Co-NP- ครบถ้วนของทัวร์ TSP น้อยที่สุด?

ปัญหานี้มาจากการโพสต์บล็อกล่าสุดของฉันสมมติว่าคุณได้รับการแนะนำ TSP หรือไม่มันเป็นแบบ co-NP-complete

แม่นยำมากขึ้นคือปัญหาต่อไปนี้ที่ทำให้สมบูรณ์:

อินสแตนซ์: กำหนดกราฟที่สมบูรณ์ G ที่มีขอบถ่วงน้ำหนักด้วยจำนวนเต็มบวกและวัฏจักรธรรมดา C ที่เข้าชมโหนดทั้งหมดของ G

คำถาม: มีวัฏจักรอย่างง่าย D ที่เยี่ยมชมโหนดทั้งหมดของ G ว่าน้ำหนักรวมของขอบทั้งหมดของ D ใน G น้อยกว่าน้ำหนักรวมของ C ทั้งหมดใน G หรือไม่?

ภาพร่างของการลดที่เป็นไปได้เพื่อพิสูจน์ว่าเป็น NP-complete

มันเริ่มต้นจากสูตร 3SAT ที่แก้ไขแล้วซึ่งใช้เพื่อแสดงว่า 3SAT นั้นเป็น ASP-Complete (ปัญหาการแก้ปัญหาอื่น) และ "ตาม" ห่วงโซ่มาตรฐานของการลดลง 3SAT => HAMCYCLE ตรง => HAMCYCLE ที่ไม่ได้ติดตั้ง => TSP

• เริ่มต้นด้วยสูตร 3SATพร้อมตัวแปรและ caluses C_1 ;n x 1 , . . x nมซี1 , . . , C $\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...,C_m$
• เปลี่ยนเป็นสูตรใหม่เพิ่มตัวแปรใหม่ ... ;$\varphi'$$t$
• ... และขยายแต่ละส่วนประโยคถึง ;( x i 1 ∨ x i 2 ∨ x i 3 ∨ t $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
• จากสร้างกราฟโครงสร้างเพชรใช้เพื่อพิสูจน์ว่าวงจร HAMILTONIAN DIRECTED HAMILTONIAN เป็น NP-Complete; สมมติว่าแต่ละข้อตรงกับโหนดใน ; G = { V , E } C j N j$\varphi'$$G = \{V,E\}$$C_j$$N_j$$G$
• ดัดแปลงเป็นกราฟแทนที่แต่ละโหนดด้วยโหนดที่เชื่อมโยงสามโหนด และปรับเปลี่ยนขอบตามการลดมาตรฐานที่ใช้ในการพิสูจน์ความสมบูรณ์ NP ของ HAMILTONIAN HAMILTONIAN DIRECTED HAMILTONIAN CYCLE เช่นคือโหนดที่ใช้สำหรับขอบขาเข้า,คือโหนดที่ใช้สำหรับขอบขาออก;G ′ = { V ′ , E ′ } คุณu 1 , u 2 , u 3 u 1 u $G$$G' = \{V',E'\}$$u$$u_1, u_2, u_3$$u_1$$u_3$
• แปลงอินสแตนซ์ HAMILTONIAN CYCLE ที่ไม่มีการแปรสภาพในเป็น TSP เช่นซึ่งขอบทั้งหมดของมีน้ำหนักยกเว้นขอบ (ที่ไม่ซ้ำกัน) ในเพชรจะเป็นการกำหนด "บวก" ของซึ่งมีน้ำหนัก (ขอบสีแดงในภาพด้านล่าง); ที่สุดขอบเพิ่มเพื่อให้มีน้ำหนักสมบูรณ์3 T G ′ w = 1 t w = 2 G ′ w = $G'$$T$$G'$$w = 1$$t$$w = 2$$G'$$w = 3$

เห็นได้ชัดว่าอินสแตนซ์ TSPมีวัฏจักรอย่างง่ายที่เข้าชมโหนดทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับการมอบหมายที่น่าพอใจของ ซึ่งφ ′ t = t r u $T$$\varphi'$$t = true$ (และการเดินทางนี้สามารถสร้างได้ง่ายในเวลาพหุนาม) แต่มีน้ำหนักรวม (เพราะใช้ขอบที่สอดคล้องกับการมอบหมายt = t r u eที่มีน้ำหนัก 2) Tมีวัฏจักรอย่างง่ายอื่นที่เข้าชมโหนดทั้งหมดด้วยน้ำหนักรวมที่ต่ำกว่า| V ′ | ถ้าและเพียงถ้าขอบของน้ำหนัก$|V'|+1$$t = true$$T$$|V'|$$2$ที่สอดคล้องกับการมอบหมายไม่ได้ใช้; หรือเท่ากันถ้าหากมีการมอบหมายที่น่าพอใจอีกอันหนึ่งของφ ′ซึ่ง t = f a l s e ; แต่สิ่งนี้อาจเป็นจริงได้หากว่าสูตรดั้งเดิมφนั้นน่าพอใจ$t = true$$\varphi'$$t = false$$\varphi$

ฉันจะคิดเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้และฉันจะเขียนหลักฐานอย่างเป็นทางการ (ถ้ามันไม่ผิด :-) แจ้งให้เราทราบหากคุณต้องการรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับข้อความข้างต้นอย่างน้อยหนึ่งข้อ

$G$$G$

Papadimitriou & Steiglitz (1977)แสดงความสมบูรณ์ของปัญหานี้