ปัญหาการแบ่งพาร์ติชันบนกราฟลูกบาศก์

มีการศึกษาความซับซ้อนของปัญหาต่อไปนี้หรือไม่

อินพุต : กราฟลูกบาศก์ (หรือ ) , ขอบเขตบนธรรมชาติG = ( V , E ) $3$$G=(V,E)$$t$

คำถาม : มีพาร์ทิชันของเข้าส่วนของขนาดดังกล่าวว่าผลรวมของคำสั่งของ (เชื่อมต่อ nonnecessarily) subgraphs ที่สอดคล้องกันเป็นอย่างมาก ?| E | / 3 3 $E$$|E|/3$$3$$t$

งานที่เกี่ยวข้อง ฉันพบเอกสารค่อนข้างน้อยในวรรณคดีที่พิสูจน์ว่าจำเป็นและ / หรือมีเงื่อนไขเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของพาร์ติชันในกราฟบางอันที่มีสามขอบซึ่งเกี่ยวข้องกันอย่างใดอย่างหนึ่งและอื่น ๆ บางอย่างเกี่ยวกับความซับซ้อนของคอมพิวเตอร์ ด้านบน (เช่นพาร์ติชันจะต้องให้ subgraphs isomorphic เป็นหรือP 4และไม่มีน้ำหนักเกี่ยวข้องกับพาร์ติชั่นที่กำหนด) แต่ไม่มีใครจัดการกับปัญหาข้างต้นได้อย่างแน่นอน$K_{1,3}$$P_4$

รายการเอกสารทั้งหมดที่นี่จะเป็นที่น่าเบื่อเล็กน้อย แต่ส่วนใหญ่ของพวกเขาทั้งสองกล่าวอ้างหรือถูกอ้างถึงโดยDor และ Tarsi

20101024: ฉันพบบทความนี้โดย Goldschmidt และคณะ ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นว่าปัญหาของการแบ่งพาร์ทิชันขอบกราฟเป็นส่วนที่มีอย่างที่สุดนักขอบในลักษณะดังกล่าวว่าผลรวมของคำสั่งของ subgraphs เหนี่ยวนำที่เป็นที่มากที่สุดTเป็น NP-สมบูรณ์แม้เมื่อk = 3 เห็นได้ชัดว่าปัญหายังคงเป็นปัญหา NP-Complete บนลูกบาศก์กราฟเมื่อเราต้องการความเท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด wrt k ?$k$$t$$k=3$$k$

ข้อมูลเพิ่มเติม

ฉันลองใช้กลยุทธ์บางอย่างที่ล้มเหลว แม่นยำยิ่งขึ้นฉันพบตัวอย่างตัวอย่างบางส่วนที่พิสูจน์ได้ว่า:

• การเพิ่มจำนวนสามเหลี่ยมสูงสุดไม่ได้นำไปสู่ทางออกที่ดีที่สุด ซึ่งผมพบว่ามันตอบโต้ได้ง่ายเนื่องจากสามเหลี่ยมเป็นกราฟย่อยเหล่านั้นที่มีลำดับต่ำที่สุดในบรรดากราฟที่เป็นไปได้ทั้งหมดในสามขอบ

• การแบ่งกราฟออกเป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อไม่จำเป็นต้องนำไปสู่ทางออกที่ดีที่สุดเช่นกัน เหตุผลที่ดูเหมือนสัญญาอาจไม่ชัดเจน แต่ในหลาย ๆ กรณีเราเห็นว่าการสลับขอบเพื่อเชื่อมต่อกราฟย่อยที่กำหนดจะนำไปสู่การแก้ปัญหาที่มีน้ำหนักน้อยกว่า (ตัวอย่าง: ลองที่สามเหลี่ยมที่มีขอบเพิ่มเติมหนึ่งอันเชื่อมต่อกัน จุดยอดสามเหลี่ยมเป็นส่วนหนึ่งส่วนที่เหลือเป็นวินาทีโดยมีน้ำหนักรวม 3 + 6 = 9 จากนั้นการแลกเปลี่ยนสองขอบให้เส้นทางและดาวโดยมีน้ำหนักรวม 4 + 4 = 8)

นี่คือคำแนะนำสำหรับวิธีแสดงให้เห็นว่า NP เป็นเรื่องยาก ฉันไม่รู้ว่ามันใช้งานได้หรือไม่ ก่อนอื่นให้พิจารณาปัญหาเดียวกันกับการเขียนด้วยลายมือ ความแข็งของ NP อาจพิสูจน์ได้ง่ายกว่า ลองลดจากลูกบาศก์ MAX CUT ซึ่งเป็น NP ได้ยากถึงค่าประมาณ (Berman และ Karpinski "ในผลการทดสอบความสามารถในการต้านทานการกัดกร่นของบางอย่างที่เข้มงวดกว่า") แบ่งขอบแต่ละอันออกเป็นสองส่วนและที่จุดยอดองศา 2 ใหม่แต่ละจุดจะแนบจุดยอดด้วยห่วงตัวเอง พาร์ทิชันสูงสุดของคุณสอดคล้องกับการตัดสูงสุดหรือไม่?

-

นี่คือคำอธิบายเพิ่มเติมเล็กน้อย

(1) ปัญหาของการขยายให้ใหญ่สุด (จำนวนแหล่งที่มา + จำนวนอ่างล้างมือ) ในทุกทิศทางของกราฟลูกบาศก์เกี่ยวข้องกับ MAXCUT โดยฟังก์ชันเชิงเส้นบางส่วน สิ่งนี้ต้องแสดงให้เห็นถึงความไม่แน่นอนระหว่างการตัดสูงสุดและการหมุนของแหล่งที่มา ในทิศทางเดียวในการตัดสูงสุด (U, V) เราสามารถปรับทิศทางขอบทั้งหมดจาก U ถึง V ขอบภายใน E (U) เป็นรูปแบบการจับคู่ดังนั้นสิ่งเหล่านี้จึงสามารถปรับให้เข้ากับ E (V) และคล้ายกัน จำนวนแหล่งที่มาและอ่างล้างจานคือฟังก์ชันเชิงเส้นของขนาดของการตัด ในอีกทางหนึ่งเนื่องจากการวางแนวของแหล่งที่มาและอ่างล้างมือ - สูงสุดพาร์ติชัน U = จุดยอดในองศา 0 หรือ 1, V = จุดยอดขององศา 2 หรือ 3 ให้ตัด

(2) ในการแปลงแบบตัดขอบที่ฉันอธิบายไว้ข้างต้นในการกำหนดค่าที่ดีที่สุดแต่ละวงจะมีสีเหมือนกับขอบที่อยู่ถัดจากมันและสิ่งที่ขอบนั้นมีสีเหมือนกับขอบอื่น ๆ ที่. ดังนั้นขอบที่แบ่งออกเป็นสองส่วนนั้นจะมีสีหนึ่งสีที่มาจากห่วงที่ต่ออยู่และอีกสีหนึ่ง สิ่งนี้สอดคล้องกับทิศทางและ (1) นำไปใช้