อะไรเป็นเรื่องง่ายสำหรับกราฟที่ยกเว้นเล็กน้อย

ใกล้เคียงกับจำนวนของสีดูเหมือนจะง่ายในกราฟรายย่อยแยกโดยใช้อัลกอริทึมโดย Jung / อิหร่าน ตัวอย่างอื่น ๆ ของปัญหาที่ยากในกราฟทั่วไป แต่ง่ายในกราฟที่ยกเว้นเล็กน้อยคืออะไร?

อัปเดต 10/24 ดูเหมือนว่าจะติดตามผลลัพธ์ของ Grohe ว่าสูตรที่เป็น FPT เพื่อทดสอบกราฟที่ จำกัด ขอบเขต - treewidth คือ FPT เพื่อทดสอบกราฟที่แยกออกเล็กน้อย ทีนี้คำถามก็คือ - มันเกี่ยวข้องกับความสามารถในการนับจำนวนที่ได้รับมอบหมายของสูตรดังกล่าวได้อย่างไร?

ข้อความข้างต้นเป็นเท็จ MSOL เป็น FPT ในกราฟความกว้างของต้นไม้ที่มีขอบเขตอย่างไรก็ตามความสามารถในการกำหนดสี 3 รายการนั้นสมบูรณ์สำหรับ NP บนกราฟระนาบที่ไม่ได้รวมอยู่ด้วย

ผลลัพธ์ทั่วไปที่รู้จักมากที่สุดคือ Grohe สรุปถูกนำเสนอในเดือนกรกฎาคม 2010:

• Martin Grohe, ความแม่นยำแน่นอนคงที่และเวลาพหุนามบนกราฟที่ไม่รวมผู้เยาว์ , LICS 2010 ( PDF )

ในระยะสั้นคำสั่งใด ๆ ที่แสดงได้ในตรรกะจุดคงที่ที่มีการนับมีขั้นตอนวิธีพหุนามในชั้นเรียนของกราฟที่มีอย่างน้อยหนึ่งแยกออกเล็กน้อย (FP + C เป็นลอจิกลำดับที่หนึ่งที่เพิ่มเข้ามาพร้อมกับโอเปอเรเตอร์จุดคงที่และเพรดิเคตที่ให้ความสำคัญเชิงหัวใจของเซตของจุดยอดที่กำหนดได้) แนวคิดสำคัญคือการยกเว้นผู้เยาว์อนุญาตให้กราฟในชั้นเรียนมีการสั่งซื้อการสลายตัว Treelike ที่ชัดเจนในตรรกะจุดคงที่ (ไม่นับ)

ดังนั้นคำตอบของคำถามของคุณจะได้รับโดยพิจารณาจากคุณสมบัติที่กำหนดได้ใน FP + C แต่ยากที่จะนับ

แก้ไข:ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้ตอบคำถามของคุณได้จริงแม้แต่น้อยสำหรับการอัปเดตของคุณ ตัวชี้และคำชี้แจงผลลัพธ์ของ Grohe นั้นถูกต้อง แต่ฉันไม่คิดว่าข้อความที่ขีดออกจะมีความเกี่ยวข้องกับคำถามของคุณ (ขอบคุณ Stephan Kreutzer สำหรับชี้ประเด็นนี้) มันอาจคุ้มค่าที่จะชี้แจง: คุณต้องการปัญหาการนับที่ยากโดยทั่วไป แต่ง่ายสำหรับชั้นเรียนที่ไม่ได้รับการยกเว้นหรือปัญหาการตัดสินใจหรือไม่?

คุณสมบัติที่น่าสนใจของเล็ก ๆ น้อย ๆ ปิดครอบครัวกราฟที่พวกเขามีขอบเขตความเสื่อม ซึ่งหมายความว่าปัญหาทั้งหมดที่ง่ายต่อกราฟของความเสื่อมแบบ จำกัด ขอบเขตนั้นเป็นเรื่องง่ายในกราฟจากตระกูลย่อยที่ปิดตัวลง

ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่นการหาถ้ากราฟมีก๊กขนาด k มักจะเป็นปัญหาหนักและขั้นตอนวิธีการที่ดีที่สุดเป็นเช่น ) อย่างไรก็ตามถ้าเรารู้ว่าความเสื่อมนั้นเป็นค่าคงที่ดังนั้น k-cliques สามารถพบได้ในเวลาเชิงเส้นคือเวลา O (n) บทความวิกิพีเดียเกี่ยวกับปัญหากลุ่มให้ข้อมูลบางอย่างเช่นกัน (เวลาทำงานได้อย่างแม่นยำเป็นสิ่งที่ต้องการO ( k d ( G ) k n ) .) ขั้นตอนวิธีการนี้คือริมชิบะและ Nishizeki$O(n^k)$$O(k d(G)^k n)$

ตัวอย่างอื่น ๆ สามารถพบได้ในคำตอบนี้โดย David Eppsteinใน MathOverflow กับคำถามที่คล้ายกันเกี่ยวกับกราฟที่มีความเสื่อมแบบ จำกัด ขอบเขต

เป็นอาหารเสริมอีกคุณสมบัติที่มีประโยชน์สำหรับขั้นตอนวิธีการในกราฟเล็กน้อยยกเว้นคือว่ากราฟเหล่านี้มีแยกเล็ก ๆ แม่นยำมากขึ้นเนื่องจาก

อัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาเพื่อค้นหาตัวคั่นในกราฟที่ไม่รวมค่าเล็กน้อย Bruce Reed และ David R. Wood, ธุรกรรม ACM บนอัลกอริทึม, 2009,

$O(n^{2/3})$$O(n^{3/2} + m)$$O(n^{1/2})$

ตัวแยกเป็นสิ่งที่ดีสำหรับเทคนิคการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกและปัญหา NP-complete จำนวนมากแสดงให้เห็นว่ามีอัลกอริทึมที่รวดเร็วด้วยอัตราส่วนการประมาณที่ดีกล่าวว่าการแก้ปัญหานั้นอยู่ในปัจจัยคงที่ของที่ดีที่สุดหรือแม้แต่ PTAS กราฟระนาบและโดยทั่วไปกราฟชนิดมีขอบเขตเป็นจุดเริ่มต้นที่ดีเมื่อพยายามแก้ไขปัญหาในกราฟที่ยกเว้นเล็กน้อย

$O(1)$

ทฤษฎีกราฟย่อยของอัลกอริทึม: การสลายตัวการประมาณและการระบายสีโดย Demaine, Hajiaghayi และ Kawarabayashi

บทความนี้แสดงการสลายตัวของอัลกอริทึมบางอย่าง (ค่อนข้างซับซ้อนที่จะอธิบาย) สำหรับกราฟที่ไม่รวม - รองที่รับประกันโดยทฤษฎีบท Robertson & Seymour ซึ่งให้ผลการประมาณที่ดีขึ้นจำนวนหนึ่ง นอกจากนี้ตรวจสอบการอ้างอิงในนั้น

$K_5$$K_{3,3}$

$H$$H$

$K_t$$(t-1)$$K_t$$(t-1)$$t− 2$