ค่าสูงสุดที่แยกออกจากกัน: ปัจจัยการประมาณจริงของอัลกอริทึมโลภคืออะไร?

พิจารณาปัญหาในการหาชุด disjoint สูงสุด - ชุดสูงสุดของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ทับซ้อนกันจากชุดของผู้สมัครที่กำหนด นี่เป็นปัญหาที่ทำให้เกิดปัญหาสมบูรณ์ แต่ในหลายกรณีอัลกอริทึมโลภต่อไปนี้ให้การประมาณค่าคงที่:

• สำหรับผู้สมัครทุกคนรูปร่างxคำนวณของจำนวนเคลื่อนสี่แยก $DIN(x)$ = จำนวนมากที่สุดของเคล็ดรูปร่างที่ตัดx
• $\arg \min_{x} DIN(x)$
• ดำเนินการต่อไปจนกว่าจะไม่มีผู้สมัครเพิ่ม

ตัวอย่างเช่นพิจารณารูปต่อไปนี้จากหน้า Wikipedia:

ดิสก์สีเขียวตัดเป็นดิสก์ 5 แผ่น แต่ DIN คือ 3 (ดิสก์สีแดงทั้ง 3 ตัวแยกกัน) ดิสก์สีแดงที่สูงที่สุดและต่ำสุดตัดกัน 2 ดิสก์อื่น แต่พวกมันตัดกันดังนั้น DIN ของพวกเขาคือ 1 ดิสก์สีเหลืองมี DIN เท่ากับ 2 อัลกอริทึมโลภจึงเลือกดิสก์สีแดงสูงสุดหรือดิสก์ล่างสุด

หากค่า DIN ต่ำสุดสามารถถูก จำกัด ด้วยค่าคงที่ได้ดังนั้นอัลกอริทึมโลภก็คือการประมาณพหุนามคงที่แบบพหุนาม

ตัวอย่างเช่นถ้ารูปร่างของผู้สมัครทั้งหมดเป็นดิสก์ยูนิตMarathe et al (1995)แสดงว่าดิสก์ที่มี DIN สูงสุดอย่างน้อย 3 อยู่เสมอ: ดิสก์ด้านซ้ายสุด (ดิสก์ที่มีพิกัด x ที่เล็กที่สุด) จะตัดกันที่ดิสก์ที่ไม่รวมกันอีก 3 ตัว . ดังนั้นอัลกอริทึมโลภให้การประมาณ 3 ครั้งเนื่องจากได้ดิสก์ 1 ตัวสำหรับดิสก์ 3 ตัว (อย่างมาก) 3 ตัวในโซลูชันที่เหมาะสมที่สุด

ในทำนองเดียวกันถ้ารูปร่างของผู้สมัครทั้งหมดเป็นดิสก์ที่มีขนาดตามอำเภอใจอัลกอริทึมโลภจะได้ผลลัพธ์ประมาณ 5 เพราะดิสก์ที่เล็กที่สุดจะตัดกันที่ดิสก์ที่แยกกัน 5 ตัวส่วนใหญ่นั่นคือค่า DIN ต่ำสุดคือ 5

จนถึงดีมาก แต่ปัจจัยเหล่านี้ของ 3 และ 5 คับ? ฉันไม่แน่ใจ.

พิจารณาจากภาพด้านบน การเลือกดิสก์ซ้ายสุด (สีเขียว) จะค้นหาชุด disjoint ขนาด 1 ซึ่งเป็นการประมาณ 3 ถึงชุด disjoint สูงสุดขนาด 3 (สีแดง) แต่อัลกอริทึมโลภจะไม่เลือกดิสก์สีเขียว - มันจะเลือก ดิสก์สีแดงด้านบน / ล่างซึ่งมีค่า DIN เท่ากับ 1 ในกรณีนี้อัลกอริทึมโลภจะหาทางออกที่ดีที่สุด

ฉันไม่สามารถหาตัวอย่างที่เคาน์เตอร์ทั่วไปซึ่งในขั้นตอนวิธีโลภพบชุดเคลื่อนกับดิสก์หน่วยในขณะที่ชุดเคลื่อนสูงสุดมี3nที่จริงแล้วฉันไม่สามารถสร้างตัวนับทั่วไปที่ดินขั้นต่ำเป็นจริงได้ 3 สิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถทำได้คือต่อไปนี้ซึ่งแต่ละดิสก์ยูนิตจะตัดกันที่ดิสก์ที่แยกกันมากที่สุด 2 ตัว (เช่น DIN ขั้นต่ำ คือ 2) แต่ถึงอย่างนี้อัลกอริทึมโลภก็พบทางออกที่ดีที่สุดมากกว่าการประมาณ 2 แบบ:n 3 $n$$n$$3n$

คำถามของฉันคือ:

• max min DIN ที่แท้จริงคืออะไรในการรวบรวมดิสก์ยูนิต ดิสก์ที่มีขนาดตามอำเภอใจ?
• อะไรคือสิ่งที่เกิดขึ้นจริงปัจจัยประมาณของขั้นตอนวิธีโลภสำหรับคอลเลกชันของหน่วยดิสก์? สำหรับดิสก์ขนาดใด ๆ (ปัจจัยนี้มีขนาดใหญ่ที่สุดเท่ากับ max min DIN แต่อาจเล็กกว่า)

UPDATE: ทุก k-tuple ของรูปทรงกำหนด = จำนวนมากที่สุดของรูปทรงเคล็ด intersected โดยสหภาพของพวกเขาx_k กำหนดเป็น DIN ขั้นต่ำของรูปร่าง k-tuples ทั้งหมดที่มีรูปร่างไม่ต่อเนื่อง D ฉันN ( x 1 , . . . , x k ) x 1 ∪ . . ∪ x kเมตรฉันn D ฉันN $x_1,...,x_k$$DIN(x_1,...,x_k)$$x_1\cup...\cup x_k$$minDIN_k$

ตัวอย่างเช่นในคำตอบของ Yury ด้านล่างเพราะวงกลมทุกวงตัดวงกลมอื่น 3 วง เพราะเป็นไปได้ที่จะเลือกแวดวงที่แยกออกจากกัน 2 วงวงหนึ่งจากวงกลมด้านนอกและอีกวงหนึ่งจากวงใน ทุก , 2m ฉันn D ฉันN 2 = 4 k m ฉันn D ฉันN k ≤ k + $minDIN_1=3$$minDIN_2=4$$k$$minDIN_k\leq k+2$

ฉันคิดว่าอัตราส่วนการประมาณของอัลกอริทึมโลภสามารถล้อมรอบด้วยเพราะสำหรับทุกรูปร่างในการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดเรามีรูปร่างอย่างน้อยในผลลัพธ์อัลกอริธึม ถูกต้องหรือไม่ minDฉันNk$\frac{minDIN_k}{k}$$minDIN_k$$k$

แก้ไข: ตอนนี้ฉันได้อ่านหนังสือที่ดีปัญหาการวิจัยในรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่อง แม้ว่าฉันจะไม่พบปัญหาที่แน่นอน แต่ฉันพบปัญหาที่เกี่ยวข้อง ในส่วน "2.5 Thin Packings with Neighbour หลายคน" มีตัวอย่างของการบรรจุวงกลมที่แต่ละวงสัมผัสถึง 5 วงกลมอื่น ๆ ฉันสงสัยว่าบรรจุภัณฑ์ดังกล่าวสามารถให้การกำหนดค่าของวงกลมด้วย DIN = 5 ได้หรือไม่

อะไรคือค่าสูงสุดต่ำสุดของ DIN ในคอลเลกชันของดิสก์ยูนิต?

มันคือ 3