รุ่นคูณของ 3-SUM


22

สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนของเวลาของปัญหาต่อไปนี้ซึ่งเราเรียกว่า 3-MUL

เมื่อกำหนดชุดของจำนวนเต็มจะมีองค์ประกอบที่หรือไม่n a , b , c S a b = cSna,b,cSab=c

ปัญหานี้คล้ายกับปัญหา 3-SUM ซึ่งถามว่ามีองค์ประกอบสามองค์ประกอบa,b,cSซึ่งa+b+c=0 (หรือเทียบเท่าa+b=c ) 3 SUM คาดคะเนที่จะต้องใช้เวลาประมาณกำลังสองในnnมีการคาดเดาที่คล้ายกันสำหรับ 3-MUL หรือไม่? เป็นที่ทราบกันโดยเฉพาะว่า 3-MUL นั้นเป็น 3-SUM ยากหรือไม่

หมายเหตุความซับซ้อนของเวลาควรใช้ในการคำนวณแบบ "สมเหตุสมผล" ตัวอย่างเช่นเราอาจจะลดลงจาก 3 SUM ในชุดS 3-MUL ในตลาดหลักทรัพย์Sที่ S={2xxS}\} แล้ววิธีการแก้ปัญหา 3 MUL เป็น2a2b=2cมีอยู่ถ้าหากว่าa+b=c C อย่างไรก็ตามการระเบิดแบบเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลังนั้นแย่มากสำหรับรุ่นต่างๆเช่นรุ่น RAM เป็นต้น


การลดลงของคุณแสดงให้เห็นว่า 3-MULT นั้นยากสำหรับ 3-SUM หากตัวเลขที่ป้อนสามารถแสดงโดยใช้สัญลักษณ์แบบเอ็กซ์โปเนนเชียล (หรือทางวิทยาศาสตร์)
Warren Schudy

4
อัลกอริธึมใด ๆ สำหรับ 3-SUM ที่ต้องอาศัยความจริงที่ว่าการเพิ่มคือกลุ่มสามารถแปลเป็นอัลกอริทึมสำหรับ 3-MULT และในทางกลับกัน อัลกอริทึมใด ๆ ที่แยกทั้งสองจึงจำเป็นต้องทำสิ่งที่ผิดปกติกับตัวเลข
Warren Schudy

1
ถ้าจะพูดจาหยาบคายอย่างรุนแรงเราอาจต้องใช้เซมากรุ๊ป
Suresh Venkat

คำตอบ:


11

การลดลงของคุณจาก SUM ถึง MUL ทำงานได้กับการปรับเปลี่ยนมาตรฐานเล็กน้อย สมมติว่าจำนวนเต็มดั้งเดิมของคุณอยู่ใน { } หลังจากการแปลงจำนวนเต็มใหม่จะอยู่ใน { } เราจะลดช่วง3 1 , , M x 2 x 2 , , 2 M331,,Mx2x2,,2M

พิจารณาใด ๆ ที่สามของจำนวนเต็มในชุดใหม่S'จำนวน divisors สำคัญใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็น<2Mจำนวนอเนกประสงค์ดังกล่าวเป็น 3 ดังนั้นจำนวนของจำนวนเฉพาะซึ่งแบ่งที่หนึ่งน้อยของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มากที่สุด 3S a b - c < 2 M n 3 q a b - c 2 M n 3a,b,cSabc<2Mn3qabc2Mn3

ปล่อยให้เป็นเซตของแรก primes ที่ใหญ่ที่สุดที่สำคัญดังกล่าวเป็นขนาดที่มากที่สุดMn) เลือกนายกสุ่มP ด้วยความน่าจะเป็นสูงจะไม่แบ่งตัวใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ดังนั้นเราจึงสามารถแทนด้วยกากของมัน modและถ้า MUL พบในด้วยความน่าจะเป็นสูง ถูกต้องสำหรับอินสแตนซ์ SUM ดั้งเดิม เราได้ลดช่วงของตัวเลขเป็น { }2 M n 4 O ( M n 4 log M n ) p a P p a b - c a S p 3 a b = c S 3 0 , , O ( M n 4 log M n )P2Mn4O(Mn4logMn)pPpabcaSp3ab=cS30,,O(Mn4logMn)

(นี่เป็นการลดขนาดมาตรฐานคุณอาจทำได้ดีกว่าโดยพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่านั้นต่างจากสองพลังของเสมอ)2abc2


1
คุณไม่ได้ลดการใช้ 3MUL mod a ไพรม์มากกว่า 3MUL หรือไม่ อาจเป็นได้ว่าแต่ค ab=c(mod()p)abc
Warren Schudy

1
ใช่อย่างนี้คือการลดลงของ 3MUL mod p จุดดี.
virgi

นี่เป็นวิธีที่น่าสนใจมาก อย่างไรก็ตามเรามีความสนใจเป็นพิเศษในการลดการกำหนดจาก 3-SUM เป็น 3-MUL อาจเป็นไปได้ไหมที่จะทำการลดขนาดเทคนิค?
Markus Jalsenius

3

S={2x/M|xS}M=maxSminS


อุ๊ปส์เสียงแบบสุ่มดูไม่เพียงพอที่จะแก้ไขข้อผิดพลาดในการปัดเศษ แต่ความคิดเหล่านี้ดูเหมือนจะมีแนวโน้มในการลดวิธีอื่นที่จะแสดง 3 MULT ไม่หนักกว่า 3 SUM ตั้งแต่เช่น 1 (x+1)+y=x+y+1
Warren Schudy

1
สมการดูเหมือนไม่ถูกต้อง (ลอง x และ y = 2.1) คุณช่วยอธิบายสิ่งที่คุณต้องการได้ไหม
Raphael
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.