ทำไมกราฟรามานุจันทร์จึงตั้งชื่อตามรามานุช?

ฉันเพิ่งสอนผู้ขยายและแนะนำแนวคิดของกราฟรามานุช Michael Forbes ถามว่าทำไมพวกเขาถึงถูกเรียกแบบนี้และฉันต้องยอมรับว่าไม่รู้ ใคร?

หากต้องการเพิ่มเนื้อหาลงในคำตอบที่นี่ฉันจะอธิบายสั้น ๆ ว่าการคาดการณ์ของ Ramanujan คืออะไร

ก่อนอื่นการคาดการณ์ของ Ramanujan เป็นทฤษฎีบทที่พิสูจน์โดย Eichler และ Igusa นี่คือวิธีหนึ่งในการระบุ ขอให้$r_m(n)$แสดงว่าจำนวนของการแก้ปัญหาหนึ่งไปยังสมการ$x_1^2 + m^2 x_2^2 + m^2 x_3^2 + m^2 x_4^2 = n$ n ถ้า$m=1$นั่น$r_m(n) > 0$มอาร์เอ็ม ( n ) = คเมตรΣ d | n d + O ( n 1 / 2 + ε ) ε > 0 คเมตร$r_1(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \not \mid d} d$$m$$r_m(n) = c_m \sum_{d \mid n} d + O(n^{1/2 + \epsilon})$$\epsilon > 0$$c_m$$m$

Lubtozky, Phillips และ Sarnak สร้างส่วนขยายตามผลลัพธ์นี้ ฉันไม่คุ้นเคยกับรายละเอียดของการวิเคราะห์ของพวกเขา แต่ฉันเชื่อว่าความคิดพื้นฐานคือการสร้างกราฟ Cayley ของสำหรับคิวที่สำคัญที่1 \ bmod 4โดยใช้เครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่กำหนดโดยผลรวมของ -four สี่เหลี่ยมการสลายตัวของPที่Pเป็นกำลังสอง modulo ตกค้างQ จากนั้นพวกเขาเกี่ยวข้องกับลักษณะเฉพาะของเคย์ลีกราฟนี้เพื่อr_ {} 2q (P ^ k)สำหรับอำนาจจำนวนเต็มk $PSL(2,Z_q)$$q$$1 \bmod 4$$p$$p$$q$$r_{2q}(p^k)$$k$

อ้างอิงอื่น ๆ กว่ากระดาษ Lubotzky-Phillips-ซาร์ตัวเองเป็นคำอธิบายสั้น ๆ โนกะอาลอนในเครื่องมือจากสูงพีชคณิต

Wikipediaให้คำตอบนี้โดยทันที quoting

การสร้างกราฟ Ramanujan มักจะเกี่ยวกับพีชคณิต Lubotzky, Phillips และ Sarnak แสดงให้เห็นว่าจะสร้างครอบครัวที่ไม่มีขีด จำกัด ของกราฟรามานุจานสม่ำเสมอได้อย่างไรเมื่อใดก็ตามที่เป็นช่วงที่ดีที่สุด หลักฐานของพวกเขาใช้การคาดคะเนของ Ramanujanซึ่งนำไปสู่ชื่อของกราฟ Ramanujan$p+1$$p = 1 \mod 4$

บทความที่อ้างถึงคือกราฟ Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips และ P. Sarnak, COMBINATORICA เล่มที่ 8, หมายเลข 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799