พารามิเตอร์เชิงสัมพันธ์สามารถกระตุ้นได้อย่างไร

มีวิธีธรรมชาติที่จะเข้าใจสาระสำคัญของความหมายเชิงสัมพันธ์สำหรับตัวแปรหลากหลายหรือไม่?

ฉันเพิ่งเริ่มอ่านเกี่ยวกับความคิดเกี่ยวกับตัวแปรเชิงสัมพันธ์, "ประเภทของ La John John Reynolds ', Abstraction และ Parametric Polymorphism" และฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจว่าความหมายเชิงสัมพันธ์เป็นแรงจูงใจ ความหมายชุดทำให้รู้สึกที่สมบูรณ์แบบสำหรับฉันและฉันตระหนักว่าชุดความหมายไม่เพียงพอที่จะอธิบายตัวแปรหลากหลาย แต่กระโดดไปสู่ความหมายเชิงสัมพันธ์ดูเหมือนว่าจะเป็นเวทมนตร์มาจากที่ไหนเลยอย่างสมบูรณ์

มีวิธีการอธิบายบางอย่างตามแนว "สมมติความสัมพันธ์กับประเภทฐานและเงื่อนไขและจากนั้นการตีความคำที่ได้รับนั้นเป็นเพียงความสัมพันธ์ตามธรรมชาติระหว่าง... เช่นและสิ่งที่เป็นธรรมชาติ ...ในภาษาการเขียนโปรแกรมของคุณ "? หรือคำอธิบายตามธรรมชาติอื่น ๆ ?

พาราเมทริกตี้เชิงสัมพันธ์เป็นหนึ่งในความคิดที่สำคัญที่สุดที่จอห์นเรย์โนลด์แนะนำดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจมากนักที่ดูเหมือนว่าเวทมนตร์ นี่คือเทพนิยายเกี่ยวกับวิธีที่เขาอาจจะคิดค้นมัน

สมมติว่าคุณกำลังพยายามทำให้ความคิดเป็นทางการว่าฟังก์ชั่นบางอย่าง (ตัวตน, แผนที่, พับ, การกลับรายการ) ทำหน้าที่ "แบบเดียวกับหลาย ๆ ประเภท" เช่นคุณมีความคิดที่เข้าใจง่ายเกี่ยวกับตัวแปรพหุสัณฐานและคุณได้กำหนดกฎบางอย่าง สำหรับการสร้างแผนที่ดังกล่าวกล่าวคือ polymorphic $\lambda$แคลคูลัสหรือตัวแปรต้นของมัน คุณสังเกตเห็นว่าความหมายที่ไร้เดียงสาของทฤษฎีเซตไม่ทำงาน

ตัวอย่างเช่นเราจ้องที่ประเภท

$$\forall X : \mathsf{Type} . X \to X,$$ ซึ่งควรมีเฉพาะในแผนที่ของตัวตน แต่ไร้เดียงสาชุดทฤษฎีความหมายช่วยให้การทำงานที่ไม่พึงประสงค์เช่น $$\lambda X : \mathsf{Type} . \lambda a : X . \mathsf{if}\ (X = \lbrace 0, 1 \rbrace) \ \mathsf{then} \ 0 \ \mathsf{else}\ a.$$ เพื่อกำจัดสิ่งเหล่านี้เราจำเป็นต้องกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชั่น ตัวอย่างเช่นเราสามารถลองใช้ทฤษฎีโดเมน: จัดเซต$X$แต่ละชุดด้วยคำสั่งบางส่วน$\leq_X$และต้องการให้ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นเสียงเดียว แต่นั่นไม่ได้ลดลงเพราะฟังก์ชั่นที่ไม่พึงประสงค์ข้างต้นนั้นเป็นค่าคงที่หรือตัวตนขึ้นอยู่กับ$X$และนั่นคือแผนที่โมโนโทน

บางส่วนเพื่อ$\leq$เป็น relfexive, สกรรมกริยาและ antisymmetric เราสามารถลองเปลี่ยนโครงสร้างตัวอย่างเช่นเราสามารถลองใช้คำสั่งบางส่วนที่เข้มงวดหรือคำสั่งเชิงเส้นหรือความสัมพันธ์ที่เท่ากันหรือเพียงแค่ความสัมพันธ์แบบสมมาตร อย่างไรก็ตามในแต่ละกรณีตัวอย่างที่ไม่ต้องการคืบคลานเข้ามาตัวอย่างเช่นความสัมพันธ์แบบสมมาตรกำจัดหน้าที่ที่ไม่ต้องการของเรา

จากนั้นคุณสังเกตเห็นสองสิ่ง:

1. ต้องการตัวอย่างที่ไม่เคยตัดความสัมพันธ์กับสิ่งที่คุณใช้ในสถานที่ของคำสั่งซื้อบางส่วน≤$\leq$
2. สำหรับตัวอย่างที่ไม่พึงประสงค์ที่คุณต้องการแต่ละครั้งคุณสามารถค้นหาความสัมพันธ์ที่กำจัดมันได้ แต่ไม่มีความสัมพันธ์เดียวที่กำจัดพวกเขาทั้งหมด

ดังนั้นคุณมีความคิดที่ยอดเยี่ยมว่าฟังก์ชันที่ต้องการคือฟังก์ชันที่รักษาความสัมพันธ์ทั้งหมดไว้และโมเดลเชิงสัมพันธ์เกิดขึ้น

คำตอบสำหรับคำถามของคุณมีอยู่ในนิทานของ Reynolds (ส่วนที่ 1) ให้ฉันลองตีความมันให้คุณฟัง

ในภาษาหรือเป็นทางการซึ่งเป็นประเภทที่ถือเป็นabstractionsตัวแปรประเภทสามารถยืนหยัดเพื่อความคิดนามธรรมใด ๆ เราไม่คิดว่าประเภทนั้นจะถูกสร้างขึ้นผ่านทาง syntax ของ type term หรือคอลเล็กชันคงที่ของตัวดำเนินการชนิดหรือว่าเราสามารถทดสอบสองประเภทสำหรับความเท่าเทียมกันเป็นต้นในภาษานั้นถ้าฟังก์ชั่นนั้นเกี่ยวข้องกับตัวแปรประเภทเท่านั้น สิ่งที่ฟังก์ชั่นสามารถทำได้กับค่าของประเภทนั้นคือการสับเปลี่ยนค่าที่ได้รับ มันไม่สามารถประดิษฐ์ค่าใหม่ของประเภทนั้นได้เพราะมันไม่ "รู้" ว่ามันคืออะไร! นั่นคือความคิดที่ใช้งานง่ายของparametricity

$t$$A$$A'$$R : A \leftrightarrow A'$$x \in A$$x' \in A'$$x$$x'$$R$$t$$x$$x'$$R$$x$$x'$

$A$$A'$$A$$A'$$A'$$A$

$R$$I_K$$K$$t \times Int \to Int \times t$$R \times I_{Int} \to I_{Int} \times R$$f$$(x,n)$$(x',n)$$(m,x)$$(m,x')$$F(I_{A_1},\ldots,I_{A_n}) = I_{F(A_1,\ldots,A_n)}$ คุณสมบัติ

$t \to t$$t \to Int$$Int \to t$$t \times t \to t \times t$$(t \to t) \to t$$(t \to t) \to (t \to t)$

$\omega$

ยิ่งไปกว่านั้นมันเป็นการดึงดูดให้ระบุฟังก์ชันที่มีพฤติกรรมแบบมิติเดียวกันซึ่งนำไปสู่ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ความสัมพันธ์เป็นบางส่วนถ้าเราแยกฟังก์ชั่น "ไม่ได้กำหนด" นั่นคือฟังก์ชั่นที่ "ลูป" สำหรับอินพุตที่มีรูปแบบที่ดี

รุ่น PER นั้นเป็นลักษณะทั่วไปของสิ่งนี้

วิธีการที่จะดูรูปแบบเหล่านี้จะเป็น (มาก) กรณีพิเศษของรุ่นชุด simplicial อีกHomotopy ประเภททฤษฎี ในกรอบนั้นประเภทถูกตีความว่าเป็น (ความเห็นโดยทั่วไป), ชุดที่มีความสัมพันธ์และความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์เหล่านั้น ฯลฯ ในระดับต่ำสุดเราก็มีโมเดล PER

ในที่สุดสาขาคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ได้เห็นลักษณะที่ปรากฏของแนวคิดที่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะทฤษฎีเซตของบิชอปที่เกี่ยวข้องกับการอธิบายชุดโดยให้ทั้งสององค์ประกอบและความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันอย่างชัดเจนซึ่งจะต้องเทียบเท่า เป็นเรื่องปกติที่จะคาดหวังว่าหลักการทางคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์บางอย่างของพวกเขาจะนำไปสู่ทฤษฎีประเภท