ทฤษฎีประเภท Homotopy ส่วนใดที่ไม่สามารถทำได้ใน Agda หรือ Coq

เมื่อเราดูหนังสือทฤษฎีประเภท Homotopy - เราจะเห็นหัวข้อต่อไปนี้:

Homotopy type theory 
2.1 Types are higher groupoids
2.2 Functions are functors
2.3 Type families are ﬁbrations
2.4 Homotopies and equivalences
2.5 The higher groupoid structure of type formers
2.6 Cartesian product types
2.7 S-types
2.8 The unit type
2.9 P-types and the function extensionality axiom
2.10 Universes and the univalence axiom
2.11 Identity type
2.12 Coproducts
2.13 Natural numbers
2.14 Example: equality of structures
2.15 Universal properties

ตอนนี้เรารู้ว่าไม่ทั้งหมดของประเภททฤษฎีฮอมอโทเป็นไปได้คือ AGDA และ Coq

คำถามของฉันคือส่วนใดของทฤษฎีประเภท homotopy ที่เป็นไปไม่ได้ใน Agda หรือ Coq

type-systems

— ฮ็อค
แหล่งที่มา

ไม่ใช่คำถามที่จัดทำขึ้นเป็นพิเศษ ความสัมพันธ์ระหว่างรายการหัวข้อและคำถามคืออะไร

— Dave Clarke

@Dave Clarke รายการหัวข้อดูเหมือนบริบทของจิตใจของผู้ถามเพื่อให้ผู้ตอบรู้ว่าจุดเริ่มต้นของผู้ถามคืออะไรและสามารถปรับคำตอบให้เหมาะสม ผู้เรียนคนอื่น ๆ ยังสามารถชื่นชมคำตอบในบริบทเดียวกันและเข้าใจว่าคำตอบนั้นน่าจะมีประโยชน์สำหรับพวกเขาหากผู้ตอบมีความคิดและไม่เก่งเกี่ยวกับธรรมชาติของมนุษย์ หวังว่าจะช่วยในการสนทนาอื่น ๆ ในอนาคต

— codehot

คำตอบ:

ถ้าคุณดูที่หมายเหตุเกี่ยวกับบทที่ 8คุณจะเห็นสิ่งที่มีอยู่แล้วอย่างเป็นทางการและฉันคิดว่านั่นเป็นจำนวนมาก มีห้องสมุด Coq HoTTและห้องสมุด Agda HoTT-Agdaที่จัดวางกลุ่มก้อนขนาดใหญ่ของทฤษฎีประเภท Homotopy อย่างเป็นทางการ

เพื่อให้งานเสร็จใน Coq เราต้องการ Coq รุ่นพิเศษที่ได้รับการแก้ไขเพื่อวัตถุประสงค์ของ HoTT อย่างไรก็ตาม Coq มีการเคลื่อนไหวในทิศทางของการสนับสนุนทฤษฎีประเภท homotopy ดังนั้นไม่นานเราอาจจะสามารถใช้ Coq มาตรฐานได้

ใน Agda ต้องเปิดใช้--without-Kตัวเลือกมิฉะนั้น Agda คิดว่าทุกประเภทเป็นแบบ 0 มีข้อสงสัยบางอย่างที่เอร็ดอร่อยว่าการ--without-Kกำจัดข้อสันนิษฐานนั้นจริง ๆหรือไม่ทุกอย่างเป็นเซต 0 หรือบางทีเราอาจจะนำมันกลับคืนสู่ Agda ด้วยการใช้รูปแบบการจับคู่ที่ยุ่งยาก

ด้านของการทำให้เป็นระเบียบแบบ Coq และ Agda ต่อไปนี้ไม่เป็นที่น่าพอใจ:

สัจพจน์ Univalence ถูกระบุไว้เป็นข้อสมมติฐาน มันจะดีกว่าถ้ามันถูกสร้างขึ้นในระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราต้องการให้ Coq และ Agda เข้าใจกฎการคำนวณเกี่ยวกับสัจพจน์ Univalence
ในทำนองเดียวกันเราจะต้องใช้แฮ็กเพื่อให้ได้ประเภทที่สูงกว่าอุปนัยที่สามารถทำงานได้ อีกครั้งมันจะดีกว่าถ้าได้รับการสนับสนุนโดยตรง

ปัญหาเกี่ยวกับข้อบกพร่องข้างต้นคือไม่มีใครรู้วิธีแก้ไขได้แม้ในทางทฤษฎี นี่คือพื้นที่ของการวิจัยที่ใช้งานอยู่

นอกจากนั้นฉันคิดว่ามันยุติธรรมที่จะบอกว่า HoTT สามารถทำได้ใน Coq และ Agda ไม่ใช่วิธีที่เหมาะสมที่สุด

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

ขอบคุณมีบทความที่ดีหรือไม่ว่าเหตุใดความไม่สามัคคีและประเภทอุปนัยที่สูงขึ้นจึงไม่สามารถใช้ได้กับทฤษฎีประเภทเช่น Agda และ Coq หรือไม่

— Martin Berger

@MartinBerger อาจเป็นคำถามแยกต่างหาก (พร้อมคำจำกัดความบางประการสำหรับผู้อ่านทั่วไปที่ไม่เป็นทางการ ฯลฯ )

— Artem Kaznatcheev

ปัญหาของความไม่สามัคคีและ HITs ไม่ใช่ว่าพวกเขา "ไม่ได้นั่งกับทฤษฎีประเภทเช่น Agda และ Coq" แต่ "เราไม่ทราบวิธีที่จะทำอย่างถูกต้องในทฤษฎีประเภทใด ๆ "

— Andrej Bauer

@AndrejBauer Univalence และประเภทอุปนัยที่สูงขึ้นจะเป็นทางการในการเขียนแบบ HoTT ซึ่งเป็นทฤษฎีประเภท (กึ่งทางการ) ส่วนประกอบที่ขาดหายไปคืออะไรที่ป้องกันไม่ให้มีการทำระเบียบอย่างเป็นทางการใน Agda / Coq ที่เกี่ยวข้องถ้าคุณเต็มใจที่จะเลิกจ้าง Curry-Howard มีความยากลำบากในการกำหนดความเป็นอันหนึ่งอันเดียวกันและประเภทอุปนัยที่สูงขึ้นในรูปแบบ LCF เช่น Isabelle โดยใช้เช่น LF เป็นเมตาดาต้าเพื่อทำกฎระเบียบให้เป็นระเบียบหรือไม่?

— Martin Berger

อะไรคือกฎการคำนวณuaค่าคงที่ซึ่งเป็นพยานถึงความจริงของ Univalence? กฎการคำนวณสำหรับ HITs คืออะไร เรามีความคิด แต่ไม่มีอะไรคับ

— Andrej Bauer

เท่าที่ฉันเข้าใจใน Agda มีความเป็นไปได้ที่จะเป็นตัวแทนของสิ่งเหล่านั้น (เช่นทั้งหมดของบทที่ 2 - มีห้องสมุดบน github ซึ่งทำได้; AFAIK ก็เหมือนกันกับ Coq) มันก็ต่อเมื่อคุณไปถึงตอนต่อ ๆ มีสองรายการที่ชัดเจน:

วงกลม สิ่งนี้แสดงให้เห็น (ใน Agda) โดยใช้สัญญลักษณ์ดังนั้นจึงไม่ดีเท่ากับสิ่งอื่น ๆ
$\infty$

มีรายการอื่น ๆ ด้วย แต่ฉันยังไม่ได้อ่านส่วนหนึ่งของระเบียบ Agda เลย ... แต่โดยส่วนใหญ่แล้ว HoTT ส่วนใหญ่สามารถทำเป็นทางการได้ทั้งใน Agda และ Coq

ที่สำคัญกว่านั้นทั้งสองทีมของนักพัฒนาซอฟต์แวร์กำลังทำงานอย่างแข็งขันในการปรับระบบเพื่อให้สามารถจัดการ HoTT ได้มากขึ้นอย่างน้อยเมื่อใดก็ตามที่มีทฤษฎีที่ชัดเจนเกี่ยวกับวิธีการใช้คุณสมบัติที่ต้องการ ที่กลายเป็นความท้าทายในบางส่วน

— Jacques Carette
แหล่งที่มา