ความซับซ้อนในการคำนวณของ pi

ปล่อย

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

(โดยที่คิดว่าเข้ารหัสเป็นเลขฐานสอง) แล้วสิ่งที่เราสามารถพูดเกี่ยวกับความซับซ้อนของคอมพิวเตอร์ของ ? เป็นที่ชัดเจนว่า{EXP} และถ้าฉันไม่เข้าใจผิดอัลกอริทึม "BBP-type" ที่น่าทึ่งสำหรับการคำนวณบิตของโดยใช้เวลา quasilinear และหน่วยความจำโดยไม่จำเป็นต้องคำนวณ บิตก่อนหน้านี้อัตราผลตอบแทน{} $n$ $L$ $L\in\mathsf{EXP}$ $n^{th}$ $\pi$ $(\log n)^{O(1)}$ $L\in\mathsf{PSPACE}$

เราทำได้ดีกว่านี้แล้ววาง (พูด) ไว้ในลำดับการนับ? ในอีกทางหนึ่งมีความกระด้างใด ๆ ที่ทำให้ (แม้แต่ความอ่อนแออย่างยิ่งเช่นแข็ง) หรือไม่? $L$ $L$ $\mathsf{TC}^0$

ภาษาที่เกี่ยวข้องที่น่าสนใจคือ

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

(อีกครั้งถูกเขียนเป็นเลขฐานสอง) เรามี $t$

$L' \in \mathsf{NP}^L$

และด้วยเหตุนี้ ; ฉันจะสนใจอย่างมากหากมีสิ่งใดที่ดีกว่าเป็นที่รู้จัก $L' \in \mathsf{PSPACE}$

cc.complexity-theory na.numerical-analysis

— Scott Aaronson
แหล่งที่มา

(1) เพราะเป็นเลขยอดเยี่ยมที่โด่งดังที่สุดและเป็นที่รู้จักกันมาก (2) เพราะฉันต้องการตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม (แน่นอนว่าฉันสนใจคำถามแบบอะนาล็อกสำหรับ ,ฯลฯ ทุกครั้งที่คำตอบต่างกัน) (3) เพราะสำหรับ Chaitinฉันรู้คำตอบแล้ว : กล่าวคือการคำนวณเลขฐานสองนั้นไม่สามารถคำนวณได้! (และฉันเดาว่ามันเป็นไปได้ที่จะลดการแสดงว่าปัญหาการค้นหาแบบต่อเนื่องนั้นไม่สามารถคำนวณได้เช่นกันสำหรับ ... ใคร ๆ ก็เห็นว่าเป็นอย่างไร?)

π

$\pi$

e

$e$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Ω

$\Omega$

n^{t h}

$n^{th}$

Ω

$\Omega$

— Scott Aaronson

@ScottAaronson ฉันคิดว่าเราสามารถทำซ้ำได้ทุกสายยาวและถามว่าเป็นภาษาหรือไม่ นี้จะช่วยให้พวกเราทุกคนในครั้งแรกบิต\

x

$x$

t

$t$

⟨ x, t ⟩

$\langle x, t \rangle$

t

$t$

Ω

$\Omega$

— usul

ฉันมีภาษา "number-theory-style" ที่คล้ายกัน: :-)

L = {n ∣ the second lower bit of the n -th prime number is 1}

$L = \{ n \mid \text{ the second lower bit of the }n\text{-th prime number is } 1\}$

— Marzio De Biasi

โดยวิธีการที่ผมตรวจสอบ Weihrauch ในตอนท้ายของมาตรา 7.2 ที่ระบุว่า N-TH บิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติและแปรผกผันกันของพวกเขาสามารถคำนวณได้ในเวลาใช้ลงนามตัวแทน -digit (ให้ใน นอกเหนือจากและเป็นตัวเลข) ในคอมแพ็คย่อยของโดเมน (คือความซับซ้อนของการคูณเลขจำนวนเต็มแบบไบนารี)

t_{m} (n) \lg n

$t_m(n) \lg n$

- 1

$-1$

0

$0$

1

$1$

t_{m}

$t_m$

— Kaveh

cs.nyu.edu/exact/doc/pi-log.pdf

— sdcvvc

ตกลง James Lee ได้ชี้ให้ฉันเห็นบทความนี้โดย Samir Datta และ Rameshwar Pratap ซึ่งพิสูจน์ว่าภาษาของฉัน(การเข้ารหัสตัวเลขของ ) อยู่ในระดับที่สี่ของลำดับการนับ (ขอบคุณ SamiD ด้านล่างสำหรับการชี้ให้เห็นหายไปในกระดาษซึ่งฉันจะพูดซ้ำในคำตอบของฉัน! ) กระดาษยังกล่าวถึงอย่างชัดเจนคำถามของฉันที่ต่ำกว่าขอบเขตกับความซับซ้อนของการคำนวณตัวเลขไบนารีของตัวเลขไม่ลงตัว แต่ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์อ่อนแอมากต่ำกว่าผูกพันสำหรับการคำนวณตัวเลขไบนารีของเหตุผลตัวเลข นี่คือสิ่งที่ฉันกำลังมองหา $L$ $\pi$ $\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$ $\mathsf{PP}$

อัปเดต (3 เมษายน):ผลลัพธ์ที่น่าขบขันของตัวเลขของที่คำนวณได้ในลำดับชั้นการนับมีดังนี้ สมมติว่าเป็นตัวเลขปกติ (ซึ่งการขยายตัวแบบไบนารี่รวมกันอย่างรวดเร็วเพื่อ "สุ่มได้อย่างมีประสิทธิภาพ") และสมมติว่า (ด้วยการจำลองที่เกี่ยวข้องกับค่าพหุนามขนาดเล็กเท่านั้น) แล้วมันจะเป็นไปได้ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ของคุณที่จะหาตัวอย่างเกิดขึ้นครั้งแรกของการทำงานที่สมบูรณ์ของเช็คสเปียร์ในการขยายตัวของฐาน\ถ้าเสียงที่ไร้สาระกับคุณแล้วบางทีมันอาจจะควรนำมาเป็นหลักฐานเพิ่มเติมที่{} :-) $\pi$ $\pi$ $\mathsf{P} = \mathsf{PP}$ $\pi$ $\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$

— Scott Aaronson
แหล่งที่มา

ตกลง แต่มันบอกว่าฉันต้องรอ 5 ชั่วโมงก่อนทำเช่นนั้น!

— Scott Aaronson

BTW กระดาษดังกล่าวข้างต้นเป็นหลักช่วยลดปัญหาไปและเข้าใจผิดคำพูดที่ถูกผูกไว้เป็น{PP}}} ขอบเขตที่รู้จักกันดีที่สุดในปัจจุบันคือดังที่แสดงที่นี่: eccc.hpi-web.de/report/2013/177

B i t S L P

$\mathsf{BitSLP}$

P H^{P P^{P P}}

$\mathsf{PH^{PP^{PP}}}$

P H^{P P^{P P^{P P}}}

$\mathsf{PH^{PP^{PP^{PP}}}}$

— SamiD