“ การเปลี่ยนรูปแบบเป็นเรื่องของการเปลี่ยนแปลงอัตโนมัติของกราฟในชุดของฉันหรือไม่” NP-สมบูรณ์?

สมมติว่าเรามีเซต S ของกราฟ (กราฟ จำกัด แต่มีจำนวนไม่ จำกัด ) และกลุ่ม P ของพีชคณิตที่ทำหน้าที่แทน S

อินสแตนซ์: การเปลี่ยนแปลงใน p

คำถาม: มีกราฟ g ใน S ที่ยอมรับ automorphism p หรือไม่?

นี่เป็นปัญหา NP-complete สำหรับบางชุด S หรือไม่

มันจะง่ายต่อการตรวจสอบว่ากราฟยอมรับการเปลี่ยนแปลง p (เช่นใบรับรอง) ยิ่งไปกว่านั้นมันง่ายที่จะหาตัวอย่างของ S ที่ปัญหาไม่สมบูรณ์ NP เช่น S เป็นเซตของกราฟที่สมบูรณ์ดังนั้นคำตอบคือใช่เสมอ

หมายเหตุ: ฉันไม่สนใจว่าจะเป็นกราฟประเภทใด ถ้าคุณชอบพวกเขาอาจไม่ใช่คนง่ายกำกับสีและอื่น ๆ

ภาคผนวก: ปัญหาที่ฉันกำลังดูอยู่ในขณะนี้คือการจำแนกไอโซโทปที่เป็นออโตทิสติกของละตินสแควร์ (ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นออโตกราฟฟิสกราฟชนิดพิเศษ)

ให้ละตินสี่เหลี่ยม L (i, j) เราสามารถสร้างกราฟในวิธีต่อไปนี้:

ชุดจุดยอดคือชุดของเซลล์ (i, j) ในเมทริกซ์และ
มีความแตกต่างระหว่าง (i, j) และ (i ', j') เมื่อใดก็ตามที่ i = i 'หรือ j = j' หรือ L (i, j) = L (i ', j')

กราฟดังกล่าวเรียกว่ากราฟลาตินสแควร์ (ดูตัวอย่างเช่นบทความนี้โดย Bailey และ Cameron http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdf ) เราสามารถตีความ autotopism ของละตินสแควร์เป็น automorphism ของกราฟละตินสแควร์ ขอให้ S เป็นชุดของกราฟสี่เหลี่ยมละตินที่เกิดขึ้นจากสี่เหลี่ยมละตินของคำสั่ง n ดังนั้นคำถามที่ฉันสนใจคือ:

รับการเปลี่ยนแปลง p, p คือ automorphism ของหนึ่ง (หรือมากกว่า) ของกราฟใน S?

ความรู้สึกของฉันคือว่ามันเป็นคำถามที่ตอบยากโดยทั่วไป - ฉันกำลังเขียนบทความมากกว่า 30 หน้า (กับผู้ร่วมเขียน 2 คน) ที่จริงแล้วส่วนใหญ่แล้วมันง่าย (ส่วนใหญ่แล้วมันคือ "ไม่") แต่มีบางกรณีที่ยาก

ดังนั้นฉันจึงสนใจค้นหาปัญหาการตัดสินใจที่จะเกี่ยวข้องกับ "การจำแนกประเภทสมมาตร" พวกเขาไม่จำเป็นต้องเกี่ยวข้องกับละตินสแควร์ฉันแค่หวังว่าจะใช้เทคนิคเหล่านี้เพื่อตอบคำถามสำหรับละตินสแควร์ส

— ดักลาสเอส. สโตน
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจปัญหาอย่างถูกต้องหรือไม่ คุณสามารถยกตัวอย่างของ S และ P (และการกระทำกลุ่มของ P บน S) ได้หรือไม่? ตัวอย่างที่ทำให้ไม่เกิดปัญหา (ทั้งใช่หรือไม่ทั้งหมด) จะช่วยให้เข้าใจปัญหา

— Tsuyoshi Ito

ในตัวอย่างของกราฟที่สมบูรณ์สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคือการเรียงสับเปลี่ยนของ k points ทำอย่างไรบนกราฟที่สมบูรณ์ใน n points โดยที่ k ≠ n (โดยเฉพาะถ้า k> n)

— Tsuyoshi Ito

ฉันพยายามหลอกตัวเองโดยคิดว่าฉันเข้าใจปัญหา แต่ตอนนี้ฉันตัดสินใจแล้วว่าฉันไม่ กลุ่มของพีชคณิต S ดำเนินการกับกราฟในตระกูล P หรืออาจกระทำกับกราฟในตระกูล P เท่านั้น

— Niel de Beaudrap

S

$S$

ฉันได้เพิ่มพื้นหลังอีกเล็กน้อยในคำตอบ ที่จริงแล้วโดยทั่วไปฉันไม่สนใจเลยว่ากลุ่มจะดำเนินการกับ S หรือไม่ตราบใดที่เราสามารถตอบได้ ในกรณีของสี่เหลี่ยมละตินเราสามารถตีความมันเป็นการกระทำกลุ่ม

— Douglas S. Stones

$L$ $S$

$x \in L$ $|x| = n$ $G_x = (V_x,E_x)$ $S$ $V_x = \{1,2,...,3n\}$ $i$ $x$ $0$ $3i-2$ $3i-1$ $3i-2$ $3i$

$p$ $\{1,2,...,3n\}$ $p$ $S$ $p$ $G_y$ $y \in L$ $i \in \{1,2,...,n\}$

$p(3i-2) = 3i-1$ $p(3i-1) = 3i-2$ $p(3i) = 3i$ $i$ $y$ $0$
$p(3i-2) = 3i$ $p(3i-1) = 3i-1$ $p(3i) = 3i-2$ $i$ $y$ $1$

$p$ $G \in S$ $y$ $L$ $|p|$ $|y|$

$L$

— Jukka Suomela
แหล่งที่มา

L

$L$

S

$S$

G_{y} \in S

$G_y \in S$

p

$p$

G_{y}

$G_y$

y \in L

$y \in L$

S

$S$

S

$S$

L

$L$

G_{x}

$G_x$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

x

$x$

a

$a$

y \in L

$y \in L$

p

$p$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

y

$y$

a

$a$

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

n

$n$

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

L

$L$