มีปัญหาแบบเปิดเกี่ยวกับ DFA หรือไม่

หลังจากเรียน จำกัด สถานะออโตมาตา (DFA) ที่กำหนดไว้อย่างแน่นอนในระดับปริญญาตรีฉันรู้สึกว่าพวกเขาเข้าใจกันเป็นอย่างดี คำถามของฉันคือว่ามีบางสิ่งที่เรายังไม่เข้าใจเกี่ยวกับพวกเขา ฉันไม่ได้หมายถึงภาพรวมของ DFA แต่เป็น DFA ดั้งเดิมที่เราไม่ได้ทำการศึกษาในระดับปริญญาตรี

นี่เป็นคำถามที่คลุมเครือ แต่ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจ ฉันต้องการที่จะเข้าใจว่ามันยุติธรรมที่จะบอกว่าเราเข้าใจ DFA อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นฉันหมายถึงคำถามที่เกี่ยวกับ DFA โดยเนื้อแท้ไม่ใช่ปัญหาที่สร้างขึ้นมาเพื่อให้ดูเหมือนปัญหาเกี่ยวกับ DFA ขอยกตัวอย่างปัญหา ให้ L เป็นภาษาที่ว่างเปล่าถ้า P = NP และบางภาษาที่ไม่ใช่ประจำคงที่ถ้า P ไม่ใช่ NP L สามารถได้รับการยอมรับจาก DFA หรือไม่ คำถามนี้เกี่ยวกับ DFA แต่ไม่ใช่เกี่ยวกับพวกเขาในใจ ฉันหวังว่าประเด็นของฉันจะชัดเจนและฉันก็ไม่ได้คำตอบที่ไม่สุภาพจากผู้คน

ในระยะสั้นมันยุติธรรมที่จะพูด

เราเข้าใจ DFA อย่างสมบูรณ์

ฉันขอโทษถ้าปรากฎว่านี่เป็นงานวิจัยขนาดใหญ่ที่ฉันไม่ได้ตระหนักถึงและฉันได้ดูถูกคนในชุมชนทั้งหมด

นี่คือปัญหาหนึ่งที่อธิบายไว้ในหนังสือ "หลักสูตรที่สองในภาษาทางการและทฤษฎีออโตมาตา" โดย Shallit

Letและเป็นสองคำที่แตกต่างกันกับ nDFA ที่เล็กที่สุดมีขนาดเท่าใดที่ยอมรับแต่ปฏิเสธหรือในทางกลับกันv | คุณ| = | v | = n คุณ$u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

ร็อบสันในกระดาษของเขา " แยกสตริงกับออโตขนาดเล็ก " ในปี 1989 ได้รับการพิสูจน์ขอบเขตบน{3/5}) ที่รู้จักกันดีที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่าในn)Ω ( log n $O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

สำหรับการสำรวจที่เห็นนี้

นี่คือปัญหาการตัดสินใจที่ง่ายมากเกี่ยวกับ DFA รับ DFA M แล้ว M ยอมรับการแสดงฐาน 2 ของจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งหมายเลขหรือไม่

ปัจจุบันเราไม่ทราบด้วยซ้ำว่าปัญหานี้แก้ไขได้ซ้ำแล้วซ้ำอีกหรือไม่

ถ้ามันแก้ไขได้ซ้ำแล้วซ้ำอีกและเรามีอัลกอริธึมสำหรับมันเราสามารถแก้ไขปัญหาที่เปิดยาวนานว่ามีเฟมมาติส (รูปแบบของ ) ที่ใหญ่กว่าอันที่รู้จักกันมากที่สุด 65537 หรือไม่ ไพร์มใดที่มีการแทนเบส -2 ของแบบฟอร์ม1 0 + 1จะต้องเป็นไพรเมอร์แฟร์มาต์)$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

การคาดเดาČernýยังคงเปิดอยู่และมีความสำคัญ เป็นเรื่องเกี่ยวกับ DFAs ที่มีคำที่ซิงโครไนซ์ (คำที่มีคุณสมบัติที่หุ่นยนต์สองตัวที่เริ่มต้นในรัฐต่าง ๆ มักจะอยู่ในสถานะเดียวกันเสมอกันหลังจากประมวลผลคำทั้งสอง) และถามว่า (สำหรับ state ออโต) ความยาวของคำดังกล่าวที่สั้นอยู่เสมอที่มากที่สุด( n - 1 ) 2 ขอบเขตการพิสูจน์แล้วว่าดีที่สุดคือของแบบฟอร์มO ( n 3 )$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

ฉันต้องการชี้ให้เห็นปัญหาการวิจัยอื่นซึ่งเกี่ยวข้องกับการมีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกันของแนวคิดพื้นฐานมากเกี่ยวกับ DFAs

เป็นที่ทราบกันดีว่า N-state NFA ใด ๆ สามารถเปลี่ยนเป็น DFA ที่เทียบเท่าที่มีมากที่สุดรัฐ นี้เป็นไปได้ดีที่สุดในกรณีที่เลวร้ายที่สุดในความรู้สึกที่ว่ามีภาษาปกติของความซับซ้อนของรัฐ nondeterministic n (เช่นจำนวนของรัฐใน NFA น้อยที่สุด) แต่ความซับซ้อนของรัฐกำหนด2 n นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างของตระกูลภาษาที่ nondeterminism สามารถบันทึกปัจจัยสมการกำลังสองและกรณีที่ nondeterminism ไม่ได้ช่วยให้รัฐใด ๆ เลย ดังนั้นคำถามธรรมชาติคือต่อไปนี้:$2^n$$2^n$

ปัญหาเลขเวทย์

มีสำหรับแต่ละระหว่างnและ2 nเป็นภาษาประจำL nดังกล่าวว่าช่องว่างระหว่างความซับซ้อนรัฐ nondeterministic และความซับซ้อนของรัฐกำหนดเป็นตรงα ?$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

ถ้าเราเข้าใจการสร้าง powerset และความสัมพันธ์ของ Myhill-Nerode จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ฉันจะคาดหวังว่าคนหนึ่งสามารถสร้างภาษาดังกล่าวสำหรับแต่ละหรืออีกทางหนึ่งเพื่อระบุค่าของαซึ่งเป็นไปไม่ได้ (ถ้า ค่าดังกล่าวมีอยู่ซึ่งเรียกว่า "หมายเลขมายากล")$\alpha$$\alpha$

เป็นที่ทราบกันดีว่ามีตัวเลขเวทย์มนตร์สำหรับขนาดตัวอักษรอินพุตและตั้งแต่ปี 2009 เป็นต้นมาจึงไม่มีตัวเลขเวทย์มนตร์หากขนาดตัวอักษรอย่างน้อย3ตัว แต่ถ้าฉันไม่เข้าใจผิดกรณีของตัวอักษรไบนารีก็ยังคงเปิดอยู่$1$$3$

Galina Jirásková ตัวเลขเวทย์มนตร์และตัวอักษรประกอบไปด้วย ใน: การประชุมระหว่างประเทศครั้งที่ 13 เกี่ยวกับการพัฒนาในทฤษฎีภาษา (DLT 2009), เล่ม 5583 ของเอกสารการบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์, หน้า 300–311.

หัวข้อ: การไม่ว่างเปล่าสำหรับสอง DFA

รายละเอียด:จากและD 2ของ DFA สองรายการจะมีสตริงxที่ทั้งD 1และD 2ยอมรับxหรือไม่$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

ปัญหาเปิด:เราสามารถแก้จุดตัดที่ไม่ใช่ความว่างเปล่าสำหรับเวลาสอง DFA ในเวลาหรือไม่?$o(n^2)$

หากเราสามารถแก้ปัญหานี้ได้ในเวลาโดยที่δ <2 จากนั้นสมมุติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลที่คาดเดายากจะถูกหักล้าง$O(n^{\delta})$$\delta$

คำอธิบาย: การตัดสินใจความว่างเปล่าของการตัดกันของภาษาปกติในเวลา subquadratic

คุณอาจพบว่ามีประโยชน์: http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

ขอให้มีความสุขมาก ๆ ในวันนี้! :)

นี่เป็นปัญหาที่เปิดกว้างเกี่ยวกับ DFA และทฤษฎีการเรียนรู้ของเครื่อง: มีการสุ่มอย่างสม่ำเสมอ (การเปลี่ยนแบบสุ่มและพฤติกรรมยอมรับ / ปฏิเสธ) DFA สามารถเรียนรู้ได้ในรูปแบบ PAC หรือไม่

หมายเหตุ: เราคิดว่า DFA โดยพลการนั้นไม่สามารถเรียนรู้ได้จากผลความแข็งของการเข้ารหัส สำหรับ DFA แบบสุ่มเรามีขอบเขตที่ต่ำกว่า SQซึ่งไม่แข็งแกร่งเท่านี้

ออปชันน้อยที่สุดเป็นหนึ่งในสิ่งที่เกี่ยวข้อง กำหนดภาษา จำกัดเราสามารถได้รับน้อยที่สุด DFA สำหรับL แต่ถ้าเราผ่อนคลายความต้องการของ DFA เราจะพบสิ่งเล็ก ๆ เรารู้ว่าคำที่ยาวที่สุดในภาษา จำกัดLมีความยาวL กำหนด DFCA เป็น DFA ซึ่งยอมรับคำเฉพาะในLหรืออาจจะเป็นคำที่มีความยาวเกินลิตร จากนั้น DFCA นี้จะมีขนาดเล็กกว่า DFA สำหรับL ในทางปฏิบัติการตรวจสอบความยาวของคำนั้นไม่สำคัญ ถ้าเรามี DFCA ขนาดเล็กที่รับคนเดิมเราก็สามารถปฏิเสธคำที่มีความยาวขนาดใหญ่กว่าลิตร มีการวิจัยเกี่ยวกับชั้นเรียนนี้ (แนะนำเมื่อปี 2544) และเช่นมี$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$อัลกอริทึม O ( n 2 )สำหรับการค้นหา DFCA ขั้นต่ำ อัลกอริทึมเวลาทำงานที่เหมาะสมยังไม่ทราบ นอกจากนี้ยังมีแง่มุมอื่น ๆ ของ DFA ที่เราสามารถพิจารณาได้เกี่ยวกับ DFCA$O(n^2)$

มีภาษาปกติกี่ภาษาที่ DFA ขั้นต่ำสุดมีสถานะเป็นอย่างแน่นอน$n$

สำหรับฉันดูเหมือนว่าควรมีสูตรปิด แต่ไม่มีใครรู้ รู้จักขอบเขตของเส้นกำกับ:

$n$

นี่คือคำถามที่เกี่ยวข้องกับ DFA ที่ฉันเคยมาที่นี่และมันยังเปิดอยู่เท่าที่ฉันรู้:

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

คำถามนี้มีผลกระทบต่อการเรียนรู้เครื่อง

("การคิดนอกกรอบ" ... ) นี่เป็นปัญหาที่มีการประดิษฐ์ขึ้นเล็กน้อยที่เกี่ยวข้องกับ DFAs (ไม่เคยเห็นมันศึกษาที่อื่น) แต่ปรากฏรูปแบบใน TCS ซึ่งแม้จะเห็นได้ชัดว่า "ง่าย" ในการคำนวณวัตถุ (เช่น DFA) สามารถมีคุณสมบัติที่ซับซ้อน รวมถึงแง่มุม / ธีมที่รวมอยู่ในทฤษฎีบทของ Rices (ในบางวิธี "ความซับซ้อน" ขั้นสุดท้ายคือ "ความไม่แน่นอน" อาคาทัวริงสมบูรณ์)

$n$$x$$n$$x↑n$

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$ยังเป็น RL (และ DFA)

$\Sigma$

$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

ตอนนี้จะผูกเรื่องนี้กับคำถามในขณะที่นี่ไม่ใช่การสังเกตอย่างกว้างขวาง (ถือว่าเล็กน้อยโดยบางคน) ปัญหาที่เปิดกว้างใน TCS / คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องอย่างแน่นแฟ้นกับ undecidability undecidability ในการพยากรณ์ปัญหาพวกเขาสามารถ " แก้ไข"

ดังนั้นในความรู้สึกผูกนี้ทั้งหมดเข้าด้วยกันโดยใช้ปัญหาพื้นฐานเกี่ยวกับ DFAs ที่เป็น undecidable จะมีเสมอจะมีปัญหาเกี่ยวกับการเปิด DFAs เพราะมีจะเป็น "เปิด" ปัญหาเกี่ยวกับ DFAs (เช่นนี้) เทียบเท่ากับปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ . ในความเป็นจริงการใช้ทฤษฎีบทของ Rices ในทางกลับกันในขณะที่การก่อสร้างนี้ทำในบางวิธีโดยทั่วไปคุณสมบัติการคำนวณที่ "เรียบง่าย" แต่ไม่มีประโยชน์ใน TCS สามารถนำมาใช้เพื่อสร้างปัญหาที่ไม่อาจตัดสินใจได้

[1] ปัญหาคำที่ต้องใช้เวลาชี้แจง / Stockmeyer & Meyer

[2] Meyer, AR และ L. Stockmeyer ปัญหาความเท่าเทียมกันสำหรับนิพจน์ทั่วไปที่มีกำลังสองต้องใช้พื้นที่ชี้แจง การประชุมวิชาการ IEEE ครั้งที่ 13 เรื่องทฤษฎีการสลับและออโตมาตา, ต.ค. 1972, pp.125–129

[3] ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับภาษาออโตมาตาและการคำนวณ / Hopcroft / Ullman