ตัวอย่างของการที่การละเมิดเงื่อนไขด้านบวกอย่างเข้มงวดในประเภทอุปนัยนำไปสู่ความไม่สอดคล้องกัน

ระบบที่พิมพ์ขึ้นอยู่กับส่วนใหญ่มีเงื่อนไข positivity ที่เข้มงวดสำหรับประเภทอุปนัย ไม่มีใครรู้ตัวอย่างที่การละเมิดเงื่อนไขนำไปสู่ความไม่สอดคล้องกันในระบบหรือไม่?

lo.logic type-theory dependent-type

— Konstantin Solomatov
แหล่งที่มา

เป็นไปได้จริงที่จะผ่อนคลาย positivity ที่เข้มงวดและยังคงสอดคล้อง ตัวอย่างเช่นมันเพียงพอที่จะมีเงื่อนไขด้านบวกเท่านั้น นั่นคือเราสามารถยอมรับคำจำกัดความประเภทเช่น

T ≜ μ α . (α \to 2) \to 2

$T \triangleq \mu\alpha. (\alpha \to 2) \to 2$

โดยที่ตัวแปรชนิดเรียกซ้ำเกิดขึ้นทางด้านซ้ายของลูกศรคู่และรักษาความมั่นคง

อย่างไรก็ตามทฤษฎีที่อนุญาติประเภทแบบอุปนัยนี้ไม่มีโมเดลเชิงทฤษฎี - คุณไม่สามารถตีความชนิดเป็นเซตและเงื่อนไขเป็นองค์ประกอบของเซตได้ ในกรณีนี้เราจะบอกว่าคือ isomorphic ดับเบิล powerset ของมัน (เช่น ) และการฝ่าฝืนทฤษฎีบทของต้นเสียง $T$ $T \simeq \mathcal{P}(\mathcal{P}(T))$

เนื่องจากทฤษฎีประเภทพึ่งพามักจะใช้ในการทำคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการนักออกแบบของพวกเขาจึงลังเลที่จะเพิ่มหลักการที่ไม่เข้ากันกับความหมายของทฤษฎีเซตแม้ว่าจะสอดคล้องกันก็ตาม

แก้ไข: ฉันเพิ่มการแก้ไขนี้เพื่อตอบคำถามของ Andrej ประเภทนั้นสอดคล้องกันหากคุณเพิ่มลงใน (พูด) Agda; ไม่มีปัญหากับมันเลย เรามีปัญหาก็ต่อเมื่อเรารวมค่าบวกที่ไม่เข้มงวดเข้ากับค่ากลางที่ไม่รวม $T$

สัญชาตญาณว่าเพราะเหตุใดจึงมีความปลอดภัยคือ (IMO) ที่ดีที่สุดผ่านเลนส์ของพาราเมตริก ในระบบ F เราสามารถแสดงการใช้พารามิเตอร์ที่ว่า functorใด ๆ ที่กำหนดประเภทเป็นประเภทอุปนัยแน่นอน $F$ $\mu F \triangleq \forall \alpha.\; (F\alpha \to \alpha) \to \alpha$

ตอนนี้ให้จำไว้ว่า functor ที่กำหนดได้เป็นตัวดำเนินการชนิดพร้อมด้วยตัวดำเนินการ พอใจของ functoriality เงื่อนไข (กล่าวคือและ ) $F$ $F : \ast \to \ast$

ม. a พี : \forall α, β . (α \to β) \to F α \to F β

$\mathrm{map} : \forall \alpha,\beta.\;(\alpha \to \beta) \to F\;\alpha \to F\;\beta$

m a p i d = i d

$\mathrm{map}\;id = id$

m a p f \circ m a p g = m a p (f \circ g

$\mathrm{map}\;f\;\circ \mathrm{map}\;g = \mathrm{map}\;(f \circ g$

ตอนนี้เราสามารถกำหนดโอเปอเรเตอร์ประเภทสำหรับ power powers คู่ได้

ค = λ α . (α \to 2) \to 2

$C = \lambda \alpha.\; (\alpha \to 2) \to 2$

และเนื่องจากเกิดขึ้นในเชิงบวกเท่านั้นเราจึงสามารถกำหนดโอเปอเรเตอร์แผนที่ได้: $\alpha$

m a p_{C} = λ ฉ : α \to β, a^{'} : (α \to 2) \to 2, k : β \to 2 a^{'} (λ a : α . k (ฉ a))

$map_C = \lambda f : \alpha \to \beta, a' : (\alpha \to 2) \to 2, k : \beta \to 2.\; a' \;(\lambda a:\alpha.\; k\;(f\;a))$

ดังนั้นเราจึงรู้ว่าเป็นประเภทอุปนัยที่ชอบด้วยกฎหมาย $T = \mu C$

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

เราสามารถสร้างตัวอย่างที่สร้างความไม่สอดคล้องกันด้วยตัวเองได้หรือไม่? ตัวอย่างของคุณไม่สอดคล้องกันหากเราถือว่าตรงกลาง (พอ) ยกเว้น

— Andrej Bauer

อีกเหตุผลหนึ่งคือเราสามารถเพิ่มทฤษฎีบทของ FAN ให้กับ Agda หลังจากนั้นเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าชนิดของคำถามคือจำนวนธรรมชาติ (isomorphic to)

— Andrej Bauer

ฉันกำลังคิดควรจะค่อนข้างแย่

μ α . (α \to 2) \to α

$\mu \alpha . (\alpha \to 2) \to \alpha$

— Andrej Bauer

อาฉันเข้าใจผิดคำถาม - ประเด็นคือความเข้มงวดในแง่บวกเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอ แต่ไม่จำเป็น ตัวอย่างของคุณ (ที่มีการเกิดขึ้นจริงในเชิงลบ) ไม่สอดคล้องกัน

— Neel Krishnaswami

ใช่ฉันเพิ่งรู้ว่า ตัวอย่างของฉันไม่อุ้มน้ำ

— Andrej Bauer