ขอบเขตล่างที่แคบลงบนทฤษฎีบทของ Savitch

ก่อนอื่นฉันต้องขออภัยล่วงหน้าสำหรับความโง่เขลาใด ๆ ฉันไม่ได้เป็นผู้เชี่ยวชาญในทฤษฎีความซับซ้อน (ห่างไกลจากมันฉันเป็นนักศึกษาระดับปริญญาตรีที่เรียนวิชาทฤษฎีความซับซ้อน) เป็นคำถามของฉัน ทีนี้ทฤษฎีของ Savitch ระบุว่า ตอนนี้ฉันอยากรู้ว่าถ้าขอบเขตล่างนี้แน่นหรือไม่นั่นคือบางสิ่งตามแนวของ ไม่สามารถทำได้

NSPACE (f (n)) \subseteq DSPACE ({(f (n))}^{2})

$\text{NSPACE}\left(f\left(n\right)\right) \subseteq \text{DSPACE}\left(\left(f\left(n\right)\right)^2\right)$

NSPACE (f (n)) \subseteq DSPACE ({(f (n))}^{1.9})

$\text{NSPACE}\left(f\left(n\right)\right) \subseteq \text{DSPACE}\left(\left(f\left(n\right)\right)^{1.9}\right)$

ดูเหมือนว่าสิ่งที่ควรมีอาร์กิวเมนต์ combinatorial ตรงไปตรงมาที่จะทำที่นี่ - แต่ละโหนดในกราฟการตั้งค่าสำหรับเครื่องกำหนด Deteruringic ทัวริงมีเพียงหนึ่งขอบออกในขณะที่แต่ละโหนดในกราฟการกำหนดค่าของเครื่องทัวริงไม่ใช่ มากกว่าหนึ่งขอบที่ส่งออก สิ่งที่อัลกอริทึมของ Savitch กำลังทำคือการแปลงกราฟการกำหนดค่าด้วยขอบจำนวนขาออกเป็นกราฟการกำหนดค่าด้วยขอบขาออก $<2$

เนื่องจากกราฟการกำหนดค่ากำหนด TM เฉพาะ (ไม่แน่ใจเกี่ยวกับเรื่องนี้) ขนาด combinatorial ของหลังมีขนาดใหญ่กว่าเดิมอย่างแน่นอน "ความแตกต่าง" นี้อาจเป็นปัจจัยของอาจจะน้อยกว่า - ฉันไม่รู้ แน่นอนว่ายังมีปัญหาทางเทคนิคอีกมากมายที่ต้องทำเช่นเดียวกับที่คุณต้องทำให้แน่ใจว่าไม่มีลูปและอื่น ๆ แต่คำถามของฉันคือถ้านี่เป็นวิธีที่สมเหตุสมผลในการเริ่มพิสูจน์สิ่งเช่นนี้ $n^2$

cc.complexity-theory space-bounded

— gabgoh
แหล่งที่มา

คำตอบ:

นี่เป็นคำถามเปิดที่รู้จักกันดี คุณจะเห็นในทฤษฎีความซับซ้อนคำถามเปิดมากมายที่คุณสงสัยว่าทำไมไม่มีใครจัดการเพื่อแก้ปัญหาเหล่านั้น เหตุผลส่วนหนึ่งคือเราต้องการคนใหม่ ๆ เช่นคุณเพื่อช่วยเราแก้ปัญหา :)

สำหรับผลล่าสุดในพื้นที่นี้แสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึม Savitch เป็นที่เหมาะสมในรูปแบบที่ถูก จำกัด บางส่วนให้ดูกระดาษ FOCS แอรอน Potechin ของ

โดยเฉพาะเขาเริ่มต้นจากการสังเกตที่ดีว่าเนื่องจากกราฟการกำหนดค่าของสารกำหนดค่า TM มีเพียงหนึ่งขอบขาออก (หลังจากแก้ไขอินพุต) เราสามารถคิดว่ามันเป็นกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางและดังนั้นคำถามจึงกลายเป็นดังต่อไปนี้: กำกับกราฟของจุดสองจุดพิเศษถ้าเราแผนที่ไปยังจุดสุดยอดไม่มีทิศทางกราฟ (ยังมีจุดพิเศษ ) เช่นว่าการดำรงอยู่ของแต่ละขอบในขึ้นอยู่กับ หนึ่งขอบในและมีเส้นทางจาก $G$ $n$ $s,t$ $N$ $G'$ $s',t'$ $G'$ $G$ $s$ เพื่อใน IFF มีเส้นทางระหว่างและในวิธีที่ยิ่งใหญ่กว่าจะมาจากมีn $t$ $G$ $s'$ $t'$ $G'$ $N$ $n$

แสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึม Savitch เป็นที่ดีที่สุดหนึ่งในความต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าจะต้องมีอย่างน้อย )หากต้องการแสดงก็พอเพียงที่จะแสดงความอ่อนแอที่ถูกผูกไว้ที่สำหรับการอย่างต่อเนื่องทุกคผมค่อนข้างมั่นใจว่าแม้ไม่เป็นที่รู้จัก แต่บางทีบางอย่างเช่นเป็นที่รู้จักสำหรับเหตุผลที่ไม่น่าสนใจดังนั้นบาง $N$ $2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$ $L\neq NL$ $N > n^c$ $c$ $N > n^{10}$ $N \geq n^2$

— โบอาราบารักค
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าเราไม่รู้ว่านี่จะแน่นไหม มิฉะนั้นเราจะรู้ว่า L $L \neq NL$

— Karolina Sołtys
แหล่งที่มา

จุดดีขอบคุณ :) ในคำถามที่สอง - คุณเห็นข้อบกพร่องที่เห็นได้ชัดในแนวทาง combinatorial เพื่อแสดงสิ่งเช่นนั้นหรือไม่?

— gabgoh

ทฤษฎีบทของ Savitch เป็นอัลกอริธึมเฉพาะสำหรับการจำลองอัลกอริทึมแบบไม่เว้นวรรค f (n) - โดยใช้การหารและพิชิตที่มีความลึก O (f (n)) (ให้ f (n) ^ 2) การพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าเกี่ยวข้องกับการแสดงว่าอัลกอริธึมทั้งหมดที่ใช้พื้นที่น้อยลงล้มเหลวในอินพุตบางตัว นี่คือเหตุผลที่ L = NL นั้นยาก (และ P = NP นั้นยาก)

— Derrick Stolee

เราไม่รู้ว่ามันแน่นในแง่ที่ว่าเราไม่รู้ว่า 2 เป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่ทำได้ แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าเราไม่รู้จัก

)

N S p a c e (f (n)) \subseteq D S p a c e ((f (n))^{1.9})

$NSpace(f(n)) \subseteq DSpace((f(n))^{1.9})$

— Kaveh

เราทำไม่ได้ การปรับปรุงใด ๆ (แม้สำหรับ

เฉพาะเจาะจงเช่น

) จะเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญ

f

$f$

\log n

$\log n$

— ปั้นจั่นขนาดใหญ่

@ Derrick Stolee: คุณไม่มีจุดในความคิดเห็นของฉัน การรู้คำตอบในเชิงบวกเท่านั้นที่บอกเป็นนัยว่า

การโต้แย้งของคาโรไลน่าไม่ได้ให้หลักฐานใด ๆ สำหรับความยากลำบากในการรู้คำตอบเชิงลบกล่าวคือการรู้ตัว

ดูเหมือนจะไม่ได้ความช่วยเหลือเกี่ยวกับ

L \neq N L

$L \neq NL$

N S p a c e (f (n)) \subseteq D S p a c e ((f (n))^{1.9})

$NSpace(f(n)) \subseteq DSpace((f(n))^{1.9})$

L

$L$

N L

$NL$

— Kaveh