สมบูรณ์ของการรับรู้ถึงความแตกต่างของสองพีชคณิต


21

ชอร์กล่าวในความคิดเห็นของเขาต่อคำตอบของมูซนิรนามสำหรับคำถามนี้คุณสามารถระบุผลรวมของการเปลี่ยนลำดับสองครั้งในเวลาพหุนาม มันเป็นสมบูรณ์เพื่อระบุความแตกต่างของสองวิธีเรียงสับเปลี่ยน น่าเสียดายที่ฉันไม่เห็นการลดลงอย่างตรงไปตรงมาจากปัญหาผลรวมการเปลี่ยนแปลงและเป็นประโยชน์ที่จะมีการลดความสมบูรณ์ของสำหรับปัญหาความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงN PNPNP

การเปลี่ยนแปลงความแตกต่าง:

INSTANCE: อาร์เรย์ของจำนวนเต็มบวกA[1...n]

คำถาม: มีพีชคณิตสองชนิดและของจำนวนเต็มบวกเช่นนั้นสำหรับ ?σ 1 , 2 , . . , n | π ( i ) - σ ( i ) | = A [ i ] 1 i nπσ1,2,...,n|π(i)σ(i)|=A[i]1in

ลดลงสำหรับการพิสูจน์คืออะไร -completeness การตระหนักถึงความแตกต่างของทั้งสองพีชคณิตหรือไม่NP

แก้ไข 2014/10/09 : ความคิดเห็นของแคระแกร็นให้ลดลงซึ่งพิสูจน์ -completeness เมื่อองค์ประกอบของลำดับมีการลงนามในความแตกต่าง อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นการลดปัญหาของฉันได้ง่ายซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดของคือค่าความแตกต่างแบบสัมบูรณ์ANPAA

UPDATE: ปัญหาความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงดูเหมือนว่าจะเป็นสมบูรณ์แม้ว่าหนึ่งในสองวิธีการเปลี่ยนลำดับจะเป็นการเปลี่ยนรูปแบบตัวตนเสมอ การพิสูจน์ความแข็งของเคสพิเศษนี้ยินดีมาก ดังนั้นฉันสนใจความสมบูรณ์แบบของของรุ่นที่ จำกัด นี้:N PNPNP

ความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงการ จำกัด : INSTANCE: อาร์เรย์ของจำนวนเต็มบวกA[1...n]

คำถาม: มีการเรียงสับเปลี่ยน ของจำนวนเต็มบวกเช่นนั้นสำหรับ ?1 , 2 , . . , n | π ( i ) - i | = A [ i ] 1 i nπ1,2,...,n|π(i)i|=A[i]1in

อัปเดต 2 : ปัญหาที่ จำกัด นั้นสามารถตัดสินใจได้อย่างมีประสิทธิภาพตามคำตอบของ mjqxxxx ความซับซ้อนในการคำนวณของปัญหาดั้งเดิมไม่ได้รับการพิสูจน์

แก้ไข 9/6/16 : ฉันสนใจที่จะตรวจสอบว่าการทำให้ความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงอย่างง่ายนี้เป็น NP-complete หรือไม่:

ความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงการ จำกัด :

INSTANCE : ชุดมัลติของจำนวนเต็มบวกA

คำถาม : มีการเรียงสับเปลี่ยน ของจำนวนเต็มบวกที่ ?1 , 2 , . . , n A = { | π ( i ) - i | : 1 ฉันn }π1,2,...,nA={|π(i)i|:1in}


ทำไมไม่ถามปีเตอร์โดยตรงล่ะ @ Peter
caozhu

คุณหมายถึงอีเมล์เหรอ ฉันจะทำอย่างนั้น.
Mohammad Al-Turkistany

ฉันอาจจะหายไปบางอย่าง แต่ปัญหานี้ไม่สามารถแสดงเป็น 2-SAT และได้รับการแก้ไขใน polytime? เราสามารถสมมติ WLOG ว่าหนึ่งในพีชคณิตคือเอกลักษณ์ (ฉันสมมติว่านี่คือ [i] คำนวณ cyclically; ควรมีความสำคัญ?) และจากนั้นเราสามารถเป็นตัวแทนที่สองโดยเมทริกซ์ . การเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงคือการรวมกันของข้อสองตัวแปรที่ระบุว่าไม่มีสองคนอยู่ในแถวหรือในคอลัมน์; และบอกว่าความแตกต่างอยู่ในตำแหน่งของ pi (i) จาก i คือ A [i] เป็น OR ของสองตำแหน่งที่เป็นไปได้ที่มันจะมีอยู่x[i,j]
Noam

@Noam ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ ความคิดที่น่าสนใจ ฉันไม่ได้คิดถึงมัน อย่างไรก็ตามฉันไม่ชัดเจนว่ามันจะนำไปสู่อัลกอริทึมเวลาพหุนามโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เราได้รับเฉพาะค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่าง
Mohammad Al-Turkistany

1
ใช่ดูเหมือนว่าความแตกต่างระหว่างการนับช่องว่างเป็นวงจรหรือในค่าสัมบูรณ์อาจมีความสำคัญ
Noam

คำตอบ:


5

ปัญหาที่ จำกัด ซึ่งเป็นหนึ่งในพีชคณิตเป็นตัวตนที่แน่นอนในPสร้างกราฟแบบทวิภาคที่แต่ละจุดยอดi V 1 = { 1 , 2 , , n }เชื่อมต่อกับองค์ประกอบj V 2 = { 1 , 2 , , n }เช่นนั้น| i - j | = [ ผม ] จากนั้นการเปลี่ยนแปลงที่ต้องการσPiV1={1,2,,n}jV2={1,2,,n}|ij|=A[i]σมีอยู่หากว่ากราฟมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ (เช่นการจับคู่ที่มีขอบ ) ซึ่งสามารถกำหนดได้ในเวลาพหุนามn


ฉันอาจจะพลาดบางสิ่ง แต่การจับคู่ที่สมบูรณ์แบบจะไม่ทำงาน คุณต้องพิสูจน์การมีอยู่ของการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบที่ถูก จำกัด พิจารณาจำนวนเต็มซึ่งเกิดขึ้นเป็นครั้งที่สองในการป้อนข้อมูลอาร์เรย์ จับคู่ที่สมบูรณ์แบบที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงต้องมีสองขอบที่มีความแตกต่างแน่นอนk อัลกอริทึมของคุณไม่ได้พิสูจน์การมีอยู่ของการจับคู่ที่ จำกัด เช่นนั้น นี่คือสิ่งที่ทำให้เกิดปัญหาอย่างหนักและอาจเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ kAk
Mohammad Al-Turkistany

2
@ MohammadAl-Turkistany: ฉันคิดว่าถ้าดังนั้นคุณฉัน , คุณjV 1เชื่อมโยงกับโหนดv i + A [ i ] , v i - A [ i ] , v j + A [ j ] , v j - A [ j ]V 2A[i]=A[j]=kui,ujV1vi+A[i],viA[i],vj+A[j],vjA[j]V2มีความแตกต่างแน่นอนkจับคู่ที่สมบูรณ์แบบจะมีอย่างน้อยหนึ่งขอบจากU ฉันและขอบหนึ่งจากยูเจ ฉันมาถึงข้อสรุปเดียวกันไม่กี่ครั้งที่ผ่านมาในขณะที่คิดเกี่ยวกับปัญหาเดิม แต่ทำตามวิธีอื่น: ฉันเห็นว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนดปัญหาที่ถูก จำกัด เป็นสูตร 2-SAT (ถ้าคุณต้องการฉันสามารถเพิ่มคำตอบด้วย แต่ความคิดของ mjqxxxx นั้นดีกว่า) kuiuj
Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi ทำไมวิธีนี้ (และของคุณ) ไม่ทำงานสำหรับปัญหาเดิม (ไม่ จำกัด )?
Mohammad Al-Turkistany

@mjqxxx ฉันเห็นว่าวิธีการของคุณแก้ไขกรณีที่ถูก จำกัด เหตุใดจึงไม่สามารถขยายเพื่อแก้ไขปัญหาต้นฉบับได้อย่างมีประสิทธิภาพ
Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: เพราะในปัญหาดั้งเดิมองค์ประกอบของการเปลี่ยนแปลงครั้งแรก ( ในรุ่น จำกัด ) ไม่ได้รับการแก้ไขและใช้วิธีการเดียวกันกับที่คุณจบลงด้วยกราฟไตรภาคี (และในวิธี 2-SAT ของฉันด้วยδ ฉัน ( n ) ( π ฉัน ( n + [ ผม] ) π ฉัน ( n - [ ผม] ) )ข้อ ... ซึ่งไม่ได้เป็นข้อ 2-CNF) iδi(n)(πi(n+A[i])πi(nA[i]))
Marzio De Biasi

0

นี่คือรูปแบบที่น่าสนใจอย่างอ่อนโยนที่มีปัญหาเป็นเรื่องง่าย: แทนชุดพื้นให้ย่อยของใด ๆ{ 1 , 2 , 4 , 8 , ... } เป้าหมายยังคงหาการเปลี่ยนแปลงπ ดังนั้นA = { | π ( 2 k ) - 2 k | : 2 kΩ } ที่Ω{1,2,3,,n}{1,2,4,8,}πA={|π(2k)2k|:2kΩ}Ωเป็นชุดดิน ข้อได้เปรียบหลักของที่นี่คือชุดดินแบบใหม่บังคับให้แต่ละองค์ประกอบของ เป็น2 k 1 - 2 k 2สำหรับk 1 , k 2และถ้าk 1k 2 , k 1และk 2จะถูกกำหนดโดยสิ่งนี้ ข้อแตกต่าง มันเป็นไปตามนั้นสำหรับแต่ละความแตกต่าง| 2 k 1 - 2 k 2 | ในAเราอาจอนุมานได้ว่าπ ( 2 kA2k12k2k1,k2k1k2k1k2|2k12k2|Aหรือπ(2 k 2 )=2 k 1 (หรือทั้งคู่)π(2k1)=2k2π(2k2)=2k1

การแก้ไขรูปแบบที่เรียบง่ายอย่างมีประสิทธิภาพนี้จะเป็นกิจวัตรมากกว่าหรือน้อยกว่า เริ่มต้นด้วยการสร้างทวิภาคีที่ไม่ได้บอกทิศทางโดยที่LและRเป็นสำเนาชุดดินที่แตกต่างกันและเพิ่มขอบ( 2 k 1 , 2 k 2 )และ( 2 k 2 , 2 k 1 )เมื่อใดก็ตามที่ | 2 k 1 - 2 k 2 | ปรากฏในG=(LR,E)LR(2k1,2k2)(2k2,2k1)|2k12k2|กับ k 1k 2 ฉันอ้างว่าสิ่งต่อไปนี้เทียบเท่า:Ak1k2

  1. มีการเปลี่ยนแปลงกับความแตกต่างAπA
  2. จุดยอดทุกอันในมีระดับ 0 หรือ 2G

ฉันจะไม่พิสูจน์สิ่งนี้จริง ๆ เพราะเวลา แต่มันก็ไม่ได้เลวร้ายเกินไปที่จะทำงานด้วยตัวเอง ที่ตรงไปตรงมา นั่น 212นั้นค่อนข้างลำบากกว่า แต่ก็ไม่เลวร้ายนักเมื่อคุณให้เหตุผลกับ automorphism ของ Gซึ่งจะส่งจุดสุดยอดแต่ละอันใน Lไปยังสำเนาของมันใน R (และกลับกัน) หลักฐานที่ฉันมีอยู่ในใจชี้นำขอบใน Gเพื่อให้ทุกรอบในวงโคจรไป `` วิธีเดียวกันรอบ ๆ วง '' (จุดสุดยอดที่ไม่แตกแต่ละอันมี in-degree = out-degree = 1) และเพื่อให้ก่อนหน้านี้ automorphism ของ Gยังคงเป็น automorphism ของรุ่นที่กำกับ πถูกเลือกแล้วตามขอบที่ไปจาก LไปR21GLRGGπLR

คุณสามารถใช้อัลกอริทึมข้างต้นเป็นคำถามจับคู่ที่สมบูรณ์แบบและฉันคิดว่ามีการลดลง 2-SAT อื่น ๆ ฉันไม่เห็นวิธีขยายแนวทางเหล่านี้ไปสู่ปัญหาดั้งเดิม

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.