หลอกฟังก์ชั่นสมมาตรโดยพลการ

การกระจายถูกกล่าวถึง -fool ฟังก์ชั่นถ้า\ และได้มีการกล่าวเพื่อหลอกชั้นฟังก์ชั่นถ้ามันโง่ฟังก์ชั่นทุกอย่างในชั้นเรียนนั้น เป็นที่รู้กันว่าพื้นที่ว่างหลอกระดับของ parities เหนือส่วนย่อย (ดูAlon-Goldreich-Hastad-Peraltaสำหรับการก่อสร้างที่ดีของช่องว่างดังกล่าว) คำถามที่ฉันต้องการถามคือลักษณะทั่วไปของฟังก์ชันสมมาตรตามอำเภอใจ ϵ f | E x ∈ U ( f ( x ) ) - E x ∈ D ( f ( x ) ) | ≤ ϵ $\mathcal{D}$$\epsilon$$f$$|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$

คำถาม:สมมติว่าเราใช้คลาสของฟังก์ชันสมมาตรตามอำเภอใจเหนือเซตย่อยบางส่วนเรามีการแจกแจง (ด้วยการสนับสนุนเล็กน้อย) ที่ทำให้คนโง่เขลาคนนี้

ข้อสังเกตเล็กน้อย:

• มันก็เพียงพอแล้วที่จะหลอกค่า จำกัด ที่แน่นอน (คือ 1 ถ้าหากมีค่าเท่ากับในบรรดาดัชนีใน ) การกระจายใด ๆ ที่ -fools ขีด จำกัด ที่แน่นอนเหล่านี้จะหลอกฟังก์ชันสมมาตรทั้งหมดเหนือบิตบิต (นี่เป็นเพราะฟังก์ชั่นสมมาตรทุกตัวสามารถเขียนเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นที่แท้จริงของขีด จำกัด ที่แน่นอนเหล่านี้ซึ่งสัมประสิทธิ์ในชุดค่าผสมเป็น 0 หรือ 1 ค่าเชิงเส้นตรงของความคาดหวังนั้นให้สิ่งที่เราต้องการ) อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันคือ 1 ถ้าหากมีอย่างน้อยx k S ϵ n ϵ n Th S k ( x ) x k $\text{ETh}^S_k(x)$$x$$k$$S$$\epsilon$$n\epsilon$$n$
  
  $\text{Th}^S_k(x)$$x$$k$คนที่อยู่ท่ามกลางดัชนีใน )$S$

• มีการก่อสร้างที่ชัดเจนในการจัดจำหน่ายที่มีการสนับสนุนเป็นผ่านทางสนามบิน PRG นิสันสำหรับ LOGSPACE$n^{O(\log n)}$

• การเว้นวรรคตามอำเภอใจจะไม่ทำงาน ตัวอย่างเช่นถ้าคือเซตของทั้งหมดที่จำนวนของจำนวนนั้นใน x ไม่ได้เป็นศูนย์ mod 3 นี่คืออิงจริงสำหรับขนาดเล็กมาก(จากผลลัพธ์ของ Arkadev Chattopadyay ) แต่ชัดเจนว่านี่ไม่ได้หลอกฟังก์ชั่น MOD3S x ϵ $\epsilon$$S$$x$$\epsilon$$\epsilon$

ปัญหาย่อยที่น่าสนใจอาจเป็นดังต่อไปนี้สมมติว่าเราแค่ต้องการหลอกฟังก์ชันสมมาตรเหนือดัชนี n ทั้งหมดเรามีพื้นที่ที่ดีหรือไม่? จากการสังเกตข้างต้นเราเพียงแค่ต้องหลอกฟังก์ชั่นเกณฑ์มากกว่าบิตซึ่งเป็นเพียงตระกูลของฟังก์ชั่น ดังนั้นเราสามารถเลือกการกระจายตัวด้วยกำลังดุร้าย แต่มีตัวอย่างของช่องว่างที่โง่กว่าสำหรับทุกๆหรือไม่n + 1 Th [ n ] k$n$$n+1$$\text{Th}^{[n]}_k$$k$

ใช่การแก้ปัญหาทั่วไปปัญหานี้เพิ่งได้รับการกำหนดโดย Parikshit Gopalan, รัค Meka, โอเมอร์เรน์โกลด์และเดวิดซัคเกอร์แมนดูปั่นไฟ pseudorandom สำหรับ Combinatorial รูปร่าง

กระดาษที่จัดการการตั้งค่าแม้ทั่วไปมากขึ้นที่เอาท์พุทกำเนิดบันทึกเมตรบล็อกบิตซึ่งเป็นอาหารแล้วฟังก์ชั่นบูลพลซึ่งnเอาท์พุทเป็นอาหารแล้วไปยังฟังก์ชันสมมาตรบูล$n$ $\log m$$n$

กรณีย่อยที่หลากหลายเป็นที่รู้จักกันอยู่แล้ว ดูตัวอย่างเครื่องปั่นไฟ pseudorandom บิตที่ Fool ผลรวม Modular , ขอบเขตอิสรภาพ Fools Halfspacesและpseudorandom ปั่นไฟสำหรับฟังก์ชั่นพหุนามเกณฑ์ จับครั้งแรกเงินก้อนโมดูโลพีการทดสอบขีด จำกัด ที่สองและที่สามเป็นการทดสอบที่แม่นยำที่คุณพูดถึง แต่ข้อผิดพลาดนั้นไม่ดีพอที่จะใช้การคิดเหตุผลของคุณเพื่อให้ได้ผลลัพธ์สำหรับทุกฟังก์ชั่นสมมาตร$p$