ฟังก์ชั่นที่น่าสนใจบนกราฟที่สามารถขยายให้ใหญ่สุดได้อย่างมีประสิทธิภาพ

บอกว่าฉันมีกราฟถ่วงน้ำหนักดังนั้นคือฟังก์ชันการถ่วงน้ำหนัก - โปรดทราบว่าอนุญาตให้น้ำหนักเชิงลบได้w : E → [ - 1 , 1 $G = (V,E,w)$$w:E\rightarrow [-1,1]$

บอกได้เลยว่ากำหนดคุณสมบัติของเซตของจุดใด ๆV S ⊂ $f:2^V\rightarrow \mathbb{R}$$S \subset V$

$f$$\arg\max_{S \subseteq V}f(S)$

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันตัดกราฟ เป็นคุณสมบัติที่น่าสนใจของชุดย่อย ของจุดยอด แต่ไม่สามารถขยายให้ใหญ่สุดได้อย่างมีประสิทธิภาพ ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของขอบเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของคุณสมบัติที่น่าสนใจที่อนิจจาไม่สามารถขยายได้อย่างมีประสิทธิภาพ ฉันกำลังมองหาฟังก์ชั่นที่น่าสนใจไม่แพ้กัน แต่สามารถขยายได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ฉันจะให้คำจำกัดความของ "น่าสนใจ" ค่อนข้างคลุมเครือ แต่ฉันต้องการให้ปัญหาการทำให้เกิดประโยชน์สูงสุดนั้นไม่ใช่เรื่องไร้สาระ ตัวอย่างเช่นคุณไม่ควรกำหนดคำตอบโดยไม่ตรวจสอบที่ขอบของกราฟ (ฟังก์ชันคงที่และฟังก์ชัน cardinality ไม่น่าสนใจ) มันไม่ควรเป็นเช่นนั้นว่าเป็นเพียงแค่การเข้ารหัสฟังก์ชั่นอื่น ๆ ด้วยโดเมนขนาด polynomially โดยการใส่ลงในโดเมน (เช่นฉันไม่ต้องการให้มีโดเมนขนาดเล็กและฟังก์ชันบางส่วนรู้จักก่อนที่จะดูกราฟเช่นว่าฟังก์ชันที่น่าสนใจคือและ2 V X m : 2 S → X g : X → R f ( S ) = g ( m ( S ) $f$$2^V$$X$$m:2^S\rightarrow X$$g:X\rightarrow \mathbb{R}$$f(S) = g(m(S))$ หากเป็นกรณีนี้ปัญหา "การขยายใหญ่สุด" เป็นเพียงคำถามของการประเมินฟังก์ชันในอินพุตทั้งหมด)

แก้ไข: จริงที่บางครั้งปัญหาการย่อขนาดนั้นง่ายถ้าคุณเพิกเฉยน้ำหนักขอบ (แม้ว่าจะไม่ทำให้ฟังก์ชั่นการตัดลดลง แต่ฉันสนใจปัญหาการขยายใหญ่สุดอย่างชัดเจน มันไม่ได้กลายเป็นปัญหาของปัญหาถ่วงน้ำหนักตามธรรมชาติในการตั้งค่านี้

เมื่อใดก็ตามที่นับจำนวนของขอบตามเงื่อนไขของบูลีนที่กำหนดไว้ในรูปของและสิ่งที่คุณเขียนคือบูลีน 2-CSP ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ขอให้เพิ่มจำนวนของข้อที่พอใจมากกว่าการกำหนดทั้งหมดให้กับตัวแปร สิ่งนี้เป็นที่รู้จักกันว่า NP-hard และค่าความแข็งที่แน่นอนนั้นยังรู้จักกันในชื่อ UGC (ดู Raghavendra'08)( u , v ) u ∈ S v ∈ $f(S)$$(u,v)$$u\in S$$v\in S$

มีตัวอย่างที่เป็นไปตามธรรมชาติมากมายเมื่อคุณต้องการขยายให้กว้างกว่าขอบชุดย่อยเช่นการจับคู่สูงสุดเป็นตัวอย่างหนึ่งของปัญหาเวลาพหุนามในกรณีนี้

ฉากกั้นแบ่งส่วน / สีอ่อน 2 สี

(ในกรณีนี้ถ้าแต่ละv ∈ Sมีเพื่อนบ้านในV ∖ Sและในทางกลับกันมิฉะนั้นf ( S ) = 0การแก้ปัญหาด้วยf ( S ) = 1จะมีอยู่เสมอหากไม่มีตัวแยก โหนดและสามารถพบได้ง่ายในเวลาพหุนาม)$f(S) = 1$$v \in S$$V \setminus S$$f(S) = 0$$f(S) = 1$

การตัดขั้นต่ำ (โดยเฉพาะการตัดจุดยอด)

(ในกรณีนี้จะเป็นดังนี้: 0 ถ้าการลบโหนดในชุดSไม่ได้แบ่งพาร์ติชันGอย่างน้อยสององค์ประกอบและ| V | - | S |มิฉะนั้นจากนั้นการเพิ่มfเท่ากับการหาการตัดขั้นต่ำ ซึ่งสามารถทำได้ในเวลาพหุนาม)$f$$S$$G$$|V| - |S|$$f$

คุณยังสามารถกำหนดฟังก์ชั่นที่คล้ายกันซึ่งสอดคล้องกับการตัดขอบขั้นต่ำ

(ตัวอย่างเช่นคือ 0 ถ้าS = ∅หรือS = Vมิฉะนั้นจะเป็น| E | - | X |โดยที่Xคือชุดของขอบที่มีจุดปลายด้านหนึ่งในSและอีกจุดสิ้นสุดในV ∖ เอส .)$f(S)$$S = \emptyset$$S = V$$|E| - |X|$$X$$S$$V \setminus S$

ชุดอิสระสูงสุด

(นี่ = จำนวนโหนดในSที่ไม่ได้อยู่ติดกับโหนดอื่น ๆ ในS + จำนวนโหนดในV ∖ Sที่อยู่ติดกับโหนดในS Iff Sเป็นชุดอิสระสูงสุดที่เรามีf ( S ) = | V | .)$f(S)$$S$$S$$V \setminus S$$S$$S$$f(S) = |V|$