เหตุใดความเท่าเทียมกันระหว่างคลาสความซับซ้อนจึงเพิ่มขึ้นและลดลง?

25

Guys เดี๋ยวก่อนฉันเข้าใจว่าเคล็ดลับ padding ช่วยให้เราสามารถแปลเรียนซับซ้อนขึ้น - ตัวอย่างเช่น $P=NP \rightarrow EXP=NEXP$ Pการทำงานของ Padding โดย "พอง" อินพุตเรียกใช้การแปลง (พูดจากคำพูด $NP$ ถึง $P$ ) ซึ่งให้อัลกอริทึม "เวทมนต์" ซึ่งคุณสามารถเรียกใช้บนอินพุตเสริม ในขณะนี้ทำให้รู้สึกทางเทคนิคฉันไม่สามารถรับปรีชาที่ดีของวิธีการทำงาน เกิดอะไรขึ้นที่นี่? มีการเปรียบเทียบที่ง่ายสำหรับช่องว่างภายในคืออะไร?

สามารถให้เหตุผลสามัญสำนึกว่าทำไมเป็นกรณีนี้หรือไม่

cc.complexity-theory complexity-classes padding

— gabgoh
แหล่งที่มา

11

ฉันต้องการชี้ให้เห็นว่าผลการเรียนที่ซับซ้อนไม่มากขึ้น ตัวอย่างเช่นถ้าคุณได้รับการพิสูจน์

แล้วที่จะบ่งบอกถึง

P

โดยทั่วไปการพังทลายลงไปในขณะที่การแยกลงไป

E X P \neq N E X P

$EXP \neq NEXP$

P \neq N P

$P \neq NP$

— Robin Kothari

จริง ในความเป็นจริงดูเหมือนว่าเป็นวิธีที่ดีที่จะคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้เนื่องจากการแยกง่ายกว่าการยุบ

— gabgoh

2

@Robin, @gabgoh: ถึงแม้จะมีบางส่วนที่พังลงไป ดูตัวอย่างarxiv.org/abs/cs/9910008

— Joshua Grochow

30

ฉันคิดว่าวิธีที่ดีที่สุดที่จะได้รับปรีชาสำหรับปัญหานี้คือการคิดว่าปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับคลาสเวลาชี้แจง ตัวอย่างเช่นปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับ NE คือปัญหา NP-complete มาตรฐานสำหรับอินพุตที่อธิบายได้อย่างรัดกุมเช่นให้วงจรที่อธิบายเมทริกซ์ adjacency ของกราฟเป็นกราฟ 3 สีหรือไม่? จากนั้นปัญหาที่ว่า E = NE จะเทียบเท่ากับปัญหา NP นั้นสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามบนอินพุตที่อธิบายอย่างรัดกุมเช่นผู้ที่มีความซับซ้อนของ Kolmogorov ที่มีประสิทธิภาพน้อย เห็นได้ชัดว่าไม่แข็งแกร่งกว่าว่าจะสามารถแก้ไขได้กับอินพุตทั้งหมด ยิ่งเวลาถูก จำกัด มากขึ้นความซับซ้อนของ Kolmogorov ที่เล็กลงของอินพุตที่เกี่ยวข้องดังนั้นการยุบสำหรับขอบเขตเวลาที่มากขึ้นจึงเป็นอัลกอริธึมเอฟเฟกต์ที่ทำงานกับอินพุตย่อยขนาดเล็ก

รัสเซล Impagliazzo

— รัสเซล Impagliazzo
แหล่งที่มา

14

ตกลงดังนั้นเป้าหมายของคุณคือแสดงให้เห็นว่าเบสบน $CLASS_1[g(f(n))] = CLASS_2[h(f(n))]$ $CLASS_1[g(n)] = CLASS_2[h(n)]$ (เราไม่ได้ระบุว่าคลาสนี้คืออะไรเราเพิ่งรู้ว่าพวกมันถูก parametrized ด้วยขนาดอินพุต) เรามีภาษาตัดสินใจโดยขั้นตอนวิธีการบาง ตอนนี้เราสร้างภาษาด้วยการเติมแต่ละคำในดังนั้นตอนนี้ความยาวก็คือและเราเห็นว่ามันมีอยู่ใน $L \in CLASS_1[g(f(n))]$ $A$ $L'$ $x \in L$ $f(n)$ (อัลกอริทึมใหม่ของเราพื้นเพียงละเว้น zeroes เพิ่มและวิ่งในความเป็นจริงการป้อนข้อมูลสั้น) $CLASS_1[g(n)]$ $A'$ $A$

สิ่งที่เราทำคือ: เราใช้ภาษาจากคลาสที่ใหญ่กว่าและเราแพ็ดมันเพื่อให้สามารถแก้ไขได้โดยอัลกอริทึมที่อ่อนแอกว่าซึ่งทำให้เรามีการบรรจุในคลาสที่เล็กกว่า - อัลกอริทึมที่อ่อนแอสามารถทำได้เพราะมีจำนวนเท่ากัน 'งานจริง' ที่ต้องทำเหมือน แต่ก่อนมีข้อ จำกัด ของมัน (เป็นฟังก์ชั่นของความยาวอินพุต) ยกขึ้นโดยการขยายอินพุต

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าและด้วยเหตุนี้ (ตัดสินใจโดยอัลกอริทึม ) เราอยากที่จะได้รับจากที่นี่ไป $L' \in CLASS_1[g(n)]$ $L' \in CLASS_2[h(n)]$ $B'$ $L \in CLASS_2[h(f(n))]$ แต่ที่ตรงไปตรงมา. - อัลกอริทึมการตัดสินใจเพียงแค่ใส่อินพุตตามนั้นและรันบนอินพุตเสริม $B$ $L$ $B'$

ขั้นตอนนี้อาจสรุปได้ดังต่อไปนี้: เราต้องการตัดสินใจในคลาสที่ใหญ่กว่าและมีประโยชน์มากกว่า $L$ การใช้ทรัพยากรของเราที่เราเสริมแผ่นป้อนข้อมูลและเรียกใช้อัลกอริทึมการตัดสินใจภาษาเบาะ

แน่นอนว่ามีรายละเอียดทางเทคนิคบางส่วนที่เกี่ยวข้อง (เราต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าการเติมเต็มสามารถนำไปใช้ในชั้นเรียนที่เราพิจารณาได้) แต่ฉันไม่สนใจพวกเขาเพื่อให้สัญชาตญาณทั่วไป

— Karolina Sołtys
แหล่งที่มา

13

ฉันเห็นข้อโต้แย้งของช่องว่างภายในในแง่ของความกะทัดรัดของการเป็นตัวแทน นึกถึงนักแปลสองคนทัวริงเครื่อง: ระเบิดอินสแตนซ์และ $B$ $C$ บีบอัดอีกครั้ง

อาร์กิวเมนต์ padding ทำงานร่วมกับโดยเขียนกับเวอร์ชันที่กำหนดได้ของ TM สำหรับภาษาในคลาส nondeterministic ที่ต่ำกว่า ผลลัพธ์ของรวมกันเป็นภาษาที่ไม่ได้ถูกแทนอย่างกระชับดังนั้นสิ่งนี้จึงกลายเป็น "ง่ายขึ้น" $B$ $B$ $B$

มันเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้ความคิดในทางอื่นโดยใช้เพราะมีเพียงบางภาษาในคลาสที่ง่ายที่สร้างขึ้นโดยการระเบิดภาษาในชั้นเรียนยาก $C$

— András Salamon
แหล่งที่มา

5

เพื่อให้ง่ายยิ่งขึ้นลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเป็นนามธรรมมากขึ้น!

เรามีการแปลงสองแบบหนึ่งอันสำหรับอินพุตและอีกอันสำหรับปัญหาฉันจะแทนทั้งสองด้วยมันจะชัดเจนจากบริบทเมื่อมันเป็นอันแรกและเมื่อมันเป็นอันที่สอง $pad$

การแปลงทั้งสองนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

I. ปัญหาสำหรับปัจจัยการผลิตทุก : $A\subseteq \Sigma^{ * }$ $x\in\Sigma^{ * }$

iff $pad(x) \in pad(A)$ $x \in A$ ,

ครั้งที่สอง ถ้าอยู่ใน ( ) ดังนั้นเป็น ( ) $A$ $EXP$ $NEXP$ $pad(A)$ $P$ $NP$

III การเปลี่ยนแปลงปัจจัยการผลิตอยู่ในระดับความซับซ้อน , $EXP$

เป็นที่ชัดเจนว่าการแปลงสำหรับการเติมมีคุณสมบัติเหล่านี้

Now, the reason that we don't know how to do the same thing in the reverse direction is that we don't have transformations like padding in the reverse direction (when we exchange $EXP$ with $P$ and $NEXP$ with $NP$ ). So the question is why?

I don't have a formal argument why there are not such transformations at the moment, but intuitively what András Salamon said is correct. It is easy to increase the size of inputs, but it is not clear how they can be compressed?

$P=NP$ $NEXP=NTime(2^{n^{O(1)}})$ problem. We are given an input $x$ of length $n$ , we think of it as an input of length $N=2^{n^{O(1)}}$ :

$NEXP(n) = NTime(2^{n^{O(1)}}) = NTime(N) \subseteq NP(N) \subseteq P(N) = Time(N^{O(1)}) = Time(2^{n^{O(1)}}) = EXP(n)$

— Kaveh
แหล่งที่มา

1

the latter argument, which I see as a kind of "transformation of variables" argument has occurred to me. However, i don't see why you can't just "think" of it having an input of say,

N = l o g (n)

$N=log(n)$ thus translating it down. I don't think that quite works, though the two other approaches, to think of it in terms of giving more resources to a NP algorithm, and in terms of compression vs padding makes sense.

— gabgoh

1

A third way to think of it, actually, is to look at the converse. I've not followed through that approach to the bitter end but if any great insight comes I'll post it as a response to myself.

— gabgoh

1

@gabgoh: It is more delicate than just change of variables. I am thinking of the input as being of length

N = 2^{n^{O (1)}}

$N=2^{n^{O(1)}}$ , this works because

n \leq N

$n\leq N$ , I just imagine that there are enough blanks at the end of the original input to make the length equal to

N

$N$ , but how can you think of an input of length

n

$n$ as being of length

N = \log (n)

$N=\log(n)$ ? Don't forget that what is inside the parenthesis is the length of the input! i.e. that is the part of the input that the output of the function is going to depend on.

— Kaveh

1

[continued] Considering this might also help: assume that the input is in unary and of length

n

$n$ , then we can compress it to

N = ⌈ \log (n) ⌉

$N = \lceil \log(n) \rceil$ bits and actually that would work! A problem which is

P

$P$ (

N P

$NP$ ) with unary encoding will be in

E X P

$EXP$ (

N E X P

$NEXP$ ) with binary encoding.

— Kaveh

1

I guess my trouble is with the phrase "thinking of", I can't wrap my head around what it means to think of a smaller input as a larger input, and what that does, in reality. I do realize that you can't think of

N = l o g (n)

$N=log(n)$ , for the reason you state, which is a restatement of the padding argument, not a clean analogy I suppose. After all, when we change variables we are always thinking of variables in terms of other variables, but unlike real variables it's kinda "incompressible". Not to say it is a bad answer, but it doesn't help me much personally.

— gabgoh