เราสามารถเรียงลำดับโดยไม่เปลี่ยนรูปแบบได้ไหม?

มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าการเรียงลำดับพีชคณิตโดยการขนย้ายอยู่ในเป็นจำนวนขั้นต่ำของ transpositions ที่จำเป็นในการจัดเรียงπ ∈ S nคือสิ่งที่ฉันn วี( π ) = { ( ฉัน, J ) ∈ [ n ] × [ n ] : i < j  และ  π ( i ) > π ( j ) $\sf{P}$$\pi \in S_n$$inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$. ความคิดของ "จำนวนผกผัน" นี้ยังมีการใช้งานใน combinatorics พีชคณิตเช่นจะช่วยให้การบริจาคกับโครงสร้างของตาข่ายที่เรียกว่า permutohedron และอยู่บนพื้นฐานของการสั่งซื้อ Bruhat อ่อนแอ$S_n$

มันสามารถส่องสว่างเพื่อสร้างปัญหาใหม่ในแง่ทฤษฎีกลุ่ม เราได้รับกลุ่มพร้อมชุดเครื่องกำเนิดไฟฟ้าΓและการทำแผนที่i G : Γ ∗ → Gและอีกกลุ่มHซึ่งGทำหน้าที่ผ่านการขนส่งและเราต้องการแก้ปัญหาต่อไปนี้: ให้h ∈ Hค้นหาความยาวขั้นต่ำW ∈ แกมมา*เช่นที่ฉันG ( W ) H = 1 H ในกรณีการเรียงสับเปลี่ยนG = H $G$$\Gamma$$i_G : \Gamma^* \rightarrow G$$H$$G$$h \in H$$w \in \Gamma^*$$i_G(w).h = 1_H$และ Γคือชุดของการแปลงสัญญาณ$G = H = S_n$$\Gamma$

คำถาม: มีอินสแตนซ์อื่น ๆ ของปัญหานี้ซึ่งยอมรับอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพหรือไม่

$X$$H$$(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$$x_1 \ldots x_n = 1_X$$G$$B_n$$\sigma_i$$B_n$$H$

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

$\sigma_i$$i$$i+1$

$G=H=S_n$$G=H=A_n$

• Mark Jerrum: ความซับซ้อนของการค้นหาลำดับตัวกำเนิดความยาวต่ำสุด theor คอมพิวเต วิทย์ 36: 265-289 (1985) http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90047-7

$G=H=S_n$$\Gamma$$w$