การเปรียบเทียบสองอัลกอริทึมสำหรับปัญหา 3SUM ผ่านจำนวนเต็ม

กระดาษ "Subquadratic Algorithms สำหรับ 3SUM" โดย Ilya Baran, Erik D. Demaine, Mihai Patrascu มีความซับซ้อนดังต่อไปนี้สำหรับ

ปัญหา 3sum: รับรายการ$L$ของ$n$จำนวนเต็มถ้ามี$x,y,z \in L$เช่นว่า$x+y=z.$

$w-$A C 0 O ( n 2 / w 2ล็อกw ) O ( n 2 / ( M B ) ) O ( n 2 / M B log M $O(n^2/ \max\{w \log w, \log n (\log \log n)^2 \})$$AC0$$O(n^2/ w^2 \log w)$$O(n^2/(MB))$$O(n^2/ MB \log M )$

เมื่อเร็ว ๆ นี้กระดาษ "Threesomes, Degenerates และ Love Triangles" โดย Grondlund และ Pettie ได้พิสูจน์ว่า "ความซับซ้อนของต้นไม้ตัดสินใจ 3SUM คือและนั่นคือ อัลกอริธึม 3SUM แบบสุ่มที่ทำงานในเวลาเวลาและอัลกอริทึมที่กำหนดไว้ที่ทำงานในเวลาO(n2(บันทึกบันทึกn)2/logn)O(n2(บันทึกบันทึกn) 5 / 3 /(บันทึกn) 2 / 3$O(n^{3/2}\sqrt{\log n})$$O(n^2(\log \log n)^2/\log n)$$O(n^2(\log \log n)^{5/3}/(\log n)^{2/3})$

ผลลัพธ์เหล่านี้หักล้างการคาดเดา 3SUM รุ่นที่แข็งแกร่งที่สุดนั่นคือความซับซ้อนของต้นไม้ตัดสินใจ (และอัลกอริธึม) ของมันคือ$Ω(n^2)$ "

ดูกระดาษที่สองนี้ที่นี่

เห็นได้ชัดว่าทั้งสองเป็นเอกสารสำคัญ คำถามของฉันเกี่ยวกับวิธีการเปรียบเทียบผลกระทบและความสำคัญของทั้งสองด้วยรูปแบบความซับซ้อนที่แตกต่างกัน ความคิดเห็นที่ลึกซึ้งอื่น ๆ เกี่ยวกับปัญหานี้ก็ยินดีต้อนรับ ตัวอย่างเช่นมีกระดาษแผ่นแรกตัดออกแล้ว$\Omega(n^2)$ถูกผูกไว้?

ต่อไปนี้คือบางจุดที่ช่วยให้มองเห็นผลลัพธ์ใหม่

ผลลัพธ์ของความซับซ้อนของต้นไม้การตัดสินใจมีขนาดใหญ่ การโจมตีหนึ่งบรรทัด (และ Jeff Erickson สามารถพูดเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้) คือการลองและลดขอบเขต 3SUM ผ่านการดูความซับซ้อนในการตัดสินใจของปัญหา (เช่นจำนวนการเปรียบเทียบที่จำเป็นในการแก้ปัญหา) ความหวังคือสิ่งที่ใกล้กับได้สำเร็จ$\Omega(n^2)$

ผลลัพธ์นี้จะทำการโต้แย้งอย่างเด็ดขาดด้วยการโยงโปรดทราบว่านี่ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับความซับซ้อนที่แท้จริงของปัญหา มันบอกว่าต้นไม้การตัดสินใจที่ต่ำกว่าขอบเขตจะไม่เกิดขึ้น และนั่น (พร้อมกับหลักฐานอื่น ๆ ) ปลดเปลื้องข้อสงสัยเกี่ยวกับขั้นพื้นฐานที่ 3sum คือ "ศีลธรรม" ใกล้กับ 2n $O(n^{3/2})$$n^2$

ผลลัพธ์อัลกอริทึมคือ subquadratic แบบไม่มีเงื่อนไข (นั่นไม่ใช่ในรูปแบบคำที่ขนานกัน) นั่นเป็นเรื่องใหญ่ แต่ฉันคิดว่าหนึ่งอาจพูดคลุมเครือเกี่ยวกับความจริงที่ว่ามันไม่ได้เป็นสำหรับบางคง\$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon$

ดังที่ @domotorp กล่าวว่านี่อาจเป็นจุดเริ่มต้นของชุดผลลัพธ์ใหม่ มันยากที่จะพูด ขอบเขตบนในปัจจุบันมาจาก "นำไปใช้ใหม่" อัลกอริทึมการตัดสินใจด้วยเทคนิคมายากลจากทิโมธีชาน เป็นไปได้ว่าสิ่งนี้สามารถผลักดันต่อไปได้

กระดาษแผ่นแรกให้อัลกอริธึมแบบ subquadratic เป็นหลักหากเรารู้ว่าทุกหมายเลขที่ป้อนมีบิตและเราสามารถเพิ่มตัวเลขสองบิตในขั้นตอนเดียว นี้ไม่ได้ผลที่น่าแปลกใจมากและมันก็ไม่ได้ออกกฎที่ถูกผูกไว้$w$$w$$\Omega(n^2)$

กระดาษแผ่นที่สองไม่ได้ใช้สมมติฐานใด ๆ และปรับปรุงเลขชี้กำลังของสำหรับต้นไม้ตัดสินใจซึ่งเป็นเรื่องน่าประหลาดใจแม้ว่าจะไม่ใหญ่เท่าที่ควรสำหรับอัลกอริธึมทั้งหมดซึ่งพวกเขาปรับปรุงเพียงเล็กน้อยเท่านั้น . ฉันเดาว่าผลลัพธ์เพิ่มเติมจะตามมาในไม่ช้า$n$