ไฮเปอร์doctrinesและลอจิกลำดับที่สอง Monadic

คำถามนี้เป็นคำถามที่ฉันถามใน Mathoverflow

Monadic Second Order (MSO) ลอจิกเป็นตรรกะลำดับที่สองที่มีปริมาณมากกว่าภาควิชาเอก นั่นคือปริมาณมากกว่าชุด มีหลาย logics MSO ที่เป็นพื้นฐานของโครงสร้างการศึกษาในวิทยาการคอมพิวเตอร์

คำถามที่ 1.มีความหมายอย่างชัดเจนสำหรับ Logics คำสั่งที่สองของ Monadic หรือไม่

คำถามที่ 2การรักษาของตรรกะเด็ดขาดมักจะพูดถึง "ตรรกะปรีชาที่สูงขึ้นเพื่อ" ฉันถูกต้องหรือไม่ที่จะสันนิษฐานว่าพวกเขาอ้างถึงฟังก์ชันลำดับที่สูงกว่าแทนที่จะเป็นปริมาณสำหรับภาคแสดงลำดับที่สอง?

คำถามที่ 3 (เพิ่มเติม, 08 พ.ย. 2556, หลังจากคำตอบของ Neel) ความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับการหาปริมาณลำดับที่หนึ่ง $\pi^*$ ของ morphism ประมาณการ $\pi$ . ปริมาณสากลถูกตีความว่าเป็นสิ่งที่ถูกต้อง $\pi^*$ และปริมาณที่มีอยู่ถูกตีความว่าเป็น adjoint ซ้ายของ $\pi^*$ . สิ่งอำนวยความสะดวกเหล่านี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขบางอย่างซึ่งบางครั้งฉันเคยเห็นชื่อเบ็ค - Chevalley และ Frobenius-Reciprocity

ตอนนี้ถ้าเราต้องการหาปริมาณภาคแสดงฉันถือว่าฉันอยู่ในหมวดหมู่ปิดคาร์ทีเซียนภาพก็เกือบจะเหมือนกันยกเว้นว่า $X$ ด้านล่างมีโครงสร้างที่แตกต่างจากเมื่อก่อน

\exists_{I, X}, \forall_{I, X} : P_{C} (I \times X) \to P_{C} (I)

$\exists_{I,X}, \forall_{I,X}: P_C(I\times X) \to P_C(I)$

นั่นถูกต้องใช่ไหม?

ฉันเชื่อว่าบล็อกจิตของฉันเป็นเพราะก่อนหน้านี้ฉันจัดการกับ hyperdoctrines ลำดับแรกและไม่จำเป็นต้องปิดหมวดหมู่คาร์ทีเซียนและไม่ได้พิจารณาในภายหลัง

ความเป็นมาและบริบท ฉันได้ทำงานกับการนำเสนอของหมวดหมู่ตรรกะโดย Andy Pitts ในบทความของเขาของ Logic ในบทความวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์แต่ฉันยังคุ้นเคยกับการรักษาทฤษฎี Tripos ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาเช่นเดียวกับบันทึกของ Awodey และ Bauer ฉันเริ่มต้นเรียนประเภทของประเภท Crole และหนังสือโดย Lambek และ Scott แต่ไม่นานหลังจากที่ฉันได้อ่านบทความสองเล่มสุดท้าย

สำหรับแรงบันดาลใจฉันสนใจชนิดของ log MSO ที่ปรากฏในทฤษฎีบทด้านล่าง ฉันไม่ต้องการที่จะจัดการกับตรรกะที่เทียบเท่าอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ ความหมายฉันไม่ต้องการเข้ารหัสภาค predicates ในแง่ของฟังก์ชั่นการสั่งซื้อที่สูงขึ้นแล้วจัดการกับตรรกะอื่น แต่ฉันยินดีที่จะศึกษาความหมายที่มีการเข้ารหัสดังกล่าวภายใต้ประทุน

(ทฤษฎี Buechi และ Elgot) เมื่อเอกภพของโครงสร้างเป็นคำที่มีความหมายเหนือตัวอักษรที่ จำกัด ภาษานั้นเป็นภาษาที่ใช้กันทั่วไปหากสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนใน MSO พร้อมคำอธิบายที่แปลเพื่อแสดงตำแหน่งต่อเนื่อง
(ทฤษฎีบทของ Buechi) เมื่อจักรวาลของโครงสร้างคือ $\omega$ - คำมากกว่าตัวอักษรที่ จำกัด ภาษาคือ $\omega$ - ผิดปกติแน่นอนถ้ามันสามารถนิยามได้ใน MSO พร้อมกับคำอธิบายตีความที่เหมาะสม
(ทฤษฎีแทตเชอร์และไรท์) ชุดของต้นไม้ จำกัด เป็นที่รับรู้โดยต้นไม้ต้นไม้อัตโนมัติที่อยู่ด้านล่างขึ้นมาอย่างแน่นอนถ้ามันสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนใน MSO พร้อมภาคแสดงการตีความ
WS1Sเป็นทฤษฎีลำดับสองที่อ่อนแอของ Monadic ของ One Successor สูตรกำหนดชุดของตัวเลขธรรมชาติและตัวแปรลำดับที่สองสามารถตีความได้เป็นชุด จำกัด WS1S สามารถตัดสินใจได้โดยการ จำกัด ออโตมาตะด้วยการเข้ารหัส tuples ของจำนวนธรรมชาติเป็นคำ จำกัด
(ทฤษฎีบทของราบิน) S2Sเป็นทฤษฎีลำดับที่สองของสองผู้สืบทอด S2S สามารถตัดสินใจได้โดย Rabin ออโตมาตา

lo.logic ct.category-theory

— วีเจย์ดี
แหล่งที่มา

ฉันไม่รู้!
ไม่ข้อสันนิษฐานของคุณไม่ถูกต้อง คุณสามารถหาจำนวนฟังก์ชันที่มีลำดับสูงกว่าและเพรดิเคตใน IHOL (อันที่จริงเพรดิเคตเป็นเพียงฟังก์ชันในประเภทของข้อเสนอ) การตั้งค่ามีลักษณะดังนี้:

$\begin{array}{llcl} Sort & ω & ::= & ω \to ω | ω \times ω | 1 | p r o p | ι \\ Term & t & ::= & x | λ x . t | t t^{'} | (t, t) | π_{1} (t) | π_{2} (t) | () \\ | & p \Rightarrow q | ⊤ | p \land q | ⊥ | p \lor q \\ | & \forall x : ω . p | \exists x : ω . p | t =_{ω} t^{'} \\ | & f (\vec{t}) \end{array}$ $\begin{array}{llcl} \mbox{Sort} & \omega & ::= & \omega \to \omega \;\; | \;\; \omega \times \omega \;\; | \;\; 1 \;\;|\;\; \mathrm{prop} \;\;|\;\; \iota\\ \mbox{Term} & t & ::= & x \;\;|\;\; \lambda x.t \;\;|\;\; t\;t' \;\;|\;\; (t,t) \;\; | \;\; \pi_1(t) \;\;|\;\; \pi_2(t) \;\;|\;\; () \\ & & | & p \Rightarrow q \;\;|\;\; \top \;\;|\;\; p \wedge q \;\;|\;\; \bot \;\;|\;\; p \vee q \\ & & | & \forall x:\omega.p \;\;|\;\; \exists x:\omega.p \;\;|\;\; t =_\omega t' \\ & & | & f(\vec{t}) \end{array}$

คุณให้กฎการพิมพ์ตามปกติเพื่อตัดสินความเป็นคำที่เหมาะสม บรรทัดแรกของคำศัพท์เป็นแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ได้ปกติโดยทั่วไปแล้วบรรทัดที่สองเป็นข้อเสนอของตรรกะลำดับสูงกว่า (พิมพ์เป็นองค์ประกอบของ $\mathrm{prop}$ ) และบรรทัดที่สามคือค่าคงที่ใดก็ตามที่คุณใช้เพื่อจัดรูปแบบส่วนบุคคล (องค์ประกอบของ $\iota$ )

จากนั้นแนวคิดก็คือคุณต้องการขยายความหมายของคริปเกสำหรับตรรกะเชิงสัญชาตญาณลำดับที่หนึ่งไปเป็นลอจิกลำดับที่สูงขึ้น ไฮโดรโดครีนอันดับหนึ่งคือ functor $P : C^\mathrm{op} \to \mathrm{Poset}$ ระหว่างหมวดหมู่ $C$ ด้วยผลิตภัณฑ์ (ใช้ในการตีความข้อกำหนดในบริบท) และหมวดหมู่ของ posets (ค่าโปรยความจริง) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการเพื่อให้การทดแทนทำงานได้อย่างถูกต้อง

ในการไปยัง IHOL คุณต้องยืนยันด้วย

$C$ ถูกปิดคาร์ทีเซียน (เพื่อจำลองความสามารถในการหาปริมาณมากกว่าประเภทฟังก์ชัน) และ
$C$ มี Heyting พีชคณิตภายใน $H$ พึงพอใจในทรัพย์สินที่มีไว้สำหรับทุกคน $\Gamma \in C$ , $\mathit{Obj}(P(\Gamma)) \simeq C(\Gamma, H)$ . คุณใช้ $H$ เพื่อรูปแบบ $\mathrm{prop}$ และมอร์ฟิซึ่มส์บอกคุณถึงประเภทของข้อตกลง $\mathrm{prop}$ สอดคล้องกับค่าความจริงจริงๆ

โครงสร้างนี้เกือบจะเป็น "โรงเรียนประถม" หากคุณยังต้องการที่ $P(\Gamma)$ เป็นตำแหน่งของ subojects ของ $\Gamma$ แล้วคุณอยู่ที่นั่น (สิ่งนี้บอกว่าคุณสามารถเพิ่มหลักการความเข้าใจในตรรกะของคุณ)

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา