กราฟมอร์ฟิซึ่มสามารถตัดสินใจได้โดยใช้รากที่สองที่มีขอบเขตไม่สิ้นสุด

ความสัมพันธ์แบบไม่ผูกมัดที่เกี่ยวข้องเชื่อมโยงกับฟังก์ชัน $g(n)$ กับคลาสของภาษาที่ยอมรับโดยเครื่องทัวริงที่ จำกัด ขอบเขตทรัพยากรเพื่อสร้างคลาส -ใหม่ คลาสนี้ประกอบด้วยภาษาเหล่านั้นที่ได้รับการยอมรับจากทัวริงเครื่องจักร nondeterministicเชื่อฟังขอบเขตทรัพยากรเดียวกับที่ใช้ในการกำหนดแต่ได้รับอนุญาตให้เคลื่อนที่ได้มากที่สุดคือ nondeterministic (ฉันใช้สัญกรณ์ของช่างทอง Levy และ Mundhenk แทนที่จะเป็นต้นฉบับโดย Kintala และ Fischer และคือขนาดของอินพุต) $C$ $g$ $C$ $M$ $C$ $M$ $g(n)$ $n$

คำถามของฉัน:

มีค่าคงที่ที่ GRAPH ISOMORPHISM อยู่ใน -หรือไม่ $c\ge0$ $c\sqrt{n}$ $\mathsf{PTIME}$

( แก้ไข: Joshua Grochow ชี้ให้เห็นว่าคำตอบในเชิงบวกต่อคำถามนี้จะบอกเป็นนัยถึงอัลกอริธึมสำหรับ GI ที่มีขอบเขตรันไทม์แบบ asymptotic ดีกว่าที่ทราบกันดีในปัจจุบันดังนั้นฉันจึงมีความสุขที่จะผ่อนคลายขอบเขตอนุญาตย้าย nondeterministic) $o(\sqrt{n}\log n)$

พื้นหลัง

สำหรับค่าคงที่คงที่ทุก , - , ขณะที่เคลื่อนที่ nondeterministic ส่วนใหญ่กำหนดค่าพหุนามเพื่อสำรวจแบบกำหนดแน่นอน ยิ่งไปกว่านั้นและด้วยวิธีการหนึ่งสามารถแสดงให้เห็นถึงภาษาสมบูรณ์ภาษาใน -สำหรับทุก0 $c \ge 0$ $\mathsf{PTIME} = {c\log n}$ $\mathsf{PTIME}$ $c\log n$ $\mathsf{NP} = \cup_c n^c\text{-}\mathsf{PTIME}$ $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\varepsilon > 0$

คินทาลาและฟิสเชอร์สังเกตว่าการตัดสินใจว่ากราฟอินพุตที่มีจุดยอดมีคลิกคือ - สมบูรณ์ แต่อยู่ใน - . หากต้องการดูสิ่งนี้ให้ละทิ้งจุดยอดที่มีมากที่สุดเพื่อนบ้าน หากมีจุดยอดที่เหลืออยู่น้อยเกินไปให้ปฏิเสธ มิฉะนั้นจุดที่เหลืออยู่ในรูปแบบของกราฟขนาด2) จากนั้นเดา -subset ของ vertices โดยใช้ขั้นตอน nondeterministic และตรวจสอบว่าพวกเขาเป็นกลุ่มในเวลาพหุนาม $V$ $(|V|/3)$ $\mathsf{NP}$ $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $|V|/3 - 2$ $\Omega(|V|^2)$ $|V|/3$ $|V| = O(\sqrt{n})$

บางภาษาอื่น ๆ $L$ ของกราฟหนาแน่นใน $\mathsf{NP}$ ยังอยู่ใน $O(\sqrt{n})$ - $\mathsf{PTIME}$ {} เป็นกรณีนี้สำหรับปัญหาใด ๆ ที่เป็นส่วนหนึ่งของจุดทำหน้าที่เป็นใบรับรองและขนาดของข้อมูลกราฟเป็น $\Omega(|V|^2)$ 2) ตัวอย่างเป็นรุ่นที่สัญญาไว้ของเส้นทางที่เหนี่ยวนำหรือ 3 สีสำหรับกรณีของกราฟที่มีความหนาแน่นสูง ปัญหาอื่น ๆ ดูเหมือนจะต้องการใบรับรองที่มีขนาดใหญ่กว่าเช่นรายการของจุดยอดที่กำหนดวงจรมิลโตเนียนดูเหมือนว่าจะต้องใช้บิต $\Omega(|V| \log |V|)$ บิต ไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่ามีใครสามารถใช้จำนวนเงิน nondeterminism ที่เล็กเกินไปที่จะคาดเดาใบรับรองเพื่อตัดสินใจปัญหาดังกล่าว

เมื่อพิจารณาว่า -สามารถมีภาษาที่สมบูรณ์แบบได้ดังนั้นจึงน่าสนใจที่จะถามว่าในลำดับชั้น nondeterminism ที่ จำกัด อาจทำให้ภาษาล้มเหลวได้ง่ายขึ้น หนึ่งอาจคาดหวัง GI เป็นภาษาที่ดูเหมือนจะไม่เป็น NP-สมบูรณ์ที่จะอยู่ในลำดับชั้นที่ใกล้ชิดกับ -กว่า -{P} อย่างไรก็ตามใบรับรองที่ชัดเจนสำหรับ GI ระบุแผนที่โดยใช้บิตซึ่งเป็น{n}) $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\log n$ $\mathsf{P}$ $n$ $\mathsf{P}$ $|V|\log |V|$ $\omega(\sqrt{n})$

อีกวิธีในการคิดเกี่ยวกับคำถามนี้: การระบุแผนที่ระหว่างชุดของจุดยอดเป็นใบรับรองที่สั้นที่สุดสำหรับ GI หรือไม่

แก้ไข:ข้อสังเกตเพิ่มเติม (แก้ไข) เพิ่มเติมตามเพื่อแก้ไขความคิดเห็นของ Joshua Grochow

หากใบรับรองใช้บิตบิตและสามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามแล้วแรงเดรัจฉานให้อัลกอริทึมสำหรับการรับ GIเวลา ด้วยใบรับรองขนาดแรงเดรัจฉานให้อัลกอริธึมใช้เวลาขณะที่ใบรับรองขนาดอัตราผลตอบแทนที่วิธีการบังคับเดรัจฉานการเวลา ขอบเขตบนสุดที่ยาวนานของ Luks คือเวลาซึ่งอยู่ระหว่างสองขอบเขตนี้จนถึงเลขชี้กำลังคงที่ $f(n) = \Omega(\log n)$ $poly(n)2^{O(f(n))} = 2^{O(f(n))}$ $O(\sqrt{n})$ $2^{O(\sqrt{n})}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $2^{O(\sqrt{n}\log n)}$ $2^{O(\sqrt{n\log n})}$

ข้อควรพิจารณาเหล่านี้ชี้ให้เห็นว่าอาจมีทางเลือกอื่นสำหรับ GI วิธีการของ Luks ดูเหมือนจะขึ้นอยู่กับหลักของมันในการระบุเซตย่อยของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของกลุ่มที่เกี่ยวข้อง เครื่อง nondeterministic จึงอาจเดาเซตย่อยของกลุ่ม ส่วนย่อยเหล่านี้สามารถตรวจสอบได้อย่างละเอียดถี่ถ้วนเพื่อให้ได้อัลกอริทึมที่กำหนด หากสามารถระบุรายการองค์ประกอบได้อย่างชัดเจนอาจเป็นเพราะกลุ่มที่เกี่ยวข้องไม่ใหญ่กว่าขนาดของกราฟมากนักหรือเพราะจำนวนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่ต้องการมีขนาดเล็กเสมอและการตรวจสอบแต่ละชุดย่อยของผู้สมัครไม่นานเกินไป อาจให้แนวทางอื่นแก่ GI

จันทราหม่อมราชวงศ์คินทาลาและแพทริคซีฟิสเชอร์การกลั่น Nondeterminism ในการคำนวณเชิงพหุนาม - เวลา จำกัด , SIAM วารสารการคำนวณ9 (1), 46–53, 1980. ดอย: 10.1137 / 0209003
Judy Goldsmith, Matthew A. Levy, Martin Mundhenk, nondeterminism ที่ จำกัด , ข่าว SIGACT 27 (2), 20–29, 1996. Doi: 10.1145 / 235767.235769
László Babai และ Eugene M. Luks, ฉลากมาตรฐานของกราฟ , STOC 1983, 171–183 ดอย: 10.1145 / 800061.808746

— András Salamon
แหล่งที่มา

ดังนั้นหากกราฟถูกกำหนดให้เป็น adjacency matrix ขนาด

หมายความว่าฉันสามารถสร้างจำนวนเชิงเส้นของการเคลื่อนไหวที่ไม่ได้กำหนดไว้ล่วงหน้าไปยังจุดยอดที่กำหนดขนาด

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— John D.

@ user17410: ใช่เป็นตัวแทนควรไม่เรื่องมากเกินไปตราบใดที่ขนาดของอินสแตนซ์ใด ๆ คือ

)

(หากเบาะเหล่านี้มีขนาดไม่สมเหตุสมผลเพื่อให้มีขนาด

แน่นอนว่าสแควร์รูทถูกผูกไว้ก็พอแล้ว)

O (| V |^{2})

$O(|V|^2)$

Ω ((| V | \log | V |)^{2})

$\Omega((|V|\log|V|)^2)$

— András Salamon

ฉันคิดว่าคุณอาจจะถามสำหรับขั้นตอนวิธีที่ดีกว่าที่รู้จักกันดี ... ถ้าผมเข้าใจเป็น

ขั้นตอนวิธีการจะให้ผลผลิต

O (\sqrt{n}) - P T I M E

$O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$

อัลกอริทึมที่กำหนดไว้ อัลกอริธึมที่รู้จักกันดีที่สุดในปัจจุบันใช้เวลา

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

)

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

— Joshua Grochow

@ AndrásSalamon: กำลังดุร้าย =

ไม่ใช่

n! p o l y (n) \approx 2^{O (n \log n)}

$n!poly(n) \approx 2^{O(n \log n)}$

... นอกจากนี้ฉันไม่เห็นว่าทำไมใบรับรองขนาด

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

นำไปสู่อัลกอริทึมแรงเดรัจฉานของเวลา

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

มากกว่า

2^{\sqrt{n} \log n}

$2^{\sqrt{n} \log n}$

- คุณอธิบายได้ไหม? บางทีฉันอาจพลาดบางสิ่งบางอย่างในคำจำกัดความของสัญลักษณ์ "PTIME"

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

— Joshua Grochow

@ MohammadAl-Turkistany: อาจ แต่ฉันจะต้องคิดให้ดีก่อน มีจุดต่าง ๆ ในอัลกอริธึมของ Babai ซึ่งเมื่อระดับสีต่ำกว่าโพลีล็อกจะใช้การทดสอบ GI แบบ bounded-deg เช่นเดียวกับอัลกอริทึมที่ดีที่สุดก่อนหน้านี้และมันไม่ชัดเจนว่าใครสามารถทำการทดสอบ polylog deg GI ในโพลีล็อกขอบเขต ลัทธิเอนโดมิเนชั่นหรือไม่ว่าใครจะสามารถเรียกซ้ำคำซ้ำซากของ Babai ต่อไปเพื่อให้ได้ระดับลงไปพูดระดับสีคงที่ ถ้าและเมื่อฉันเข้าใจว่าฉันจะอัปเดตคำตอบของฉัน - ถ้าคุณมีความคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้ฉันยินดีที่จะแชท แต่นี่อาจไม่ใช่สถานที่ที่เหมาะสมที่จะทำงานผ่านมัน

— Joshua Grochow

ข้อแรกคำตอบเชิงบวกสำหรับคำถามของคุณจะปรับปรุงสถานะของศิลปะในขอบเขตที่เลวร้ายที่สุดสำหรับกราฟมอร์ฟ สำหรับอัลกอริทึมให้ผลเป็น $O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$ - อัลกอริธึมกำหนดเวลา แต่ปัจจุบันรู้จักดีที่สุดสำหรับ GI เพียง $2^{O(\sqrt{n})}$ $2^{O(\sqrt{n \log n})}$

ประการที่สองมันไม่ชัดเจนในทันทีเลยว่าอัลกอริธึมที่ดีที่สุดในปัจจุบันคืออัลกอริธึมแม้ว่าส่วนแรกของมันจะชัดเจนในบางกรณี อัลกอริทึมแรกคาดเดาชุดของจุดยอดขนาด $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$ เพื่อสร้างความแตกต่าง (เคล็ดลับของ Zemlyachenko - ดูที่นี่สำหรับคำอธิบายเป็นภาษาอังกฤษ) ซึ่งสามารถทำได้โดยการเดา $\sqrt{n/\log n}$ bits nondeterministically อย่างไรก็ตามหลังจากคาดเดาสิ่งเหล่านั้นและการทำให้เป็นรายบุคคล (ในเวลาโพลีกำหนดค่า) จะใช้การทดสอบ isomorphism แบบ bounded-degree isomorphism ที่ดีที่สุดที่รู้จักกันดีซึ่งใช้เวลา (ทฤษฎีบท 9.1 ของบทความนี้) กรณีของ $\sqrt{n \log n}$ $n^{O(d /\log d)}$ )ฉันต้องคิดให้ดีก่อนว่าอัลกอริทึมหลังจะกลายเป็น $d=O(\sqrt{n \log n})$ อัลกอริธึม(ดูเหมือนคำถามที่น่าสนใจ ... ) $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

คุณมีลิงค์ไปยังรุ่นที่ไม่ได้อยู่ข้างหลัง paywall หรือไม่? ฉันไม่เคยเห็นการใช้กลอุบายของ Zemlyachenko ที่แท้จริงหรือการทดสอบมอร์ฟิซึ่มส์แบบขอบเขต การแบ่งจุดยอดตามระดับเช่น NAUTY เร่งความเร็ว แต่ผู้ที่มีระดับเดียวกันคุณยังต้องตรวจสอบการเปลี่ยนลำดับของรอบที่สำคัญทั้งหมดใน AFIK

— Chad Brewbaker

@ แช้ด: ฉันโชคไม่ดีที่ไม่ได้สนใจบทความเหล่านี้ อย่างไรก็ตามเคล็ดลับของ Zemlyachenko นั้นค่อนข้างง่ายที่จะนำไปใช้ในทางปฏิบัติและลดระดับลง สำหรับการใช้งานเคล็ดลับของ Zemlyachenko ในทางปฏิบัติฉันคิดว่าคำถามเดียวคือการแลกเปลี่ยนระหว่างการแจกแจงชุดของจุดยอดต่าง ๆ ให้เป็นรายบุคคล ฉันไม่ทราบว่ามีการนำไปใช้จริงใน NAUTY หรืออัลกอริธึมมอร์ฟิซึ่มส์ในทางปฏิบัติอื่น ๆ

— Joshua Grochow

@Chad: โดยวิธีการทดสอบพีชคณิตวงรอบที่สำคัญเพียงพอเพียงสำหรับการตรวจสอบ automorphism ที่ไม่น่าสนใจ มันไม่เพียงพอสำหรับการทดสอบมอร์ฟ ตัวอย่างเช่นถ้า

เป็นกราฟโดยไม่ต้อง automorphisms ขี้ปะติ๋วให้

เป็นใด ๆการเปลี่ยนแปลง - ไม่จำเป็นต้องเป็นวงจรที่สำคัญ จากนั้น

เป็น isomorphic ไป

และ

เป็นเพียงมอร์ฟระหว่าง

และ

)

แต่มอร์ฟิซึ่มส์นี้จะไม่ถูกตรวจจับโดยพิจารณาจากวัฏจักรที่สำคัญเท่านั้น

G

$G$

π

$\pi$

π (G)

$\pi(G)$

G

$G$

π

$\pi$

G

$G$

π (G)

$\pi(G)$

— Joshua Grochow

ด้วยค่าใช้จ่ายที่เพิ่มเป็นสองเท่า

คุณสามารถคำนวณ ISO ด้วย AUT ได้โดยใส่กราฟทั้งสองลงในเมทริกซ์ adjacency

n

$n$

— ชาด Brewbaker

@Chad: ถ้าคุณทำอย่างนั้นมีอยู่แล้ว

วิธีเรียงสับเปลี่ยนรอบที่สองของคำสั่งซื้อดังนั้นคุณจึงสูญเสียการประหยัดที่อาจเกิดขึ้น สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าการลดที่คุณอธิบายนั้นมาจาก ISO ไปจนถึงการคำนวณชุดการสร้างสำหรับกลุ่ม automorphism ไม่มีการลดลงของโพลีเวลาที่รู้จักจาก ISO ถึงปัญหาในการตัดสินใจว่ากราฟมีออโตมอร์ฟิซึมแบบไม่สนใจหรือไม่

n!

$n!$

— Joshua Grochow