ความซับซ้อนในการหาจำนวนสูงสุดของชุดการแยกคู่ที่ชาญฉลาด

สมมติว่าฉันมีชุดพร้อมองค์ประกอบที่นำมาจากชุดเป็นไปได้ แต่ละชุดมีขนาด ( ) ซึ่งชุดสามารถทับซ้อนกันได้ ฉันต้องการตรวจสอบว่าสองปัญหาต่อไปนี้เป็นปัญหาที่ทำให้สมบูรณ์หรือไม่: $P$ $r$ $n$ $n<r$

ปัญหา A.มีชุด ( ) ชัดเจนภายในชุดหรือไม่ $M$ $1 \le M \le P$ $P$

ปัญหา B.ขณะนี้องค์ประกอบ ( ) สามารถเลือกได้จากแต่ละชุด มี ( ) ชุดขนาดที่แตกต่างกันแต่ละชุดภายในชุดหรือไม่? โปรดทราบว่าสามารถนำองค์ประกอบชุดเดียวเท่านั้นจากชุดองค์ประกอบแต่ละชุด $k$ $k<n$ $L$ $1 \le L \le P$ $k$ $P$ $k$ $n$

หมายเหตุ : ฉันสนใจในกรณีที่ได้รับการแก้ไขเป็นหลัก ( ) $k,n$ $n \ge 2, k \ge 2$

ผมคิดว่าปัญหาอาจจะคิดว่าเป็น -uniformปัญหาการจับคู่ -partite Hyper-กราฟ นั่นคือเรามีองค์ประกอบของเป็นจุดยอดและแต่ละไฮเปอร์ขอบมีส่วนย่อยของจุดยอดของกราฟ $n$ $r$ $r$ $n$

ใน uniform -partite ไฮเปอร์กราฟจับคู่ปัญหา NP-complete? $n$ $r$
ผมคิดว่าปัญหา B เป็นเทียบเท่ากับการหาจำนวนที่แตกต่างกันมากเกินไปขอบของ cardinalityนำมาจาก Hyper-ขอบของ cardinality nนี่เป็นเวอร์ชั่นที่ถูก จำกัด หรือไม่ (ในแง่ที่ว่าชุด -cardinality แต่ละชุดนั้นมาจากชุดองค์ประกอบที่เลือกไว้ล่วงหน้าแทนที่จะนำมาจากองค์ประกอบโดยพลการ) ของปัญหา A NP-complete หรือไม่ $k$ $n$ $k$ $n$ $r$

ตัวอย่าง ( $n=3,r=5, P=3$ ):

$A=\{1,2,3\}$ , $B=\{2,3,4\}$ , $C=\{3,4,5\}$

หากจะมีเพียงชุดที่แตกต่างกันหนึ่งชุดซึ่งคือหรือหรือเนื่องจากแต่ละคู่ , ,มี non- ทางแยกที่ว่างเปล่า $k=n=3$ $M=1$ $A$ $B$ $C$ $(A,B)$ $(A,C)$ $(B,C)$

ถ้าเรามีเซตที่แตกต่างกัน: วิธีแก้ปัญหาหนึ่งคือ , (ส่วนย่อยของและ ) $k=2$ $L=2$ $\{1,2\}$ $\{3,4\}$ $A$ $B$

graph-theory np-hardness

— MJK
แหล่งที่มา

นี้เป็นกรณีพิเศษของชุดสูงสุดบรรจุปัญหาและทั้งสองปัญหา A และ B จะNP-สมบูรณ์ โปรดทราบว่าปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นเพียงปัญหาการจับคู่ถ้าและยังเป็นเรื่องง่ายถ้า 1 ดังนั้นผมจึงจะถือว่า3 $n=2$ $n=1$ $n \ge 3$

แทนที่จะถามคำถาม

มีการแบ่งในกลุ่มเซตหรือไม่? $M$ $P$

ลองถามคำถามต่อไปนี้

จำนวนสูงสุดของชุดไม่ลงรอยที่เราสามารถได้รับจากชุดคืออะไร? $P$

เป็นที่ชัดเจนว่าหากคำถามที่สองคือคำตอบในเวลาพหุนามแล้วเพื่อให้เป็นครั้งแรกนับตั้งแต่ทั้งหมดที่เราต้องทำคือการเปรียบเทียบค่าสูงสุดนี้เพื่อและผลผลิตใช่ถ้าน้อยกว่าหรือเท่ากับสูงสุดนี้และไม่เป็นอย่างอื่น $M$ $M$

นอกจากนี้หากคำถามแรกสามารถตอบได้ในเวลาพหุนามแล้วคำถามที่สองก็เช่นกันเนื่องจากเราสามารถใช้การค้นหาแบบไบนารีบนและได้รับคำตอบสำหรับคำถามที่สองและเพิ่มเพียงปัจจัยของ $M$ $O(\log{M})$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าคำถามทั้งสองนั้นมีความเท่าเทียมกัน เช่นคำถามที่ 1 คือเวลา polylomial สามารถแก้ไขได้ถ้าหากคำถามที่ 2 เกินไป

เป็นที่ชัดเจนว่าปัญหาอยู่ใน NP เนื่องจากเราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าชุดนั้นไม่ต่อเนื่อง $M$

ดังนั้นคำถามในตอนนี้คือเราจะลดปัญหา NP-Hard ที่เป็นที่รู้จักได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้เราลดปัญหาการบรรจุสูงสุดที่ตั้งไว้ ฉันเพียงแค่มุ่งเน้นที่ปัญหา A เนื่องจากปัญหา B สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่ายากโดยการตั้งค่า $k=n-1$

พิจารณาตัวอย่างโดยพลการของชุดสูงสุดปัญหาบรรจุTโปรดทราบว่าความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างปัญหา A และปัญหาการบรรจุชุดสูงสุดเดิมคือในปัญหา A ขนาดของชุดต้องเท่ากัน ให้เป็น cardinality สูงสุดในหมู่ชุดทั้งหมดในTถ้าทุกชุดในมีความเป็นเชิงเดียวกันเราก็เสร็จแล้วและปัญหาชุดเซตนั้นเป็นปัญหาที่แน่นอน A. ตอนนี้สมมติว่าในเซตบางชุดเรามี<Tเราเพียงแค่เพิ่มองค์ประกอบซึ่งไม่ใช่องค์ประกอบของชุดใด ๆ ในTเราทำซ้ำขั้นตอนนี้จนกว่าชุดทั้งหมด $T$ $t$ $T$ $T$ $S_i \in T$ $|S_i| < t$ $(t-|S_i|)$ $S_i$ $T$ $S_i \in T$ มีขนาดเท่ากัน เป็นที่ชัดเจนว่าการเพิ่มองค์ประกอบใหม่ด้วยวิธีนี้จะไม่เปลี่ยนขนาดของจำนวนสูงสุดของชุดที่แยกออกจากกัน

ดังนั้นถ้าเราสามารถแก้ปัญหาในเวลาพหุนามเราสามารถแก้ปัญหาการบรรจุสูงสุดในเวลาพหุนามเพราะทั้งหมดที่เราต้องทำคือลบองค์ประกอบพิเศษที่เราเพิ่มเข้าไปและการทำเช่นนี้จะไม่เปลี่ยนขนาดของ จำนวนสูงสุดของชุดเคลื่อนในT $A$ $T$

แก้ไข - ข้อมูลเพิ่มเติมบางอย่างเกี่ยวกับปัญหา B

สมมติว่าปัญหา B มีวิธีแก้ปัญหาเวลาพหุนามตอนนี้ลองพิจารณาตัวอย่างของปัญหา A ที่มีองค์ประกอบต่อชุดโดยพลการ ตอนนี้เราเพิ่มหุ่นองค์ประกอบแต่ละชุดในTตอนนี้เราถามคำถามต่อไปนี้ $T$ $n$ $d$ $T$

จำนวนสูงสุดของชุดไม่ลงรอยคืออะไรที่เราสามารถทำได้โดยการเอา องค์ประกอบจากแต่ละชุด $n$

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าในบรรดาเซตสูงสุดค่าสูงสุดหนึ่งในนั้นสามารถมีองค์ประกอบดัมมี่ได้ดังนั้นหากคำตอบที่เราได้รับมากที่สุดคือดังนั้นจำนวนเซตสูงสุดจริงในอินสแตนซ์ (ปัญหาดั้งเดิมของเรา A) เป็นหรือแต่สิ่งนี้จะให้การประมาณปัจจัยคงที่สำหรับการบรรจุชุดสูงสุด และเช่นประมาณเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่pดังนั้นปัญหา B ก็ยากเช่นกัน $M$ $T$ $M$ $(M-1)$ $P=NP$

— Obinna
แหล่งที่มา

เกี่ยวกับปัญหา B: ถ้าคุณเพิ่มองค์ประกอบหุ่นทุกชุดของปัญหาคุณจะได้รับชุดขนาด1ในตัวอย่างที่ปรากฏในคำถามของฉัน ( ) คุณจะได้รับจำนวนสูงสุดของชุดขนาดที่ไม่เป็นสมาชิกคือ 3:\} อย่างไรก็ตามวิธีแก้ไขปัญหา A คือมีเพียงชุดเดียวเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งฉันไม่เห็นวิธีการแก้ปัญหาสำหรับปัญหา B ให้การประมาณค่าคงที่กับปัญหา A.

n + 1

$n+1$

n = 3, P = 3

$n=3, P=3$

n - 1 = 2

$n-1=2$

{1, d}, {2, 3}, {4, 5}

$\left\{ {1,d} \right\},\left\{ {2,3} \right\},\left\{ {4,5} \right\}$

— MJK

หากคุณเพิ่มองค์ประกอบจำลองคุณได้ตั้งค่าและ\} นี้ตัวอย่างใหม่กับเป็นตัวอย่างของปัญหาที่เกิดขึ้นเรามีความสนใจใน. ตอนนี้ใช้อัลกอริทึม B ควรในชุดนี้คือและ 3 นั่นคือสิ่งที่ฉันพูด โปรดทราบว่าปัญหาจะลดลงเพื่อหาการจับคู่สูงสุดหากหรือ

A' = {1, 2, 3, d}, B' = {2, 3, 4, d}

$A′= \left\{ {1,2,3,d} \right\}, B′= \left\{ {2,3,4,d} \right\}$

C' = {3, 4, 5, d}

$C′= \left\{ {3,4,5,d} \right\}$

n = 4

$n=4$

n = 4

$n=4$

k = 3

$k=3$

n = 2

$n=2$

k = 2

$k=2$ .

— Obinna Okechukwu