หลักฐานง่าย ๆ ของΩ (n lg n) กรณีที่เลวร้ายที่สุดที่ผูกไว้กับความเป็นเอกลักษณ์ / ความแตกต่าง?

มีหลักฐานหลายประการที่แสดงว่าขอบเขตล่างของ loglinear สำหรับปัญหาเอกลักษณ์ / ความแตกต่างขององค์ประกอบ (ขึ้นอยู่กับต้นไม้คำนวณพีชคณิตหรืออาร์กิวเมนต์ที่ขัดแย้งกัน) แต่ฉันกำลังมองหาสิ่งที่ง่ายพอที่จะใช้ในหลักสูตรแรกในการวิเคราะห์และออกแบบอัลกอริธึม “ ระดับความยาก” เดียวกันกับขอบเขตล่างสำหรับการเรียงลำดับจะดี นอกจากนี้วิธีการใด ๆ (เช่น combinatorial หรือตามทฤษฎีข้อมูล) จะตกลง ข้อเสนอแนะใด ๆ

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— แมกนัสโกหกเฮทแลนด์
แหล่งที่มา

คุณมีรูปแบบการคำนวณแบบใดอยู่ในใจ? หากรายการเป็นจำนวนเต็มขนาดเล็กเราสามารถทำ

โดยการเรียงลำดับ หากรายการเท่านั้นที่สามารถนำมาเปรียบเทียบสำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่นั่นน่าจะเป็น

ขอบเขตล่าง มันถูกต้องหรือไม่ที่จะอนุมานจากคำตอบที่คุณกำลังมองหาว่ารายการนั้นเรียงลำดับเชิงเส้นและสามารถเปรียบเทียบกับ <, =,> แต่ไม่มีการดำเนินการอื่น

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Warren Schudy

คำถามของวอร์เรนในความคิดเห็นของเขาเป็นการโทรที่ดี ที่เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้ความคิดเห็นของ David Eppstein สำหรับคำถามอื่นนั้นลึกซึ้งซึ่งเขาเน้นความสำคัญของการระบุรูปแบบการคำนวณเมื่อเราพูดถึงขอบเขตที่ต่ำกว่านี้ โดยวิธีการที่ฉันไม่แน่ใจว่ามันทำให้รู้สึกถึงรายการ "ต้นไม้คำนวณพีชคณิต" (รูปแบบของการคำนวณ) และ "ข้อโต้แย้งขัดแย้ง" (วิธีการพิสูจน์) เคียงข้างกัน

— Tsuyoshi Ito

จุดที่ดีมาก แอปพลิเคชันของฉันที่นี่อธิบายเกี่ยวกับการพิสูจน์ความแข็งโดยการลดตัวอย่างเช่นการลดจากเอกลักษณ์การเรียงลำดับ (และปัญหาอื่น ๆ อีกมากมาย) ดังนั้นฉันสมมติว่ามีการทำงานพื้นฐานเหมือนกับเมื่อทำงานกับการเรียงลำดับการเปรียบเทียบ (เพื่อลดการทำงาน) (หรือฉันเดาว่าอะไรก็ตามที่เทียบเท่ากับ RAM ที่มีตัวเลขจริง)

— Magnus Lie Hetland

คำตอบ:

ใบรับรองใด ๆ (หลักฐาน) ของความชัดเจนที่ใช้เฉพาะ <, = และ> จะต้องรวมการเปรียบเทียบระหว่างแต่ละคู่ขององค์ประกอบที่อยู่ติดกันในลำดับที่เรียงลำดับ ดังนั้นใบรับรองความชัดเจนใด ๆ จึงให้ข้อมูลที่เพียงพอในการจัดเรียงและด้วยเหตุนี้ขอบเขตล่างข้อมูลเชิงทฤษฎีสำหรับการจัดเรียงจึงใช้กับอัลกอริทึมความแตกต่างที่กำหนดขึ้นเช่นกัน

— วอร์เรน Schudy
แหล่งที่มา

อาร์กิวเมนต์นี้ใช้ได้กับต้นไม้เปรียบเทียบ แต่ไม่ใช่ (โดยตรง) สำหรับโมเดลต้นไม้ตัดสินใจทั่วไป

— Jeffε

JeffE: ฉันเห็นด้วย ฉันสงสัยว่ามันมีหลักฐานที่ง่ายพอสำหรับวัตถุประสงค์ของแมกนัสที่ทำงานในรูปแบบทั่วไปที่มากกว่า

— Warren Schudy

ขวา. ต้นไม้เปรียบเทียบใช้ได้กับใบสมัครของฉัน - ดังนั้นฉันคิดว่านี่ใกล้เคียงกับที่ฉันกำลังมองหา แอปพลิเคชันของฉันอธิบายแนวคิดเกี่ยวกับการพิสูจน์ความแข็งรวมถึงการลดการเรียงลำดับดังนั้นความจริงที่ว่าการใช้การพิสูจน์การเรียงลำดับจะใช้วงจรสั้น ๆ ในเรื่องทั้งหมด ฉันเดาว่าฉันควรระบุไว้อย่างชัดเจนว่า :-)

— Magnus Lie Hetland

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคำถามถูกต้องหรือไม่ แต่การพิสูจน์โดย Dobkin และ Lipton [DL79] ว่าปัญหาที่เป็นเอกลักษณ์ของตัวเลขnต้องมีการเปรียบเทียบΩ ( n log n ) ในรูปแบบการตัดสินใจเชิงเส้นง่ายกว่าผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่าใน โมเดลต้นไม้คำนวณพีชคณิตโดย Ben-Or [Ben83] (ไม่น่าแปลกใจ)

อ้างอิง

[Ben83] Michael Ben-Or ขอบเขตล่างสำหรับต้นไม้คำนวณพีชคณิต ในการดำเนินการประชุมวิชาการ ACM ประจำปีที่ 15 เรื่องทฤษฎีการคำนวณ (STOC 1983) , หน้า 80–86, เมษายน 2526 http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] David P. Dobkin และ Richard J. Lipton เกี่ยวกับความซับซ้อนของการคำนวณภายใต้ชุดต่าง ๆ แบบดั้งเดิม วารสารวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และระบบ , 18 (1): 86–91, ก.พ. 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

ในระยะสั้น: พิจารณาช่องว่าง R ^ n ของอินพุตที่เป็นไปได้ทั้งหมด ชุดของอินพุตที่เป็นบวกมี n! คอมโพเนนต์ที่เชื่อมต่อหนึ่งรายการสำหรับการเปลี่ยนแปลงแต่ละครั้ง ในทางกลับกันเซ็ตย่อยที่สามารถเข้าถึงใบไม้ใด ๆ ในแผนผังการตัดสินใจเชิงเส้นจะนูนและเชื่อมต่อกัน ดังนั้นต้นไม้ตัดสินใจเชิงเส้นใด ๆ ที่กำหนดเอกลักษณ์มีอย่างน้อย n! ใบไม้.

— Jeffε

จำเป็นต้องมีอาร์กิวเมนต์ที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นสำหรับกรณีพิเศษของอินพุตจำนวนเต็ม ดู Lubiw และRács "ขอบเขตล่างสำหรับปัญหาความชัดเจนขององค์ประกอบจำนวนเต็ม", สารสนเทศและการคำนวณ 1991; หรือ Yao, "ขอบเขตล่างสำหรับต้นไม้คำนวณพีชคณิตที่มีอินพุตจำนวนเต็ม", FOCS 1989

— Jeffε

@JeffE: คำอธิบายสั้น ๆ ของคุณยอดเยี่ยมมาก ขอบคุณสำหรับตัวชี้ไปยังผลลัพธ์ที่น่าสนใจ มันไม่เคยเกิดขึ้นกับฉันว่าขอบเขตล่างโดย Ben-Or ไม่ได้ใช้กับกรณีที่อินพุตถูก จำกัด ด้วยจำนวนเต็มทันที

— Tsuyoshi Ito

Jeff: คำตอบเหล่านี้ควรจะเป็น!

— Suresh Venkat

ขอบคุณทั้ง Tsuyoshi Ito และ JeffE ฉันเคยเห็นการพิสูจน์ช่องว่าง R ^ n มาก่อน (ในการตั้งค่าโดยใช้อาร์กิวเมนต์ที่เป็นข้อขัดแย้ง) ฉันคิดว่ามันซับซ้อนเกินไปสำหรับกลุ่มเป้าหมายของฉันเมื่อฉันอ่านมัน แต่ฉันเดาว่ามันอาจจะไม่ใช่ ขอบคุณ (ฉันเคยเห็นกระดาษในกรณีที่เป็นจำนวนเต็ม - ฉันคิดว่าฉันจะไม่เข้าไปในนั้นในการบรรยายของฉัน… :)

— Magnus Lie Hetland