สมบูรณ์ของการรับรู้ถึงความแตกต่างของสองพีชคณิต

ชอร์กล่าวในความคิดเห็นของเขาต่อคำตอบของมูซนิรนามสำหรับคำถามนี้คุณสามารถระบุผลรวมของการเปลี่ยนลำดับสองครั้งในเวลาพหุนาม มันเป็นสมบูรณ์เพื่อระบุความแตกต่างของสองวิธีเรียงสับเปลี่ยน น่าเสียดายที่ฉันไม่เห็นการลดลงอย่างตรงไปตรงมาจากปัญหาผลรวมการเปลี่ยนแปลงและเป็นประโยชน์ที่จะมีการลดความสมบูรณ์ของสำหรับปัญหาความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงN $NP$$NP$

การเปลี่ยนแปลงความแตกต่าง:

INSTANCE: อาร์เรย์ของจำนวนเต็มบวก$A[1...n]$

คำถาม: มีพีชคณิตสองชนิดและของจำนวนเต็มบวกเช่นนั้นสำหรับ ?σ 1 , 2 , . . , n | π ( i ) - σ ( i ) | = A [ i ] 1 ≤ i ≤ $\pi$$\sigma$$1,2, ... , n$$|\pi(i) - \sigma(i)| = A[i]$$1 \le i \le n$

ลดลงสำหรับการพิสูจน์คืออะไร -completeness การตระหนักถึงความแตกต่างของทั้งสองพีชคณิตหรือไม่$NP$

แก้ไข 2014/10/09 : ความคิดเห็นของแคระแกร็นให้ลดลงซึ่งพิสูจน์ -completeness เมื่อองค์ประกอบของลำดับมีการลงนามในความแตกต่าง อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นการลดปัญหาของฉันได้ง่ายซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดของคือค่าความแตกต่างแบบสัมบูรณ์$NP$$A$$A$

UPDATE: ปัญหาความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงดูเหมือนว่าจะเป็นสมบูรณ์แม้ว่าหนึ่งในสองวิธีการเปลี่ยนลำดับจะเป็นการเปลี่ยนรูปแบบตัวตนเสมอ การพิสูจน์ความแข็งของเคสพิเศษนี้ยินดีมาก ดังนั้นฉันสนใจความสมบูรณ์แบบของของรุ่นที่ จำกัด นี้:N $NP$$NP$

ความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงการ จำกัด : INSTANCE: อาร์เรย์ของจำนวนเต็มบวก$A[1...n]$

คำถาม: มีการเรียงสับเปลี่ยน ของจำนวนเต็มบวกเช่นนั้นสำหรับ ?1 , 2 , . . , n | π ( i ) - i | = A [ i ] 1 ≤ i ≤ $\pi$$1,2, ... , n$$|\pi(i) - i| = A[i]$$1 \le i \le n$

อัปเดต 2 : ปัญหาที่ จำกัด นั้นสามารถตัดสินใจได้อย่างมีประสิทธิภาพตามคำตอบของ mjqxxxx ความซับซ้อนในการคำนวณของปัญหาดั้งเดิมไม่ได้รับการพิสูจน์

แก้ไข 9/6/16 : ฉันสนใจที่จะตรวจสอบว่าการทำให้ความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงอย่างง่ายนี้เป็น NP-complete หรือไม่:

ความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงการ จำกัด :

INSTANCE : ชุดมัลติของจำนวนเต็มบวก$A$

คำถาม : มีการเรียงสับเปลี่ยน ของจำนวนเต็มบวกที่ ?1 , 2 , . . , n A = { | π ( i ) - i | : 1 ≤ ฉัน≤ n $\pi$$1,2, ... , n$$A= \{|\pi(i) - i| :1 \le i \le n\}$

ปัญหาที่ จำกัด ซึ่งเป็นหนึ่งในพีชคณิตเป็นตัวตนที่แน่นอนในPสร้างกราฟแบบทวิภาคที่แต่ละจุดยอดi ∈ V 1 = { 1 , 2 , … , n }เชื่อมต่อกับองค์ประกอบj ∈ V 2 = { 1 , 2 , … , n }เช่นนั้น| i - j | = [ ผม ] จากนั้นการเปลี่ยนแปลงที่ต้องการ$\mathsf{P}$$i \in V_1=\{1,2,\ldots,n\}$$j \in V_2=\{1,2,\ldots,n\}$$|i-j|=A[i]$$\sigma$มีอยู่หากว่ากราฟมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ (เช่นการจับคู่ที่มีขอบ ) ซึ่งสามารถกำหนดได้ในเวลาพหุนาม$n$

นี่คือรูปแบบที่น่าสนใจอย่างอ่อนโยนที่มีปัญหาเป็นเรื่องง่าย: แทนชุดพื้นให้ย่อยของใด ๆ{ 1 , 2 , 4 , 8 , ... } เป้าหมายยังคงหาการเปลี่ยนแปลงπ ดังนั้นA = { | π ( 2 k ) - 2 k | : 2 k ∈ Ω } ที่$\{1,2,3,\ldots,n\}$$\{1,2,4,8,\ldots\}$$\pi$$A = \{|\pi(2^k) - 2^k| : 2^k \in \Omega\}$$\Omega$เป็นชุดดิน ข้อได้เปรียบหลักของที่นี่คือชุดดินแบบใหม่บังคับให้แต่ละองค์ประกอบของ เป็น2 k 1 - 2 k 2สำหรับk 1 , k 2และถ้าk 1 ≠ k 2 , k 1และk 2จะถูกกำหนดโดยสิ่งนี้ ข้อแตกต่าง มันเป็นไปตามนั้นสำหรับแต่ละความแตกต่าง| 2 k 1 - 2 k 2 | ในAเราอาจอนุมานได้ว่าπ ( 2 $A$$2^{k_1}-2^{k_2}$$k_1,k_2$$k_1\ne k_2$$k_1$$k_2$$|2^{k_1} - 2^{k_2}|$$A$หรือπ(2 k 2 )=2 k 1 (หรือทั้งคู่)$\pi(2^{k_1}) = 2^{k_2}$$\pi(2^{k_2}) = 2^{k_1}$

การแก้ไขรูปแบบที่เรียบง่ายอย่างมีประสิทธิภาพนี้จะเป็นกิจวัตรมากกว่าหรือน้อยกว่า เริ่มต้นด้วยการสร้างทวิภาคีที่ไม่ได้บอกทิศทางโดยที่LและRเป็นสำเนาชุดดินที่แตกต่างกันและเพิ่มขอบ( 2 k 1 , 2 k 2 )และ( 2 k 2 , 2 k 1 )เมื่อใดก็ตามที่ | 2 k 1 - 2 k 2 | ปรากฏใน$G = (L \sqcup R, E)$$L$$R$$(2^{k_1},2^{k_2})$$(2^{k_2},2^{k_1})$$|2^{k_1} - 2^{k_2}|$กับ k 1 ≠ k 2 ฉันอ้างว่าสิ่งต่อไปนี้เทียบเท่า:$A$$k_1 \ne k_2$

1. มีการเปลี่ยนแปลงกับความแตกต่าง$\pi$$A$
2. จุดยอดทุกอันในมีระดับ 0 หรือ 2$G$

ฉันจะไม่พิสูจน์สิ่งนี้จริง ๆ เพราะเวลา แต่มันก็ไม่ได้เลวร้ายเกินไปที่จะทำงานด้วยตัวเอง ที่ตรงไปตรงมา นั่น$1 \implies 2$นั้นค่อนข้างลำบากกว่า แต่ก็ไม่เลวร้ายนักเมื่อคุณให้เหตุผลกับ automorphism ของ Gซึ่งจะส่งจุดสุดยอดแต่ละอันใน Lไปยังสำเนาของมันใน R (และกลับกัน) หลักฐานที่ฉันมีอยู่ในใจชี้นำขอบใน Gเพื่อให้ทุกรอบในวงโคจรไป `` วิธีเดียวกันรอบ ๆ วง '' (จุดสุดยอดที่ไม่แตกแต่ละอันมี in-degree = out-degree = 1) และเพื่อให้ก่อนหน้านี้ automorphism ของ Gยังคงเป็น automorphism ของรุ่นที่กำกับ πถูกเลือกแล้วตามขอบที่ไปจาก LไปR$2 \implies 1$$G$$L$$R$$G$$G$$\pi$$L$$R$

คุณสามารถใช้อัลกอริทึมข้างต้นเป็นคำถามจับคู่ที่สมบูรณ์แบบและฉันคิดว่ามีการลดลง 2-SAT อื่น ๆ ฉันไม่เห็นวิธีขยายแนวทางเหล่านี้ไปสู่ปัญหาดั้งเดิม