ความเท่าเทียมกันของการตรวจสอบความเป็นไปได้และการเพิ่มประสิทธิภาพสำหรับระบบเชิงเส้น

วิธีหนึ่งที่จะแสดงให้เห็นว่าการตรวจสอบความเป็นไปได้ของระบบเชิงเส้นของความไม่เท่าเทียมนั้นเป็นเรื่องยากเท่ากับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นผ่านการลดขนาดที่กำหนดโดยวิธีรูปไข่ วิธีที่ง่ายยิ่งขึ้นคือการคาดเดาทางออกที่ดีที่สุดและแนะนำให้เป็นข้อ จำกัด ผ่านการค้นหาแบบไบนารี

การลดลงทั้งสองนี้เป็นพหุนาม แต่ไม่ใช่พหุนามอย่างยิ่ง (กล่าวคือขึ้นอยู่กับจำนวนของบิตในค่าสัมประสิทธิ์ของความไม่เท่าเทียมกัน)

มีการลดพหุนามอย่างมากจากการปรับ LP ให้เป็นไปได้ที่ LP เป็นไปได้หรือไม่

ds.algorithms linear-programming

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

ไม่จริง มันเป็นอย่างที่คุณพูด ฉันตระหนักว่าการเพิ่มประสิทธิภาพ LP ช่วยแก้ไขความเป็นไปได้ของ LP ฉันขอให้ลดตรงข้าม

— Suresh Venkat

เอาท์พุทสำหรับการปรับให้เหมาะสมอาจมีบิตได้มากเท่ากับ "จำนวนบิตในสัมประสิทธิ์" ในขณะที่ความเป็นไปได้คือใช่ / ไม่ใช่ ดังนั้นหากการลดลงคุณหมายถึงบางสิ่งบางอย่าง "กล่องดำ" - ใช่แล้วคำตอบต้องเป็นลบ

— Noam

แต่ถ้าการตรวจสอบความเป็นไปได้ไม่เพียง แต่ให้คำตอบที่ใช่ / ไม่ใช่ตามที่กล่าวไว้โดย Noam ข้างต้น แต่ในกรณีของความเป็นไปได้นั้นเป็นทางออกที่เป็นไปได้คำตอบคือใช่โดย LP duality

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@SureshVenkat: สมมติว่าครั้งแรกเป็นโปรแกรมสูงสุดในตัวแปร

มีคู่แล้วเป็นโปรแกรมลดตัวแปรY

จากนั้นจัดรูปแบบระบบความไม่เท่าเทียมกันในตัวแปร

, รับข้อ จำกัด จากทั้งปฐมภูมิและคู่พร้อมด้วยความไม่เสมอภาคที่ระบุว่ามูลค่าของการแก้ปัญหาเบื้องต้นอย่างน้อยที่สุดมูลค่าของการแก้ปัญหาคู่ กรณีของ LP นั้นเป็นไปไม่ได้และไม่ถูก จำกัด สามารถจัดการได้เช่นกัน

x

$x$

y

$y$

x, y

$x,y$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

สิ่งที่เกี่ยวกับ polytopes / polyhedra ที่กำหนดโดยข้อ จำกัด โดยนัย?

— จันทรา Chekuri

คำตอบคือใช่และในความเป็นจริงเราสามารถลดปัญหาการตัดสินใจของความไม่เท่าเทียมเชิงเส้นที่เป็นไปได้!

$\max c^Tx\ \text{s.t.}\ Ax \leq b\ ;\ x\geq 0$

นอกจากนี้เรายังสามารถเข้าถึง oracle ที่ให้ระบบของความไม่เท่าเทียมกันส่งคืนใช่ / ไม่ใช่ไม่ว่าระบบจะเป็นไปได้หรือไม่ $S=\{Bz \leq d\}$

การลดลงจะดำเนินการดังนี้:

ทดสอบว่าเป็นไปได้หรือไม่ หากไม่เป็นเช่นนั้นเราสามารถรายงานได้ว่า P นั้นไม่เหมาะสม $S_1=\{Ax \leq b\ ;\ x \geq 0\}$
รูปแบบโปรแกรม D สอง:0 $\min b^Ty\ \text{s.t.}\ A^Ty \geq c\ ;\ y \geq 0$
ทดสอบว่าเป็นไปได้ หากไม่เป็นเช่นนั้นเราสามารถรายงานได้ว่า P นั้นได้รับการรวม $S_2=\{Ax \leq b\ ;\ x\geq 0\ ;\ A^Ty\geq c\ ;\ y\geq0 \ ;\ b^Ty \leq c^Tx\}$
ย้ำกว่าความไม่เท่าเทียมกันของและพยายามที่จะเพิ่มพวกเขาหนึ่งโดยหนึ่งเป็นequalities (เช่นเพิ่มความไม่เท่าเทียมกันกลับ) ไปยังระบบs_2หากระบบยังคงเป็นไปได้เราจะเก็บข้อ จำกัด ไว้ในและลบออกอีกครั้ง ให้เป็นระบบของข้อ จำกัด (ความเท่าเทียมกันเชิงเส้น) ที่เพิ่มเข้ามาด้วยวิธีนี้ ตอนนี้ระบบจะกำหนดโซลูชันพื้นฐานที่เหมาะสมสำหรับ P อย่างสมบูรณ์ $S_1$ $S_2$ $S_2$ $S_3$ $S_3$
การใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียนในระบบคำนวณคำตอบที่ดีที่สุดถึง P $S_3$ $x$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
แหล่งที่มา

ไม่จำเป็นต้องใช้ขั้นตอนที่ 4 และ 5 หากเป็นไปได้แล้วเราได้รับการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดที่จะP

S_{2}

$S_2$

P

$P$

— hengxin

@hengxin มันเขียนในบรรทัดแรกของคำตอบของฉันว่าคำตอบคือใช่แม้ว่าจะพิจารณาลดปัญหาการตัดสินใจลง ด้านล่างฉันเห็นได้ชัดว่าทำให้สมมติฐานนั้นและดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีขั้นตอนที่ 4 และ 5

— Kristoffer Arnsfelt Hansen