เครื่องจักรทัวริงขนาดเล็กที่สุดที่ไม่ทราบว่าหยุดทำงานหรือไม่คืออะไร

31

ฉันรู้ว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถตัดสินใจได้โดยทั่วไป แต่มีบางเครื่องทัวริงที่หยุดอย่างเห็นได้ชัดและบางอย่างที่ไม่ชัดเจน จากเครื่องจักรทัวริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดสิ่งที่เล็กที่สุดที่ไม่มีใครพิสูจน์ได้ว่าหยุดหรือไม่

halting-problem

— แอรอน
แหล่งที่มา

10

คำตอบขึ้นอยู่กับข้อมูลเฉพาะของรุ่นเครื่อง (จำนวนสัญลักษณ์ ฯลฯ ) ตามบทความ Wikipedia เกี่ยวกับBusy Beaverมี 2-symbol 5-sate machine ที่ไม่ทราบว่าหยุดหรือไม่

— Kaveh

1

โปรดทราบว่าคำถามของแอรอนไม่ได้เกี่ยวกับความสามารถในการตัดสินใจของภาษาที่กำหนด แต่จริงๆแล้วการดำรงอยู่ของการพิสูจน์ว่าเครื่องทัวริงเฉพาะหยุดการทำงาน สำหรับเครื่องทัวริงใด ๆ ปัญหาการหยุดทำงาน "ของ" (ไม่ว่าเครื่องนี้จะหยุดทำงานในอินพุตว่าง) หรือไม่ก็เป็น "decidable": เป็นได้ทั้งใช่หรือไม่ใช่และทั้งสองภาษา {ใช่} และ {ไม่ใช่} สิ่งนี้แตกต่างอย่างมากจากการที่มีหลักฐานว่าเครื่องหยุดหรือไม่ แอรอนถ้าคุณหมายถึง "

เล็กที่สุดคืออะไรที่ภาษา

หยุดที่

ไม่สามารถอธิบายได้" คุณช่วยแก้ไขคำถามของคุณได้ไหม?

M

$M$

{w ∣ M

$\{w \mid M$

w}

$w\}$

— Michaël Cadilhac

1

@ MichaëlCadilhacปัญหาการหยุดชะงักมักจะถูกตีความว่า "ให้เครื่อง

และอินพุต

,

หยุดสำหรับอินพุต

หรือไม่" "ไม่ได้รับเครื่อง

,

จะหยุดสำหรับอินพุตทั้งหมดหรือไม่"

M

$M$

w

$w$

M

$M$

w

$w$

M

$M$

M

$M$

— David Richerby

@DavidRicherby: สำหรับฉันแล้วปัญหาการหยุดชะงักคือภาษาของเครื่อง (รหัส) ที่หยุดบนอินพุตว่าง หากไม่ใช่ความหมายที่ตั้งใจไว้ที่นี่ฉันคิดว่าควรระบุให้กระจายความเป็นไปได้ (ตกลงฉัน) ความสับสน

— Michaël Cadilhac

หลายวิธีในการศึกษาปัญหานั้นถูกต้องและสัมพันธ์กันและมีความฉลาดในการจำแนกพวกเขาซึ่งผู้ถามไม่ได้

— vzn

38

เครื่องจักรทัวริงที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถหยุดการทำงานของปัญหาได้คือ:

(โดยที่เป็นชุดของเครื่องจักรทัวริงที่มีสัญลักษณ์และสัญลักษณ์ ) $TM(2,3), TM(2,2), TM(3,2)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

ความสามารถในการตัดสินใจของและอยู่ในขอบเขตและมันยากที่จะตัดสินเพราะมันขึ้นอยู่กับการคาดคะเนของโคลลาตซ์ซึ่งเป็นปัญหาเปิด $TM(2,4)$ $TM(3,3)$

ดูเพิ่มเติมคำตอบของฉันใน cstheory เกี่ยวกับ Collatz เหมือนเครื่องจักรทัวริงและ " เครื่องขนาดเล็กทัวริงและทั่วไปการแข่งขันช่องคลอดไม่ว่าง " โดยพีมิเชล (2004) (ที่มีการสันนิษฐานว่ายังเป็น decidable) $TM(4,2)$

ความคิดเห็นของ Kaveh และคำตอบของโมฮัมหมัดนั้นถูกต้องดังนั้นสำหรับคำนิยามอย่างเป็นทางการของเครื่องจักรทัวริงมาตรฐาน / ที่ไม่ได้มาตรฐานที่ใช้ในผลลัพธ์ประเภทนี้เห็น Turlough Neary และ Damien Woods ทำงานบนเครื่องจักรทัวริงสากลขนาดเล็กเช่นความซับซ้อนของเครื่องจักรทัวริงสากลขนาดเล็ก แบบสำรวจ (กฎ 110 TMs เป็นข้อ จำกัด สากล)

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

2

ปัญหาการหยุดชะงักของชุดทัวริง จำกัด ใด ๆ ที่กำหนดจะตัดสินได้หรือไม่? เนื่องจากมีเพียงเครื่องจักรจำนวนมากใน

จึงต้องสามารถสร้างตารางการค้นหาที่บอกว่าเครื่องจักรหยุดและที่ใดที่ไม่ถูกต้องและต้องมีเครื่องทัวริงซึ่งใช้การค้นหานี้ ตารางเพื่อตอบคำถามอย่างถูกต้อง

T M (4, 2)

$TM(4, 2)$

— แทนเนอร์ Swett

2

@TannerSwett: ที่นี่เราพิจารณาชุดหยุดทำงาน

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งซึ่งเครื่องจักรทัวริง

เป็น decidable (ดูของ Michel กระดาษ).

{⟨ M, x ⟩ ∣ M halts on x}

$\{\langle M,x \rangle \mid M \text{ halts on } x\}$

H A L T_{M} = {x ∣ M halts on x}

$HALT_M = \{ x \mid M \text{ halts on } x\}$

— Marzio De Biasi

32

ฉันต้องการเพิ่มว่ามีเครื่องจักรทัวริงบางส่วนซึ่งปัญหาการหยุดงานไม่ขึ้นกับ ZFC

ตัวอย่างเช่นใช้เครื่องจักรทัวริงซึ่งมองหาข้อพิสูจน์ความขัดแย้งใน ZFC ถ้า ZFC นั้นสอดคล้องกันมันจะไม่หยุดนิ่ง แต่คุณไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC (เพราะทฤษฎีบทที่สองของGödelไม่สมบูรณ์)

ดังนั้นจึงไม่เพียง แต่เป็นเรื่องของการไม่พบหลักฐาน แต่บางครั้งก็ไม่มีหลักฐาน

— เดนิส
แหล่งที่มา

ZFC? ZFC หมายถึงอะไร ฉันไม่สามารถเข้าใจมันจากบริบท

— อะคาปุลโก

7

@Acapulco lmgtfy.com/?q=zfc&l=1

— Sasho Nikolov

ฮ่า ๆ! ตกลง. ฉันได้ lmgtfy'ed Touche ไม่คิดว่ามันจะเป็นชื่อย่อที่จะเกี่ยวข้องกับหัวข้อนี้ทันทีและไม่ซ้ำกัน ในกรณีใด ๆ ฉันไม่คิดว่ามันเจ็บที่จะเพิ่มความสุภาพ "ZFC (Zermelo – Fraenkel ทฤษฎีเซต)" ชี้แจงในครั้งแรกที่กล่าวถึงมันยังเพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือในกรณีที่มี? :)

— อะคาปุลโก

16

@Acapulco โปรดดูที่การท่องเที่ยวและศูนย์ช่วยเหลือ นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทฤษฎีใด ๆ จะรู้ว่า ZFC หมายถึงอะไรดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องชี้แจง

— Kaveh

1

โดยเฉพาะอย่างยิ่งโปรดสังเกตว่าเครื่อง

-symbol ที่เพิ่งค้นพบซึ่งมีปัญหาการหยุดชะงักอิสระ ZFC ที่กล่าวถึงที่นี่ (7918 รัฐ) ที่นี่และที่นี่ (1919 รัฐ) จำนวนรัฐเกือบจะแน่นอนว่าจะลดลงอีก

2

$2$

— res

5

ไม่มีใครพิสูจน์ได้ว่าเครื่องจักรทัวริงทัวไปหยุดหรือไม่ ในความเป็นจริงการพิสูจน์ดังกล่าวเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความไม่แน่นอนของปัญหาการหยุดชะงัก เครื่องที่เล็กที่สุดคือเครื่องทัวริง 2 สัญลักษณ์ 3 สถานะซึ่ง Alex Smith ค้นพบซึ่งเขาได้รับรางวัล $ 25,000

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

4

อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าตามหน้า Wikipedia อ้างถึงการพิสูจน์ความเป็นสากลนั้นมีข้อโต้แย้ง นอกจากนี้ยังไม่ใช่รุ่นมาตรฐานของเครื่องจักรทัวริง: เครื่องสากลที่ถูกกล่าวหาไม่มีสถานะหยุดดังนั้นจึงไม่สามารถจำลองเครื่องที่หยุดอย่างน้อยก็ในแง่มาตรฐานของเครื่องทัวริงสากล

— David Richerby

2

@DavidRicherby: ฉันคิดว่าความอ่อนแอ - ความเป็นสากลของกฎ 110 นั้นค่อนข้างเป็นที่ยอมรับ: มันต้องใช้สองคำที่ต่างกันซ้ำแล้วซ้ำอีกที่ด้านซ้ายและขวาของอินพุตและเงื่อนไขการหยุดชะงักเป็นรุ่นของเครื่องร่อนพิเศษ เครื่องจำลองหยุดทำงาน) ดู "Universality ในออโตเซลลูล่าร์พื้นฐาน" ของ Matthew Cook

— Marzio De Biasi

-4

คำถามทั่วไปที่ใช้วลีที่ไม่ถูกต้อง แต่สมเหตุสมผลซึ่งสามารถศึกษาได้หลายวิธี มีเครื่อง "เล็ก" จำนวนมากที่วัดโดยสถานะ / สัญลักษณ์ที่ไม่รู้จักการหยุดทำงาน แต่ไม่มีเครื่อง "ที่เล็กที่สุด" ที่เป็นไปได้เว้นแต่จะมีเครื่องขึ้นมาพร้อมกับการวัดเชิงปริมาณ / เชิงปริมาณของความซับซ้อนของ TM ที่คำนึงถึงทั้งสหรัฐฯและสัญลักษณ์ จนถึงตอนนี้ยังไม่มีใครเสนอเลย)

การวิจัยเกี่ยวกับปัญหานี้เกี่ยวข้องกับ Busy Beavers แสดงให้เห็นว่ามีเครื่องจักร "เล็ก ๆ " จำนวนมากวางอยู่บนโค้งไฮเพอร์โบลิกที่ , ฯ และ $x \times y$ $x$ $y$ สัญลักษณ์มีขนาดเล็ก ในความเป็นจริงมันดูเหมือนจะเป็นการเปลี่ยนเฟส / ขอบเขตทั่วไประหว่างปัญหาที่ตัดสินใจได้และไม่สามารถตัดสินใจได้

$x,y$

— vzn
แหล่งที่มา

2

ไม่จำเป็นต้องสร้างการวัดโดยคำนึงถึงสัญลักษณ์และสถานะบัญชี เมื่อมีสองสัญลักษณ์บนเทปเป็นที่ชัดเจนว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถอธิบายได้สำหรับเกือบทุกสถานะ - อย่างที่ฉันจำได้มันเป็นไปได้ที่จะเขียน universal TM ที่มีเพียงห้ารัฐ หากเรารู้ขอบเขตที่แน่นอนของความสามารถในการตัดสินใจได้ฉันแน่ใจว่ามันจะเป็นเรื่องง่ายที่จะอธิบายขอบเขตนั้นในรูปของคู่ (# state, # symbols)

— David Richerby

การวิจัยช่องคลอดที่ยุ่งอยู่นั้นเกี่ยวข้องกับการหาหลักฐานว่า TMs หยุดการตั้งค่าเริ่มต้นด้วยสถานะขนาดเล็ก, สัญลักษณ์; มีกรณีที่แก้ไขได้ หากต้องการสิ่งใดที่ "เล็กที่สุด" เราต้องสร้างเมตริกที่แม่นยำซึ่งวัดว่า "เล็ก" pt ด้านบนคือตัวชี้วัดที่เกี่ยวข้องกับสถานะหรือสัญลักษณ์เพียงอย่างเดียวเท่านั้นที่ถือได้ว่าเป็นการทำให้เข้าใจผิดเท่าที่เป็นตัวแทนของขอบเขตที่รู้จักซึ่งเกี่ยวข้องกับทั้งสอง (และเครื่องที่ไม่เป็นที่รู้จักทั่วไป) เขตแดน undecidability ในการวิจัยนี้ไม่ได้ "ง่าย" เพื่อระบุในแง่ของสิ่งที่ทุกที่เป็นลักษณะพื้นฐานของมัน ....

— vzn

1

Nobody proposed a metric based on only #states or only #symbols. And the (#states,#symbols) boundary is trivial to describe. For one state, it is decidable. For

2 \leq i \leq 4

$2\leq i\leq 4$ states, it is decidable for alphabets of size at most

k_{i}

$k_i$ , where

k_{2}

$k_2$ ,

k_{3}

$k_3$ ,

k_{4}

$k_4$ are unknown constants. For five states, it is undecidable (except, maybe, for alphabets of size 1). Describing the boundary is trivial; the only non-trivial part is figuring out the values of

k_{2}

$k_2$ ,

k_{3}

$k_3$ ,

k_{4}

$k_4$ .

— David Richerby

nobody proposed any metric at all so far. no important boundary in this area is "trivial to describe" & one would expect that scenario would be impossible via Rices thm. this seems to show a lack of familiarity with the research & the cited ref which is interested in resolvability of inputs for machines that are smaller than those known to be universal (and conjectured to not be universal). your comments seem to focus on universal vs nonuniversal machine boundaries which is not the same as the busy beaver decidability boundaries being explored eg in the cited refs (both above & Marzio's).

— vzn

ความจริงที่ว่าฉันเพิ่งอธิบายไว้ในความคิดเห็น Stack Exchange ไม่ได้บอกเป็นนัยว่ามันเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะอธิบาย? ประเด็นเกี่ยวกับความเป็นสากลคือมันให้ขอบเขตที่สูงกว่าสำหรับขอบเขต: หากคุณสามารถนำเครื่องจักรสากลมาใช้ได้

x

$x$ รัฐและ

y

$y$ สัญลักษณ์ปัญหาการหยุดชะงักของ

x

$x$ -สถานะ,

y

$y$ -symbol TMs ไม่สามารถตัดสินใจได้อย่างชัดเจน

— David Richerby