การเรียงลำดับโดยใช้สแต็คแบบอ่านอย่างเดียว

พิจารณาการตั้งค่าต่อไปนี้:

• เราจะได้สแต็ค$s$ซึ่งมีรายการ$n$
• เราสามารถใช้จำนวนสแต็คพิเศษคงที่$O(1)$
• เราสามารถใช้การดำเนินการต่อไปนี้กับสแต็คเหล่านี้:
  1. ตรวจสอบว่าสแต็กว่างเปล่าหรือไม่
  2. เปรียบเทียบไอเท็มยอดนิยมของทั้งสองกอง
  3. ลบรายการด้านบนในสแต็ก
  4. พิมพ์รายการยอดนิยมในสแต็ค
  5. คัดลอกรายการบนสุดของสแต็กไปยังสแต็กอื่น
  6. คัดลอกเนื้อหาของกองหนึ่งไปยังกองอื่น

โปรดทราบว่าสิ่งเหล่านี้เป็นเพียงการดำเนินการที่ได้รับอนุญาต เราไม่สามารถแลกเปลี่ยนไอเท็มได้และเราไม่ได้รับอนุญาตให้ดันไอเท็มใด ๆ ลงบนสแต็คใด ๆ ยกเว้นการคัดลอกไอเท็มด้านบนลงในสแต็ก (หลังจากที่เนื้อหาก่อนหน้าของสแต็คเป้าหมายถูกทิ้งไปแล้ว .

นี่เป็นอัลกอริทึมในการจัดเรียงสแต็คด้วยการเปรียบเทียบ :$O(n^2)$

last := empty
for i from 1 to n
  min := empty
  w := s
  while w is not empty
    if w.top > last and w.top < min
      min := w.top
    delete w.top
  print min
  last := min

เราทำได้ดีกว่านี้ไหม

มีโปรแกรมที่พิมพ์รายการที่เรียงลำดับของไอเท็มในสแต็กโดยใช้การเปรียบเทียบ$O(n\log n)$หรือไม่?

ฉันคิดว่าตอนนี้ฉันสามารถแสดงให้เห็นถึงขอบเขตล่างที่ไม่สำคัญ แนวคิดคือการนำโปรแกรมดังกล่าวไปใช้กับโปรแกรมเปรียบเทียบการแยกสาขา สมมติฐาน `แบบอ่านอย่างเดียว 'หมายความว่าครอบครัวของโปรแกรมการแตกสาขาของเราใช้เพียงเล็กน้อยคือพื้นที่ จากนั้นเราใช้ขอบเขตล่างS T = Ω ( n 2 ) ที่พิสูจน์โดย Borodin และคณะ ใน "การแลกเปลี่ยนพื้นที่เวลาสำหรับการเรียงลำดับบนเครื่องที่ไม่ลืมเลือน" นี้จะช่วยให้เราn 2 /บันทึกnผูกพันลดลงเป็นครั้งที่$O(\log n)$$ST=\Omega(n^2)$$n^2/\log n$

รายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย: เราสามารถแจกจ่ายด้วยการปฏิบัติการ 5 ด้านบน การพูดอย่างหลวม ๆ ถ้าเราสามารถเปรียบเทียบหัวของสองรายการและพิมพ์ส่วนหัวของรายการแล้วก็ไม่จำเป็นที่เราจะต้องแยกส่วนหัวของรายการในการลงทะเบียนที่เฉพาะเจาะจง ด้วยเหตุนี้เราจะเห็นว่าการลงทะเบียนทุกครั้งในเครื่องจะเก็บซับสตริงสุดท้ายของอินพุตเท่านั้น

สมมติว่าโปรแกรมของเรามีการลงทะเบียนบรรทัดของรหัสและkจิX 1 , ... , X k$\ell$$k$$X_1,\dots,X_k$

แก้ไขnเราสร้างโปรแกรมเปรียบเทียบการแตกสาขาสำหรับสตริงที่มีความยาวnดังนี้ สร้างโหนดสำหรับแต่ละ tuple ( ฉัน, d 1 , ... , d k )ที่1 ≤ ฉัน≤ ℓ และ0 ≤ d 1 , ... , d k ≤ n แนวคิดคือการคำนวณในเครื่องลงทะเบียนสอดคล้องกับเส้นทางในโปรแกรมการแยกสาขาและเราอยู่ที่โหนด( i , d 1 , … , $n$$n$$(i,d_1,\dots,d_k)$$1\le i\le \ell$$0\le d_1 ,\dots, d_k \le n$ถ้าเราจะอยู่ที่เส้นฉันในเครื่องลงทะเบียนและความยาวของสตริงที่เก็บไว้ใน X ฉันคือ dฉัน ตอนนี้เราต้องกำหนดขอบกำกับของโปรแกรมการแยกสาขา$(i,d_1 ,\dots, d_k)$$i$$X_i$$d_i$

หากบรรทัดเป็นของแบบฟอร์ม$i$

ถ้ากลับไปที่iอีก1กลับไปที่i $X_u<X_v$$i_1$$i_2$

แล้วสำหรับทุกโหนด( ฉัน, d 1 , ... , d k )จะมีป้ายโดยการเปรียบเทียบd ยู -th และd วีองค์ประกอบ -th ของการป้อนข้อมูลและการมี "ความจริง" ขอบไปที่( i 1 , d 1 , … , d k )และขอบ "false" ถึง( i 2 , d 1 , … , d $d_1,\dots,d_k$$(i,d_1,\dots,d_k)$$d_u$$d_v$$(i_1,d_1,\dots,d_k)$ .$(i_2,d_1,\dots,d_k)$

หากบรรทัดเป็นของแบบฟอร์ม$i$

, goto line i $X_1 \leftarrow tail(X_2)$$i'$

แล้วมีลูกศรจากโหนดใด ๆจะ( ฉัน' , d 2 - 1 , ... , d k )$(i,d_1,\dots,d_k)$$(i',d_2-1,\dots,d_k)$

หากบรรทัดเป็นของแบบฟอร์ม$i$

, goto line i $print(head(X_u))$$i'$

จากนั้นจะมีลูกศรจากโหนดใด ๆถึง( i ′ , d 1 , … , d k )ซึ่งมีข้อความกำกับโดยโหนดd u- th ของอินพุต$(i,d_1,\dots,d_k)$$(i',d_1,\dots,d_k)$$d_u$

หวังว่าตัวอย่างเหล่านี้ทำให้ชัดเจนว่าฉันตั้งใจจะสร้างโปรแกรมการแยกสาขาของฉัน เมื่อทั้งหมดได้ถูกพูดและทำโปรแกรมแตกแขนงนี้มีที่มากที่สุดโหนดจึงมีพื้นที่O ( บันทึกn $\ell\cdot n^k$$O(\log n)$

คุณสามารถนับองค์ประกอบหรือไม่ จากนั้นฉันคิดว่ามีการดำเนินการควบรวมกิจการที่ค่อนข้างง่าย หากคุณสามารถใส่สัญลักษณ์เพิ่มเติมลงในสแต็กคุณสามารถแก้ได้ด้วย 3 สแต็คดังนี้:

หากเรามีองค์ประกอบเดียวรายการจะถูกเรียงลำดับแล้ว ทีนี้สมมติว่าเราได้เรียงลำดับครึ่งบนของสแต็กแล้ว เราสามารถคัดลอกครึ่งบน (เรียงกลับกัน) ไปยังสแต็กที่สองและวางสัญลักษณ์แยกไว้ด้านบน ตอนนี้เรามี 3 กองอีกครั้ง (เนื่องจากเราสามารถมองข้ามสัญลักษณ์เรียงแล้วด้านล่างสัญลักษณ์แยก) และสามารถเรียงครึ่งล่าง ในที่สุดเราสามารถคัดลอกครึ่งล่างที่เรียงลำดับไปยังกองซ้อนที่สามในลำดับย้อนกลับและผสานครึ่งทั้งสองกลับไปที่กองซ้อนต้นฉบับ

การดำเนินการทั้งหมดต้องใช้เวลาเชิงเส้นดังนั้นเราจึงเรียงลำดับรายการใน$O(n \log n)$

(โปรดทราบว่าเราต้องการสแต็คขนาดเนื่องจากสัญลักษณ์การแยก แต่สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้สแต็กอื่น)$n \log n$

เนื่องจากคุณไม่สามารถใส่องค์ประกอบใหม่ลงในสแต็กคุณอาจพบปัญหาที่จุดแยก เพื่อแก้ปัญหานี้คุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้พร้อมกับสแต็คเพิ่มเติม:

คัดลอกบนองค์ประกอบกองเพิ่มเติมแล้วดำเนินการต่อกับองค์ประกอบที่เหลือเป็นมาก่อน ตอนนี้คุณรู้จำนวนขององค์ประกอบที่คุณต้องพิจารณาในแต่ละขั้นตอนแล้วดังนั้นไม่จำเป็นต้องมีสัญลักษณ์การแยก$n-2^{\lfloor \log n\rfloor}$

สุดท้ายทำซ้ำขั้นตอนที่มีองค์ประกอบเพิ่มเติมที่มากที่สุดครั้งและผสานพวกเขาไปยังกองต้นฉบับในเส้นเวลา การเรียงลำดับค่าสแต็กสำหรับค่าคงที่cที่มากที่สุดc n log n + c $\log n$$c$$cn \log n+c\frac{n}{2} \log \frac{n}{2}+c\frac{n}{4} \log \frac{n}{4}+\ ... = O(n \log n)$$O(n \log n)$