ช่องว่างที่ระบุได้ระหว่างความซับซ้อนของแผนภูมิการตัดสินใจและความซับซ้อน“ จริง”

ชื่อเป็นเรื่องเข้าใจผิดเล็กน้อย แต่หวังว่าคำถามจะไม่:

Grønlundและ Pettie ของผลใหม่แสดงให้เห็นว่า3sumมีเพียงความซับซ้อนต้นไม้ตัดสินใจมีฉันสงสัยว่า: $O(n^{3/2})$

มีตัวอย่างง่ายๆของปัญหากับความซับซ้อนของต้นไม้ตัดสินใจของแต่ยอมรับขอบเขตที่ต่ำกว่า (ในแบบจำลองที่มีรายละเอียดมากกว่า) ของหรือไม่? $O(f)$ $\omega(f)$

ในคำอื่น ๆ วิธีการที่ควรผลบน 3sum เปลี่ยนมุมมองของความเป็นไปได้ในการได้รับของเราอย่างมีนัยสำคัญต่ำกว่าขอบเขตบนความซับซ้อนของปัญหาหรือไม่ $n^2$

cc.complexity-theory machine-models decision-trees

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

ความแตกต่างขององค์ประกอบสามารถแก้ไขได้ด้วยแผนผังการตัดสินใจแบบไบนารีความลึกคงที่ ("องค์ประกอบทั้งหมดมีความแตกต่างกันหรือไม่") แต่เราต้องการความลึก

เพื่อแก้ปัญหาโดยใช้ต้นไม้ตัดสินใจเชิงเส้น

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

— Jeffε

รูปแบบต้นไม้ตัดสินใจเป็นรูปแบบเชิงทฤษฎีข้อมูล: เมื่อคุณได้เรียนรู้ข้อมูลมากพอเกี่ยวกับข้อมูลของคุณว่าคำตอบนั้นได้รับการพิจารณาอย่างเฉพาะเจาะจงจากข้อมูลนี้คุณก็ทำเสร็จแล้ว ไม่สำคัญว่าการพิจารณาคำตอบจากข้อมูลนี้จะไม่สามารถตัดสินใจได้ ตัวอย่างเช่นถ้าอินพุตเป็นสตริงไบนารี่ n-bit เข้ารหัสเครื่องทัวริงและคำถามคือว่า TM นี้หยุดต้นไม้การตัดสินใจของความลึก n สามารถแก้ปัญหานี้ได้เล็กน้อยเพราะรู้บิตทั้งหมด แต่ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ปัญหานี้.

— Robin Kothari

บางทีฉันควรจะพูดว่า 'ตัวอย่างของปัญหาง่าย ๆ ' แทน :)

— Suresh Venkat

คำตอบ:

$O(n^4\log n)$

— Jeffε
แหล่งที่มา

ถ้าฉันอยากจะเป็นคนน่าเบื่อจริงๆฉันจะชี้ให้เห็นว่าการเป็น NP-hard นั้นไม่ใช่ขอบเขตที่ต่ำ แต่นั่นเป็นตัวอย่างที่ดีของจิตวิญญาณของสิ่งที่ฉันกำลังมองหา

— Suresh Venkat

ใช่ แต่เราไม่รู้ว่าจะพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าได้อย่างไร

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E คุณอาจจะรู้ถึงผลงานหรือผลงานชิ้นนี้หรือไม่? ฉันพบว่าต้นฉบับดั้งเดิมยากมากที่จะปฏิบัติตามคำจำกัดความบางอย่างไม่ชัดเจนเลยสำหรับฉัน

— domotorp

อย่างน้อยคำนิยามพื้นฐานที่อธิบายไว้ในกระดาษของฉันเกี่ยวกับปัญหาความเสื่อมเชิงเส้น

— Jeffε

$O(n\log(\frac{m+n}{n}))$ $\Theta(n+m)$ $m=\omega(n)$

— เซท Pettie
แหล่งที่มา

ขอผมไม่เห็นด้วยสักหน่อย ในรูปแบบ RAM เราไม่จำเป็นต้องอ่านอินพุตทั้งหมด ในโมเดลทัวริงของเครื่องมีปัญหาเล็ก ๆ น้อย ๆ มากมายที่สามารถแก้ไขได้เร็วขึ้นด้วยต้นไม้ตัดสินใจ (หรือบนเครื่อง RAM) โปรดดูความคิดเห็นของ Robin ต่อคำถามเดิม

— domotorp