริ่มเรียนรู้ความซับซ้อนที่พิสูจน์ได้

เมื่อไม่นานมานี้ฉันเริ่มอ่านความซับซ้อนของการพิสูจน์และสนุกกับสิ่งที่ฉันได้อ่าน ฉันอยากจะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งนี้ แต่ฉันมีปัญหาในการหาเนื้อหาเริ่มต้นที่ดีสำหรับการเริ่มต้น ใครบ้างสามารถแนะนำพื้นฐานบางอย่างได้บ้าง

ขึ้นอยู่กับระดับ "เริ่มต้น" ที่คุณต้องการ ฉันไม่คิดว่าจะมีข้อความระดับปริญญาตรีที่ดีจริง ๆ เกี่ยวกับความซับซ้อนในการพิสูจน์ (อาจเป็นจริงสำหรับความเชี่ยวชาญเฉพาะด้านย่อยในความซับซ้อน) แต่สำหรับผู้เริ่มต้น (ระดับบัณฑิตศึกษา) ฉันอยากจะแนะนำบางอย่างเช่นทำความเข้าใจกับขนาดเลขชี้กำลังพื้นฐานที่ต่ำกว่าขอบเขตในการแก้ปัญหาหลักการของนกพิราบ (ผ่านข้อ จำกัด แบบสุ่มการแลกเปลี่ยนความกว้างขนาดและการแก้ไขที่เป็นไปได้) และขยายจากนั้น ชี้ไปที่ สิ่งนี้สามารถทำได้ (โดยประมาณ) ดังนี้:

1. Stasys Jukna, Combinatorics Extremal ด้วยการใช้งานในวิทยาการคอมพิวเตอร์, 2001, Springer-Verlag, ส่วนที่ 4.8

2. Eli Ben-sasson และ Avi Wigderson การพิสูจน์สั้น ๆ นั้นแคบ - ความละเอียดได้ง่าย (2000), JACM

3. P. Beame และ T. Pitassi, ความซับซ้อนในการพิสูจน์ข้อเสนอ: อดีตปัจจุบันและอนาคตแนวโน้มปัจจุบันในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี: เข้าสู่ศตวรรษที่ 21 (G. Paul, G. Rozenberg และ A. Salomaa, บรรณาธิการ) สำนักพิมพ์วิทยาศาสตร์โลก , 2001, pp. 42--70

4. Pavel Pudlák, ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับการพิสูจน์ความละเอียดและการตัดระนาบและการคำนวณแบบโมโนโทน 62 (1997), หมายเลข 3, pp. 981-998

นอกจากนี้คุณยังสามารถปรึกษาข้อความที่มีอยู่ในตัวและมีความยาวมากขึ้น:

• Peter Clote และ Evangelos Kranakis, ฟังก์ชันบูลีนและโมเดลการคำนวณ (บทที่ 5)

สำหรับด้านความซับซ้อนของการพิสูจน์เชิงตรรกะตามที่ Kaveh แนะนำคุณสามารถเริ่มอ่านบทแรกของ:

• สตีเฟ่นคุกและ Phuong เหงียน, รากฐานเชิงตรรกะของความซับซ้อนพิสูจน์ (มุมมองในตรรกะ, Cambridge Press, 2010)

สำหรับด้านพีชคณิตของความซับซ้อนในการพิสูจน์ที่มากขึ้นฉันขอแนะนำให้เริ่มต้นด้วยกระดาษสำรวจปี 1996 ของ Pitassi:

• ต. Pitassi ระบบพิสูจน์เชิงพีชคณิตเชิงประพจน์ในซีรีส์ DIMACS ในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีเล่ม 31 รูปแบบเชิงพรรณนาและความซับซ้อนเชิงพรรณนาอิมเมอร์แมนและโคลาอักเสบ (บรรณาธิการ), หน้า 215-244, 1996

สำหรับภาพรวมอย่างรวดเร็วคุณอาจศึกษาบทที่ 5 ของหนังสือ Clote - Kranakis ที่กล่าวถึงแล้วโดย Iddo ซึ่งมีส่วนเกี่ยวกับระบบพิสูจน์เชิงพีชคณิต

งานวิจัยชิ้นแรกที่ฉันอยากแนะนำให้อ่าน (ทั้งคู่เพราะมันเป็นน้ำเชื้อและเพราะมันน่าอ่าน) เป็นบทความที่แนะนำระบบการพิสูจน์ Groebner หรือ Polynomial แคลคูลัส:

• Clegg, Matthew; Edmonds, Jeffery; Impagliazzo, Russell ใช้อัลกอริทึมพื้นฐานของ Groebner เพื่อค้นหาบทพิสูจน์ความไม่พอใจ STOC 1996, 174-183 (มีให้จากหน้าเว็บของผู้แต่งโดยไม่มี paywall)

ฉันพบบันทึกบรรยายเบื้องต้นเหล่านี้อ่านง่าย: IAS Lectures ของ Paul Beame

การสำรวจความซับซ้อนที่พิสูจน์ได้ทั่วไปและล่าสุดเป็นไปได้ว่า Nathan Segerlind:

นาธาน Segerlind: ความซับซ้อนของการพิสูจน์ข้อเสนอ Bulletin ของ Symbolic Logic 13 (4): 417-481, 2007 ( http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/1304/1304-001.ps )

และตอนนี้คำเตือนสำหรับปลั๊กตัวตนที่ไร้ยางอายสองตัว ...

การสำรวจล่าสุดยิ่งขึ้น แต่เน้นที่คำถามที่เกี่ยวกับขนาดการพิสูจน์พื้นที่การพิสูจน์และการแลกเปลี่ยนพื้นที่ขนาดมากขึ้นคือ:

Jakob Nordström เกม Pebble ความซับซ้อนในการพิสูจน์และการเสียเวลาในการแข่งขัน วิธีการเชิงตรรกะในวิทยาการคอมพิวเตอร์เล่มที่ 9 ฉบับที่ 3 บทความ 15 กันยายน 2013 ( http://www.lmcs-online.org/ojs/viewarticle.php?id=674 )

นอกจากนี้ยังมีบันทึกการบรรยายบางส่วนจากหลักสูตรล่าสุดที่ฉันให้ไว้กับ "สเปกตรัมต่ำสุด" ของความซับซ้อนในการพิสูจน์ (เช่นระบบพิสูจน์ค่อนข้างอ่อนแอเช่นการแก้ปัญหาแคลคูลัสพหุนามและระนาบตัด) และการเชื่อมต่อกับการแก้ SAT หมายเหตุเหล่านี้สามารถดูได้ที่http://www.csc.kth.se/~jakobn/teaching/proofcplx11/#scribe-notes (บางส่วนยังอยู่ในระหว่างดำเนินการ แต่มีอยู่ในสภาพดี)