ผลที่ตามมาของอัลกอริธึมเวลาเสมือนพหุนามสำหรับปัญหามอร์ฟกราฟ

ปัญหากราฟมอร์ฟ (GI) เป็น arguably ผู้สมัครที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับNP-กลางปัญหา อัลกอริธึมที่รู้จักกันดีที่สุดคืออัลกอริธึมย่อยแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลพร้อมรันไทม์ ) เป็นที่ทราบกันว่า GI ไม่ได้เป็นNP-สมบูรณ์ยกเว้นว่าลำดับชั้นของพหุนามยุบ$2^{O(\sqrt{n \log n})}$$\mathsf{NP}$

สิ่งที่จะเป็นผลมาจากความซับซ้อนทางทฤษฎีของอัลกอริทึมเวลาพหุนามในปัญหากราฟ Isomorphism?
อัลกอริธึมเวลากึ่งโพลิโนเมียลสำหรับ GI จะลบล้างการคาดเดาที่มีชื่อเสียงในทฤษฎีความซับซ้อนหรือไม่?

ปัญหาที่คล้ายกันอื่น ๆ เช่นปัญหาการครอบครองขั้นต่ำในการแข่งขันปัญหากลุ่ม Isomorphism และปัญหา Isomorphism ของการแข่งขันมีอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนาม ( QP ) ปัญหาสองข้อต่อมาคือพหุนามเวลาลดลงกับ GI

เราสามารถลดปัญหาการครอบครองขั้นต่ำในทัวร์นาเมนต์ให้เป็น GI ได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่?
มีการคาดเดาว่า GI นั้นจะยากสำหรับ QP หรือไม่?

Update (2015-12-14) : Babai ได้โพสต์ร่างเอกสารเบื้องต้นเกี่ยวกับ arXiv สำหรับอัลกอริทึม quasipolynomial-time ของเขาสำหรับ GI

Update (2017/01/04) : Babai หดอ้างว่าอัลกอริทึมที่อยู่ในเวลา quasipolynomial ตามการวิเคราะห์ใหม่อัลกอริทึมที่อยู่ใน subexponential เวลาซึ่งเป็นภายใน2 n o ( 1 )$\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))$$2^{n^{o(1)}}$

Update (2017-01-09) : Babai เรียกคืนการเรียกร้องเวลา quasipolynomial แทนที่ขั้นตอนการละเมิดด้วยวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น

เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ถ้าคุณถามเพียงแค่ผลที่เกิดขึ้นจากความเป็นจริง (เช่นกล่องดำ) ที่ GI อยู่ใน QP ฉันคิดว่าคำตอบนั้นน้อยมาก สิ่งหนึ่งที่ฉันนึกได้ซึ่งไม่ใช่ทฤษฎีบท แต่เป็นผลมาจากทิศทางการวิจัยคือกลุ่ม Isomorphism เนื่องจาก GroupIso ลดค่า GI ลงและเราไม่รู้ด้วยซ้ำว่า GroupIso อยู่ใน P การใส่ GroupIso ลงใน P จึงเป็นอุปสรรคสำคัญในการนำ GI ไปใช้ใน P (ถ้าคุณคิดว่ากรณีหลังอาจเป็นเช่นนั้น)

$n^{\log n + O(1)}$$2^{\tilde O(\sqrt{n})}$

$\varnothing$$\Sigma^*$

สิ่งที่จะเป็นผลมาจากความซับซ้อนทางทฤษฎีของอัลกอริทึมเวลาพหุนามในปัญหากราฟ Isomorphism?

คล้ายกันมากขึ้นหรือน้อยลงคล้ายกับผลของอัลกอริทึมเวลาพหุนามกำหนดสำหรับการทดสอบแบบดั้งเดิม, อัลกอริทึมเวลาพหุนามกำหนดสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและกรณีอื่น ๆ ที่อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในทางปฏิบัติ และใช้งานเป็นเวลานาน มันยืนยันการคาดการณ์ว่าประสิทธิภาพการปฏิบัติเป็นตัวบ่งชี้ที่ดีสำหรับการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมทางทฤษฎีที่กำหนดขึ้นมาเพื่อเอาชนะปัญหาของตัวอย่างทางพยาธิวิทยาที่หายาก

อัลกอริธึมเวลากึ่งโพลิโนเมียลสำหรับ GI จะลบล้างการคาดเดาที่มีชื่อเสียงในทฤษฎีความซับซ้อนหรือไม่?

ไม่การคาดเดาค่อนข้างไปที่ไซต์ตรงข้ามนั่นคือ GI อยู่ใน P เนื่องจาก GI อยู่ใน NP มันจะไม่เป็นไปได้ที่จะหักล้างการคาดเดาประเภทนี้ในไม่ช้า

เราสามารถลดปัญหาการครอบครองขั้นต่ำในทัวร์นาเมนต์ให้เป็น GI ได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่?

ชุดการปกครองขั้นต่ำไม่ใช่ปัญหามอร์ฟิซึ่มส์ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลว่าทำไมจึงควรคาดว่าจะลดการ GI

มีการคาดเดาว่า GI นั้นจะยากสำหรับ QP หรือไม่?

เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะลดปัญหาสตริงมอร์ฟิซึ่มให้กับ GI ได้อย่างไรและอย่างน้อยก็เป็นปัญหามอร์ฟ บทพิสูจน์ของบาบาแสดงให้เห็นว่าสตริงมอร์ฟิสม์อยู่ใน QP ดังนั้น ... และอะไรที่ยากสำหรับ QP ที่ควรจะหมายถึง? ยากที่จะลดเวลาพหุนาม

จากการแนะนำของOn Group และปัญหาสี IsomorphismโดยFrançois Le Gall และ David J. Rosenbaum

ความซับซ้อนของปัญหาการทดสอบมอร์ฟิซึ่มส์มีคุณค่าในการศึกษาทั้งคู่เพราะเป็นคำถามการคำนวณขั้นพื้นฐานและเพราะหลายคนไม่ทราบว่าอยู่ใน P แต่ดูเหมือนว่าจะง่ายกว่าปัญหา NP-Complete การศึกษาอย่างหนักที่สุดของสิ่งเหล่านี้คือปัญหากราฟมอร์ฟ

$\mathsf{GI}^*$$\mathsf{GrI}^*$มีการกำหนดไว้ (ในกระดาษข้างต้น แต่ผู้เขียนถูกต้องสงสัยว่าทำไมไม่มีใครทำมาก่อน) ซึ่งเพิ่มชิ้นส่วนที่ขาดหายไปจากปัญหาสตริง isomorphism (และปัญหา isomorphism สีเป็นเพียงชื่อที่แตกต่างกันสำหรับปัญหาสตริง isomorphism ปัญหาชื่อสี automorphism กลับไปที่เอกสารเริ่มต้นของ Babai และ Luks, isomorphism สตริงชื่อเกิดขึ้นในภายหลังในกระดาษของพวกเขาในการติดฉลากที่เป็นที่ยอมรับ)

$\mathsf{GI}^*$

แก้ไข:คำตอบนี้ได้รับในบริบทของการเพิกถอนผลของ Babai ก่อนที่เขาจะประกาศการแก้ไข มันแสดงให้เห็นว่าการวางนัยทั่วไปเล็กน้อยของปัญหากราฟ isomorphism ที่แนะนำโดย string isomorphism นั้นเป็นปัญหาที่สำคัญจริงๆ ความคาดหวังโดยนัยที่นี่คืออัลกอริธึมที่สมเหตุสมผลสำหรับปัญหากราฟมอร์ฟิซึมจะนำไปสู่อัลกอริธึมที่คล้ายกันสำหรับปัญหากราฟมอร์ฟทั่วไป ปัญหาทั่วไปคือเวลาพหุนามเท่ากับปัญหาset-stabilizer , ปัญหาการแยกกลุ่ม , ปัญหาการแยก coset, ปัญหาการขนย้ายชุด , ... แนวคิดเบื้องหลังความคาดหวังนี้คือปัญหาทั่วไปจะเกิดขึ้นในส่วนที่เกิดซ้ำของอัลกอริทึมที่สมเหตุสมผลใด ๆ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแก้ไขต่อไป (และเป็นไปได้ทีเดียวที่ปัญหาทั่วไปคือเวลาพหุนามเท่ากับกราฟ isomorphism)

ตอนนี้ความคิดเห็นของ Joshua Grochow บ่งบอกว่าฉันไม่ประสบความสำเร็จในการอธิบายความสำคัญทางแนวคิดของชิ้นส่วนที่หายไปจากปัญหาสตริงมอร์ฟิซึ่มส์ สำหรับโครงสร้างที่ไม่มีที่สิ้นสุดมันอาจง่ายกว่าที่จะเห็นคุณค่าของ isomorphism ที่ถูกต้องไม่เพียง แต่ควรรักษาโครงสร้างที่กำหนดไว้ แต่ยังอยู่ในหมวดหมู่ของฟังก์ชันที่เหมาะสม (เช่นหมวดหมู่ของฟังก์ชันต่อเนื่อง) สำหรับโครงสร้าง จำกัด ปรากฏการณ์เชิงอุปมาส่วนใหญ่เกิดขึ้นสำหรับโครงสร้างความฉลาดทางซึ่งหมวดหมู่ของฟังก์ชันที่เหมาะสมควรเข้ากันได้กับผลหารที่กำหนด สิ่งที่จอห์นสันเป็นตัวอย่างทั่วไปของความฉลาดทางตรรกะตัวอย่างเช่นตรรกะของพาร์ติชันกำลังทำงานกับชุดย่อยองค์ประกอบสองชุดของชุดฐานบางชุด นอกจากนี้โปรดทราบว่าการ จำกัด ประเภทที่อนุญาตสำหรับ isomorphisms มักจะทำให้ปัญหาการทดสอบ isomorphism ง่ายขึ้น

ปัญหาเกี่ยวกับการสรุปทั่วไปของปัญหามอร์ฟิซึ่มส์กราฟคือที่ที่ควรหยุด ทำไมไม่พูดคุยกันโดยทั่วไปถึงการรวมกลุ่มการเปลี่ยนแปลงของปัญหามอร์ฟ คำถามนี้ยากจริงๆเนื่องจากผลลัพธ์ที่ไม่น่าสนใจมากมายสำหรับกราฟ isomorphism อาจนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงของกลุ่ม isomorphism เช่นกัน แต่ที่นี่มันให้ความรู้สึกที่สมเหตุสมผลมากกว่าในการรักษาทฤษฎีกลุ่มการเปลี่ยนแปลงของการคำนวณในฐานะที่เป็นเรื่องของตัวเองแม้ว่ามันจะมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปัญหากราฟมอร์ฟิซึม