ความแข็งกระโดดในความซับซ้อนของการคำนวณไหม?

ปัญหาแบนด์วิดท์ขั้นต่ำคือการหาลำดับของโหนดกราฟบนบรรทัดจำนวนเต็มที่ลดระยะห่างที่ใหญ่ที่สุดระหว่างสองโหนดที่อยู่ติดกัน $k$ -caterpillar เป็นต้นไม้ที่เกิดขึ้นจากเส้นทางหลักโดยการปลูกเส้นทางขอบเคลื่อนของความยาวที่มากที่สุด$k$จากโหนด ( $k$เรียกว่าความยาวของผม) ปัญหาแบนด์วิดท์ขั้นต่ำคือ$P$สำหรับหนอนผีเสื้อ 2 ตัว แต่เป็น$NP$สมบูรณ์สำหรับหนอนผีเสื้อ 3 ตัว

นี่คือความจริงที่น่าสนใจมากปัญหาแบนด์วิดท์ขั้นต่ำสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามสำหรับหนอนผีเสื้อ 1 ตัว (ความยาวขนมากที่สุด) แต่มันคือ$NP$สมบูรณ์สำหรับวงจร 1 หนอนผีเสื้อ (ในวงจรหนอนขอบหนึ่งถูกเพิ่มเพื่อเชื่อมต่อ จุดสิ้นสุดของเส้นทางหลัก) ดังนั้นการเพิ่มของหนึ่งขอบทำให้ปัญหา$NP$สมบูรณ์

อะไรคือตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดของปัญหาการกระด้างของความแข็งซึ่งการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ ของอินสแตนซ์อินพุททำให้เกิดการสลับซับซ้อนจากการแก้ปัญหาแบบพหุนามเวลาถึงความสมบูรณ์แบบของพี$NP$

หนึ่งในตัวอย่างที่น่าสนใจยิ่งขึ้นของการกระโดดความแข็งสามารถสังเกตได้ในปัญหาต่อไปนี้:

พิจารณาฟุตบอลชิงแชมป์ลีกกับทีม: ปัญหาของการตัดสินใจไม่ว่าจะเป็นทีมที่ได้รับสามารถ (ยังคง) ชนะในลีกอยู่ในPถ้าในการแข่งขันทีมที่ชนะจะได้รับรางวัล 2 จุดที่สูญเสีย 0 คนและแต่ละทีมจะได้รับรางวัลที่ 1 ชี้ในการแข่งขันวาด แต่ถ้าเราเปลี่ยนกฎเพื่อให้ทีมที่ชนะได้ 3 คะแนนปัญหาเดียวกันจะกลายเป็นN P -hard$n$$P$$NP$

ผลลัพธ์สามารถวางนัยสำหรับกฎ -point สำหรับทุก ๆk > 2และแม้แต่รอบที่เหลือเพียงสามรอบ$(0, 1, k)$$k > 2$

ที่มา:“ ทฤษฎีความซับซ้อน” โดย Ingo Wegener ( http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1076319 )

นี่เป็นการตอบคำถามที่ถามในชื่อคำถาม แต่ไม่ใช่คำถามที่ถามในคำถาม

ตัวอย่างที่น่าตกใจของการกระโดดเข้า - แข็ง - เกิดขึ้นจากคำถามที่ว่า "สูตรภาพถ่ายที่ได้รับมอบหมายมีความพึงพอใจจำนวนเท่าใดโมดูโล ?" นี่เป็นความคิดที่แพร่หลายว่า # P-hard และเป็นค่า "ที่สุด" ของnแต่ถ้าnเป็นจำนวนเต็ม Mersenne (เช่นn = 7เนื่องจาก 7 เป็นรูปแบบ2 3 - 1 ) ดังนั้นคำตอบ สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม$n$$n$$n$$n=7$$2^3-1$

นี่เป็นครั้งแรกที่ Valiant ค้นพบในกระดาษ Holographic Algorithms ที่ก้าวล้ำของเขา

INDEPENDENT ตลาดหลักทรัพย์เป็น NP-ที่สมบูรณ์แบบสำหรับ(ข้ามสามเหลี่ยม) กราฟฟรีแต่สามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้นสำหรับ(เก้าอี้สามเหลี่ยม) กราฟฟรี (กราฟที่ไม่มี X คือกราฟที่ไม่มีกราฟจาก X เป็นกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำ)

เก้าอี้: สามเหลี่ยม: ข้าม:

ขอให้สังเกตว่าไม้กางเขนได้มาจากเก้าอี้โดยการเพิ่มขอบเดียว

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันจะไปพร้อมกับลักษณะของคุณที่เพิ่มขอบเดียวให้กับการป้อนข้อมูลทำให้ปัญหา NP- เสร็จสมบูรณ์เนื่องจากมีจริง ๆ แล้วอนุญาตให้เพิ่มขอบลงในอินสแตนซ์ของอินพุทจำนวนมากทุกอนันต์

นี่คือตัวอย่างของปัญหาที่แสดงให้เห็นถึงการแบ่งขั้วที่คมชัดตามแนวที่คุณแนะนำ

ปัญหาของการพิจารณาว่ามีกราฟโฮโมมอร์ฟิซึมจากกราฟอินพุต G ไปยังกราฟเท็มเพลตคงที่ H อยู่ใน P หรือไม่เมื่อ H เป็นกราฟที่มีลูปแบบตัวเองหรือเป็นกราฟแบบลูปที่ไม่มีสองฝ่าย เมื่อ H ไม่ได้เป็น bipartite (สามารถทำได้โดยการเพิ่ม edge เดียว) จากนั้นปัญหาจะกลายเป็น NP-complete

• P. Hell และ J. Nešetřil, ความซับซ้อนของ H-colouring , J. หวี Th B 48 92–110, 1990. ดอย: 10.1016 / 0095-8956 (90) 90132-J

กุญแจสำคัญในที่นี้คือการทำสี 2 สีใน P (นี่สอดคล้องกับโฮโมมอร์ฟิซึมกับ , เส้นทางบน 3 จุดยอด) ในขณะที่ 3-colouring คือ NP-complete (นี่สอดคล้องกับโฮโมมอร์ฟิซึมถึงK 3สามเหลี่ยม)$P_3$$K_3$

นี่เป็นอีกตัวอย่างที่น่าสนใจซึ่งเกิดขึ้นจากการตรวจจับกราฟก์ย่อย:

thetaเป็นกราฟที่มีจุดที่ไม่ได้อยู่ติดกัน$x,y$สามเส้นทาง$P_1, P_2, P_3$จาก$x$ไป$y$ที่สองเส้นทางที่เหนี่ยวนำให้เกิดวงจรที่มีความยาวมากขึ้นกว่า 3

ปิรามิดเป็นกราฟที่มีจุดสุดยอด$x$ , สามเหลี่ยม$y_1,y_2,y_3$และเส้นทาง$P_i$จาก$x$ไป$y_i$สำหรับแต่ละ$i=1,2,3$ , มีเส้นทางมากที่สุดคนหนึ่งที่มีความยาวหนึ่ง

สุดท้ายปริซึมเป็นกราฟที่มีสองรูปสามเหลี่ยม$x_1,x_2,x_3$และ$y_1,y_2,y_3$และเส้นทาง$P_i$จาก$x_i$จะ$y_i$สำหรับแต่ละ$i=1,2,3$ 3

มันง่ายที่จะอธิบายในรูป:

$O(n^{11})$$O(n^9)$

เราสามารถเห็น " การตรวจจับกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำ " โดย Leveque, Lin, Maffray และ Trotignon สำหรับการอ้างอิง เหตุผลที่ทีต้าและปิรามิดนั้นค่อนข้างง่ายมีความเกี่ยวข้องกับปัญหา "สามในต้นไม้" ที่อธิบายไว้ใน " ปัญหาสามในต้นไม้ " โดย Chudnovsky และ Seymour

$2$$3$$2-SAT$$3-SAT$$2-COL$$3-COL$

ฉันคิดว่ามันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงเรื่องต่าง ๆ เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการแจกอินสแตนซ์อินพุตสองครั้งที่มีปัญหาต่างกัน แต่มันน่าสนใจกว่าถ้ามีความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงหรือระหว่างอินสแตนซ์ในการแจกแจง

เราสามารถพิจารณาตระกูลการแจกแจงแบบมีพารามิเตอร์แล้วพูดคุยเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเราเปลี่ยนพารามิเตอร์ คุณอาจสนใจในสิ่งที่เรียกว่าปรากฏการณ์ธรณีประตู "ซึ่งระบบได้รับการเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพอย่างรวดเร็วซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในพารามิเตอร์ ... " ดูการสำรวจนี้: Ehud Friedgut , " Hunting for Thresholds Sharp ", อัลกอริทึมโครงสร้างแบบสุ่ม 26, 2005

$\Delta$

การอนุมานประเภทของคำแลมบ์ดาคือ DEXPTIME สมบูรณ์ด้วยprenexและrank-2 polymorphic type systems (เมื่อการจำแนกประเภทซ้อนกันที่ลึกที่สุดในระดับหนึ่ง) แต่กลับไม่สามารถตัดสินใจได้สำหรับอันดับ 3 และสูงกว่า แปลกที่ระดับการซ้อนพิเศษหนึ่งระดับสามารถแสดงปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้

การค้นหาสถานะกราวด์ของแบบจำลองระนาบ Ising ที่มี 0 สนามแม่เหล็กอยู่ใน P โดยที่สนามแม่เหล็กที่ไม่เป็นศูนย์จะเป็น NP-hard ฟังก์ชันการแบ่งส่วนของระนาบ Ising model ที่มี 0 สนามแม่เหล็กอยู่ใน P โดยที่สนามแม่เหล็กที่ไม่เป็นศูนย์จะเป็น NP-hard

นี่เป็นปัญหาที่ดีที่มีความซับซ้อนที่น่าสนใจอย่างเช่นแบนด์วิดท์ขั้นต่ำที่คุณระบุไว้ในคำถามของคุณ

$G$$T$$G$$uv\in E(G)$$u$$v$$T$$e \in E(T)$$\mathrm{cng}_{G,T}(e)$$e$$G$$T$$\mathrm{cng}_G(T)$$T$$G$$\mathrm{stc}(G)$$G$$k$

การกระโดดข้ามความซับซ้อนต่อไปนี้แสดงใน: Bodlaender et al., ความซับซ้อนแบบ Parameterized ของปัญหาความแออัดของต้นไม้ Spanning , อัลกอริทึม 64 (2012) 85–111 :

$k$$d$$d$$\mathsf{NP}$$k\ge 8$

ฉันสงสัยว่าทำไมไม่มีใครพูดถึงเรื่องนี้:

Horn-Sat เทียบกับ K-Sat

ฉันเดาว่าทุกคนรู้ว่ามันคืออะไร ถ้าไม่:

Horn-Sat เป็นการค้นหาว่าชุด Horn clauses นั้นเป็นที่พอใจหรือไม่

K-Sat คือการค้นหาว่าชุดของประโยคนั้นน่าพอใจหรือไม่ (แต่ละประโยคสามารถมีตัวอักษรบวกมากกว่า 1 ตัว)

ดังนั้นการอนุญาตให้ใช้ตัวอักษรบวกมากกว่าหนึ่งตัวในแต่ละประโยคทำให้เกิดปัญหาจาก P-complete NP-complete

การระบายสีกราฟ

ดังที่ได้กล่าวไว้ในคำตอบอื่น 2-COL สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามขณะที่ 3-COL สมบูรณ์แบบ NP แต่เมื่อเพิ่มจำนวนสีหลังจากจุด (ไม่ทราบ?) ปัญหาจะง่ายขึ้น!

ตัวอย่างเช่นหากเรามีจุดยอด N และสี N ปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยการกำหนดสีที่แตกต่างให้กับแต่ละจุดยอด

ในหลอดเลือดดำที่คล้ายกัน: ตัวกำหนด vs ถาวร

ฉันเพิ่งอ่านกระดาษที่เกี่ยวข้องกับhypergraph แบ่งพาร์ทิชัน ปัญหาถูกกำหนดเช่นนี้อ้างถึง:

$k$$l$$1 \leq l < k$$P^l_k$$\mathcal{H} = (V, \mathcal{E})$$t_1, \dots, t_k$$|V| = n = \sum^k_{i=1} t_i$$|\mathcal{E}| = m$$V$$k$$t_1, \dots, t_k$$\mathcal{E}$$l$

โดยทั่วไปมีการพิสูจน์ว่า:

• $P^1_k$$n,m$$k \geq 2$
• $P^l_k$$2 \leq l < k$

หากนี่ไม่ใช่ "กระโดด" เพียงพออ่านต่อ สำหรับไฮเปอร์กราฟกราฟที่มีไฮเปอร์เดชแบบแยกส่วนมันจะแสดง:

• $P^1_k$$k \geq 2$
• $P^l_k$$m$$2 \leq l < k$

Laurent Lyaudet 2010 NP- ฮาร์ดและตัวแปรเชิงเส้นของการแบ่งไฮเปอร์กราฟ theor คอมพิวเต วิทย์ 411, 1 (มกราคม 2010), 10-21 http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2009.08.035

การข้ามความซับซ้อนที่น่าสนใจเป็นที่ทราบกันดีสำหรับปัญหาการจัดตารางงาน

$n$$M$$m$$j$$\mu_j$$O_{1j},O_{2j},\dots,O_{\mu_jj}$$O_{ij}$$p_{ij}$$m_{ij}\in M$$C_j$$j$

$C_{max}=max_jC_j$$\sum C_j$

$J||\gamma$$\gamma$

$J2|n=k|F$$J|n=2|F$$J2$ $(n=k)$$2$ $(k)$$F$

$J3|n=3|C_{max}$$J3|n=3|\sum C$

$J2||C_{max}$$J2||\sum C$

ดังนั้นที่นี่เราจะเห็นว่ามีการกระโดดเมื่อเราไปจากสองงาน / เครื่องจักรถึงสาม

$\ln n$$(1-o(1))\ln n$

$2^n$$2^n$$(a+b)^n=\sum_{i\in{0..n}}{{n}\choose{i}}a^ib^{n-i}$$p_b(a)$$a=b=1$$2^n=p_1(1)$$DTIME(2^n)$$(k<n)$$P=NP=DTIME(2^n)$$P=NP$