จำนวนสถานะของออโตมาตา

หุ่นกำหนด= ( X , Q , Q 0 , F , δ )เรียกว่าk -local สำหรับk > 0ถ้าทุกW ∈ X kชุด{ δ ( Q , W ) : Q ∈ Q }มีที่มากที่สุด องค์ประกอบเดียว โดยสังหรณ์นั่นหมายความว่าถ้าคำwของความยาวkนำไปสู่สถานะแล้วสถานะนี้จะไม่ซ้ำกันหรือพูดแตกต่างจากคำยาวโดยพลการ$\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$$k$$k > 0$$w \in X^k$$\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$$w$$k$สัญลักษณ์ kสุดท้ายกำหนดสถานะที่จะนำไปสู่$> k$$k$

ทีนี้ถ้าออโตเมติกคือ -local ก็ไม่จำเป็นต้องเป็นk ′ -local สำหรับk ′ < kบางตัว แต่มันจะต้องเป็นk ′ -local สำหรับk ′ > kทำให้เกิดสัญลักษณ์สุดท้ายของคำบางคำ| w | > kกำหนดสถานะหากมีเฉพาะ$k$$k'$$k' < k$$k'$$k' > k$$|w| > k$

ตอนนี้ฉันพยายามเชื่อมต่อจำนวนสถานะและ -localness ของหุ่นยนต์ ฉันคาดเดา:$k$

บทแทรก:ให้เป็นk -local ถ้า| Q | < kดังนั้นหุ่นยนต์ก็เช่นกัน| Q | -local$\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ข้อเสนอแนะหรือความคิดใด ๆ

ฉันหวังว่าเลมม่านี้จะได้รับบางสิ่งบางอย่างเกี่ยวกับจำนวนสถานะของหุ่นยนต์ซึ่งไม่ใช่ -local สำหรับk ≤ N ทั้งหมดที่ได้รับN > 0คงที่แต่k -local สำหรับk > Nบางตัว$k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

เนื่องจากคุณบอกว่าควรมีองค์ประกอบมากที่สุดหนึ่งรายการฉันจะสมมติว่าคุณใช้รุ่น DFA โดยที่δสามารถเป็นบางส่วนได้ จากนั้นนี่คือตัวอย่างตัวอย่าง: X = { a , b } , Q = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( q , a ) $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$สำหรับ Q < 4และ δ ( 1 , B ) = 2 , δ ( 2 , B ) = 3 , δ ( 4 , ข) = 0 เห็นได้ชัดว่า Fและ q 0ไม่สำคัญสำหรับคำถามนี้$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$$\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

ออโตเป็น -local แต่ไม่5 -local ตั้งแต่T ขข = { 0 , 3 }$6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

แก้ไข: ตัวอย่างตัวอย่างนี้ไม่ทำงานฉันจะเก็บไว้เพื่อให้ความคิดเห็นมีเหตุผล แม้ว่าต่อไปนี้จะเป็นอย่างไร

รับโดยมีการเปลี่ยน0 → 1 ( a ) , 1 → 2 ( a ) , 2 → 3 ( a ) , 2 → 0 ( b ) , 3 → 2 ( ข ) หุ่นยนต์นี้คือ$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$-local แต่ไม่ -local: สำหรับขเราได้รับเส้นทาง0 → 1 → 2 → 0 → 1และ1 → 2 → 3 → 2 → 3คือT ข = { 1 , 3 } .$4$$aaba$$0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

คำตอบที่ล่าช้า แต่มีการศึกษาขอบเขตของความล่าช้าในการซิงโครไนซ์สำหรับออโตมาตาหลายคลาส: ดูตัวอย่างออโต้ Unambiguous Béalและคณะ MCS'08

$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

$k$$k$