ผู้อ่านพระนักเขียน

ให้$C$เป็นCCC Let $(\times)$เป็น bifunctor สินค้าที่อยู่ในC$C$ในฐานะที่เป็นแมวคือ CCC เราสามารถแกง$(\times)$ :

$curry (\times) : C \rightarrow(C \Rightarrow C)$

$curry (\times) A = \lambda B. A \times B$

หมวด Functor $C \Rightarrow C$มีโครงสร้างแบบ monoidal ปกติ หนังสือใน$C \Rightarrow C$เป็น monad ในC$C$ เราพิจารณาผลิตภัณฑ์ จำกัด เป็นโครงสร้าง monoidal ในC$C$

$curry (\times) 1 \cong id$

$\forall A\ B. curry (\times) (A\times B) \cong (curry (\times) A) \circ (curry (\times) B)$

ดังนั้น$(curry (\times))$รักษาโครงสร้าง monoidal ดังนั้นมันจะส่ง monoid ไปที่ monad และ comonoid ไปที่ comonad กล่าวคือมันลำเลียงพลหนังสือ$w$เพื่อ$(Writer\ w)$ monad (ดูที่ความหมาย - $w$จะต้องเป็นหนังสือ) ในทำนองเดียวกันมันจะส่งสัญญาณ comonoid ในแนวทแยงไปยังCoreader comonad

ตอนนี้เพื่อความเป็นรูปธรรมฉันตีแผ่การสร้าง Writer

เริ่ม. ที่จริง$Writer = Coreader = curry(\times)$พวกเขาก็มีชื่อที่แตกต่างกันใน Haskell เรามีHaskell monoid $\langle w, mappend, mempty\rangle$ :

$mappend : w\times w \to w$

$mempty : 1 \to w$

นักเขียน functor จึงต้องแมยัง morphisms เช่นและมอีมพีทีวาย ฉันเขียนสิ่งนี้เป็นด้านล่างแม้ว่ามันจะไม่ถูกต้องใน Haskell:$mappend$$mempty$

$Writer\ mappend : Writer(w\times w) \to Writer\ w$

คือการเปลี่ยนแปลงธรรมชาติซึ่มส์ใน C ⇒ C โดยคุณสมบัติของคยูR R Y ( × )มันเป็นฟังก์ชั่นซึ่งจะ ∈ O ข( C )และให้ซึ่มส์ใน C :$Writer\ mappend$$C\Rightarrow C$$curry(\times)$$a \in Ob(C)$$C$

$Writer\ mappend\ a = mappend\times(id(a)) : Writer (w\times w) a \to Writer\ w\ a$

ทางการส่วนประกอบเงินก้อนประเภทWและปั๊มเหมือนเดิม ตรงนี้เป็นคำจำกัดความของ Writer in Haskell หนึ่งอุปสรรคที่เป็นที่สำหรับ monad ⟨ W R ฉันทีอีอาร์W , μ , η ⟩ที่เราต้องการ$Writer\ mappend\ a$$w$$a$$\langle Writer\ w,\mu,\eta\rangle$

$\mu : Writer\ w \circ Writer\ w \to Writer\ w$

คือความไม่เข้ากันของประเภท แต่ functors เหล่านี้เป็น isomorphic: โดย associator ปกติสำหรับผลิตภัณฑ์ จำกัด ซึ่งเป็นมอร์ฟธรรมชาติ≅ λ w × ( w × a ) = W r i t e r w ∘ W r i t e r $Writer (w\times w) = \lambda a. (w\times w)\times a$$\cong \lambda a. w\times(w\times a) = Writer\ w \circ Writer\ w$ . จากนั้นเราจะนิยามผ่านW r i t e r $\mu$ d ฉันละเว้นการก่อสร้างของ ηผ่านมอีมพีทีวาย$Writer\ mappend$$\eta$$mempty$

เขียนเป็น functor ที่รักษาไดอะแกรมสับเปลี่ยนเช่นแยมหนังสือ equalities เพื่อให้เรามีที่สำหรับรับ equalities พิสูจน์ = a หนังสือใน( C ⇒ C ) = a monad ในC . ปลาย$\langle Writer\ w,\mu,\eta\rangle$$(C\Rightarrow C)$$C$

แล้วReaderและ Cowriter ล่ะ Reader เชื่อมต่อกับ Coreader ดังที่อธิบายไว้ในคำจำกัดความของ Coreader ดูลิงก์ด้านบน ในทำนองเดียวกัน Cowriter adjoint เพื่อ Writer ฉันไม่พบคำจำกัดความของ Cowriter ดังนั้นฉันจึงสร้างมันขึ้นมาด้วยการเปรียบเทียบที่แสดงในตาราง:

{- base, Hackage.category-extras -}
import Control.Comonad
import Data.Monoid
data Cowriter w a = Cowriter (w -> a)
instance Functor (Cowriter w) where
    fmap f (Cowriter g) = Cowriter (f . g)
instance Monoid w => Copointed (Cowriter w) where
    extract (Cowriter g) = g mempty
instance Monoid w => Comonad (Cowriter w) where
    duplicate (Cowriter g) = Cowriter
        (\w' -> Cowriter (\w -> g (w `mappend` w')))

ด้านล่างนี้เป็นคำจำกัดความง่าย ๆ ของ monads เหล่านี้ (co) fr_ob F หมายถึงการทำแผนที่ของ functor F บนวัตถุ fr_mor F หมายถึงการทำแผนที่ของ functor F ในลักษณะสัณฐาน มีหนังสือวัตถุในC$\langle w,\hat{+},\hat{0}\rangle$$C$

• นักเขียน
  • $fr\_ob (Writer\ w) a = a\times w$
  • $fr\_mor (Writer\ w) f = \lambda \langle a_0,w_2\rangle. \langle a_0,f\ w_2\rangle$
  • $\eta a = \lambda a_0. \langle a_0, \hat{0} \rangle$
  • $\mu a = \lambda \langle \langle a_0,w_1\rangle,w_0\rangle. \langle a_0, w_0\hat{+}w_1\rangle$
• ผู้อ่าน
  • $fr\_ob (Reader\ r) a = r\to a$
  • $fr\_mor (Reader\ r) f = \lambda g\ r_0. f (g\ r_0)$
  • $\eta a = \lambda a_0\ r_0. a_0$
  • $\mu a = \lambda f\ r_0. f\ r_0\ r_0$
• Coreader
  • $fr\_ob (Coreader\ r) a = r\times a$
  • $fr\_mor (Coreader\ r) f = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. \langle f\ r_0,a_0\rangle$
  • $\eta a = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. a_0$
  • $\mu a = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. \langle r_0,\langle r_0,a_0\rangle\rangle$
• Cowriter
  • $fr\_ob (Cowriter\ w) a = w\to a$
  • $fr\_mor (Cowriter\ w) f = \lambda g\ r_0. f (g\ r_0)$
  • $\eta a = \lambda f. f\ \hat{0}$
  • $\mu a = \lambda f\ w_1 w_0. f (w_0\hat{+}w_1)$

The question is that the adjunction in $C$ relates functors, not monads. I do not see how the adjunction implies "Coreader is a comonad" $\to$ "Reader is a monad" and "Writer is a monad" $\to$ "Cowriter is a comonad".

Remark. I am struggling to provide more context. It requires some work. Especially, if you require categorical purity and those (co)monads were introduced for programmers. Keep nagging! ;)

ใช่ถ้าเป็น monad $M : C \to C$ has a right adjoint $N$, then $N$ automatically inherits a comonad structure.

$C$$D$$\mathrm{Fun}(C, D)$$C$$D$$\mathrm{Fun}^L(C, D)$$\mathrm{Fun}(C, D)$ on the functors which have right adjoints (in other words, we consider functors $C \to D$ with right adjoints and arbitrary natural transformations between them). Write $F^R : D \to C$ for the right adjoint of a functor $F : C \to D$. Then $-^R : \mathrm{Fun}^L(C, D) \to \mathrm{Fun}(D, C)$ is a contravariant functor: if $\alpha : F \to G$ is a natural transformation then there is an induced natural transformation $\alpha^R : G^R \to F^R$.

If $C = D$, then $\mathrm{Fun}(C, C)$ has a monoidal structure given by composition and so does $\mathrm{Fun}^L(C, D)$, because the composition of left adjoints is a left adjoint. Specifically, $(FG)^R = G^R F^R$, so $-^R$ is an antimonoidal contravariant functor. If you apply $-^R$ to the structural natural transformations which equip a functor $M$ with the structure of a monad, what you get out is a comonad.

By the way, this:

Let $(\times)$ be a product bifunctor in $C$. As $C$ is CCC, we can curry $(\times)$

is slightly incorrect. For one, the usual terminology would be (if I'm not mistaken) that $\times$ is a bifunctor over or on $C$. "In" typically means constructions using the arrows and objects of a category, whereas functors "on" categories refer to constructions relating multiple categories. And the product bifunctor isn't a construction within a Cartesian category.

And this relates to the larger inaccuracy: the ability to curry the product bifunctor has nothing to do with $C$ being Cartesian closed. Rather, it is possible because $Cat$, the category of categories (insert caveats) is Cartesian closed. So the currying in question is given by:

where $C \times D$ is a product of categories, and $E^D$ is the category of functors $F : D \to E$. This works regardless of whether $C$, $D$ and $E$ are Cartesian closed, though. When we let $C = D = E$, we get:

But this is merely a special case of:

Consider the adjunction $\langle F,G,\epsilon,\eta \rangle$. For every such adjunction we have a monad $\langle GF, \eta, G\epsilon F\rangle$ and also a comonad $\langle FG, \epsilon, F\eta G\rangle$. Notably, $F$ and $G$ need not be endofunctors, and in general they aren't (e.g., the list monad is an adjuction between the free and forgetful functors between $\mathbf{Set}$ and $\mathbf{Mon}$).

So, what you want to do is take Reader (or Writer) and decompose it into the adjoint functors which give rise to the monad and the corresponding comonad. Which is to say that the connection between Reader and Coreader (or Writer and Cowriter) isn't the one you're looking for.

And it's probably better to think of currying as $-^\ast : \text{hom}({-}\times A, {=}) \cong \text{hom}({-}, {=}^A)$, i.e. $\forall X,Y.~ \lbrace f : X\times A \to Y \rbrace \cong \lbrace f^\ast : X \to Y^A \rbrace$. Or if it helps, $-^\ast : \text{hom}({-}\times A, {=}\times 1) \cong \text{hom}({-}^1, {=}^A)$