รุ่นคูณของ 3-SUM

สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนของเวลาของปัญหาต่อไปนี้ซึ่งเราเรียกว่า 3-MUL

เมื่อกำหนดชุดของจำนวนเต็มจะมีองค์ประกอบที่หรือไม่n a , b , c ∈ S a b = $S$$n$$a,b,c\in S$$ab=c$

ปัญหานี้คล้ายกับปัญหา 3-SUM ซึ่งถามว่ามีองค์ประกอบสามองค์ประกอบ$a,b,c\in S$ซึ่ง$a+b+c=0$ (หรือเทียบเท่า$a+b=c$ ) 3 SUM คาดคะเนที่จะต้องใช้เวลาประมาณกำลังสองในn$n$มีการคาดเดาที่คล้ายกันสำหรับ 3-MUL หรือไม่? เป็นที่ทราบกันโดยเฉพาะว่า 3-MUL นั้นเป็น 3-SUM ยากหรือไม่

หมายเหตุความซับซ้อนของเวลาควรใช้ในการคำนวณแบบ "สมเหตุสมผล" ตัวอย่างเช่นเราอาจจะลดลงจาก 3 SUM ในชุด$S$ 3-MUL ในตลาดหลักทรัพย์$S'$ที่ $S'=\{2^x\mid x\in S\}$\} แล้ววิธีการแก้ปัญหา 3 MUL เป็น$2^a\cdot 2^b=2^c$มีอยู่ถ้าหากว่า$a+b=c$ C อย่างไรก็ตามการระเบิดแบบเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลังนั้นแย่มากสำหรับรุ่นต่างๆเช่นรุ่น RAM เป็นต้น

การลดลงของคุณจาก SUM ถึง MUL ทำงานได้กับการปรับเปลี่ยนมาตรฐานเล็กน้อย สมมติว่าจำนวนเต็มดั้งเดิมของคุณอยู่ใน { } หลังจากการแปลงจำนวนเต็มใหม่จะอยู่ใน { } เราจะลดช่วง3 1 , … , M x → 2 x 2 , … , 2 $3$$3$$1,\ldots,M$$x\rightarrow 2^x$$2,\ldots,2^M$

พิจารณาใด ๆ ที่สามของจำนวนเต็มในชุดใหม่S'จำนวน divisors สำคัญใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็น<2Mจำนวนอเนกประสงค์ดังกล่าวเป็น 3 ดังนั้นจำนวนของจำนวนเฉพาะซึ่งแบ่งที่หนึ่งน้อยของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มากที่สุด 3S ′ a b - c < 2 M n 3 q a b - c 2 M n $a,b,c$$S'$$ab-c$$<2M$$n^3$$q$$ab-c$$2Mn^3$

ปล่อยให้เป็นเซตของแรก primes ที่ใหญ่ที่สุดที่สำคัญดังกล่าวเป็นขนาดที่มากที่สุดMn) เลือกนายกสุ่มP ด้วยความน่าจะเป็นสูงจะไม่แบ่งตัวใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ดังนั้นเราจึงสามารถแทนด้วยกากของมัน modและถ้า MUL พบในด้วยความน่าจะเป็นสูง ถูกต้องสำหรับอินสแตนซ์ SUM ดั้งเดิม เราได้ลดช่วงของตัวเลขเป็น { }2 M ⋅ n 4 O ( M n 4 log M n ) p a P p a b - c a ∈ S ′ p 3 a b = c S ′ 3 0 , … , O ( M n 4 log M n $P$$2M\cdot n^4$$O(Mn^4\log Mn)$$p\in P$$p$$ab-c$$a\in S'$$p$$3$$ab=c$$S'$$3$$0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

(นี่เป็นการลดขนาดมาตรฐานคุณอาจทำได้ดีกว่าโดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่านั้นต่างจากสองพลังของเสมอ)$ab-c$$2$

$S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$$M=\max S− \min S$