เทคนิคในการแสดงความไม่สามารถสืบได้ในระบบลอจิคัลและระบบพิสูจน์อย่างเป็นทางการอื่น ๆ

ในระบบพิสูจน์ตรรกะแบบคลาสสิกแคลคูลัสถ้าใครอยากจะแสดงให้เห็นว่าสูตรไม่ได้เป็นหนึ่งก็แสดงให้เห็นว่าสามารถทำได้ (แม้ว่าเทคนิคอื่น ๆ เป็นไปได้แน่นอน) Non-derivability ตามมาจากความสมบูรณ์และความสมบูรณ์ของระบบพิสูจน์ $\psi$ $\neg\psi$

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ตรรกะดั้งเดิมและระบบพิสูจน์ที่แปลกใหม่มากขึ้น (เช่นกฎพื้นฐานความหมายในการปฏิบัติงาน) ไม่มีเทคนิคโดยตรงดังกล่าวอยู่ นี่อาจเป็นเพราะไม่ใช่การเปลี่ยนแปลงของไม่ได้หมายความว่านั้นเป็นไปได้เช่นในกรณีที่มีลอจิสติกส์สัญชาตญาณหรือเพียงแค่ไม่มีความคิดที่จะปฏิเสธ $\psi$ $\neg\psi$

คำถามของฉันได้รับระบบพิสูจน์โดยที่ , (และความหมายของมัน) เทคนิคใดที่มีอยู่ การแสดงความไม่เป็นไปได้ $(\mathcal{L},\vdash)$ $\vdash\;\subseteq\mathcal{L}^*\times\mathcal{L}$

ระบบพิสูจน์ที่น่าสนใจอาจรวมถึงความหมายในการปฏิบัติการของภาษาการเขียนโปรแกรม Hoare logics, ระบบพิมพ์, ตรรกะที่ไม่ใช่แบบดั้งเดิมหรือกฎการอนุมานสำหรับสิ่งที่มีอยู่กับคุณ

lo.logic

— Dave Clarke
แหล่งที่มา

เดฟฉันคิดว่ามีการพิมพ์ผิดในคำถามเพื่อแสดงให้เห็นว่าไม่สามารถทำได้เราไม่แสดงว่าเป็นที่ยอมรับได้เราแค่แสดงให้เห็นว่ามันสอดคล้องกันและนี่เป็นเพียงความสอดคล้องของคลาสสิกเท่านั้น ตรรกะ. หากตรรกะเป็นตรรกะคลาสสิกอันดับแรกมีประโยคที่เราไม่สามารถพิสูจน์หรือปฏิเสธได้ (เว้นแต่ว่าเรากำลังพูดถึงทฤษฎีที่สมบูรณ์ ) หรือฉันกำลังอ่านคำถามของคุณผิด?

φ

$\varphi$

\neg φ

$\lnot \varphi$

— Kaveh

ฉันเปลี่ยนมันเป็นตรรกะเชิงประพจน์แบบดั้งเดิม คำถามที่ถามถึงเทคนิคใด ๆ นอกเหนือจากการพิสูจน์การปฏิเสธระบบที่เป็นทางการจำนวนมาก (คอลเลกชันของสัจพจน์และกฎการอนุมาน) ไม่มีการปฏิเสธหรือในความเป็นจริงอาจไม่ได้ดูเหมือน "ตรรกะ"

— Dave Clarke

ขอบคุณสำหรับความกระจ่างใจของฉันไปที่ตรรกะลำดับแรกโดยค่าเริ่มต้นเมื่อฉันอ่านตรรกะคลาสสิก :)

— Kaveh

IME รายการต่อไปนี้ง่ายที่สุดที่จะยากที่สุด (แน่นอนเป็นอย่างน้อยก็มีประสิทธิภาพมากที่สุด):

หากระบบของคุณมีเสียงดีและคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าว่าคุณมีผลลัพธ์ที่ไม่น่าเชื่อถือ $\lnot \phi$
หากคุณมีความหมายของทฤษฎีขัดแตะสำหรับตรรกะของคุณสัมพันธ์กับกฎการพิสูจน์ทั้งหมดของคุณที่ถูกต้องถ้าความหมายของข้อเสนอไม่ใช่องค์ประกอบสูงสุดของโครงข่าย
$\phi$
บางครั้งคุณสามารถหนีไปกับการแปลเป็นตรรกะอื่นและแสดงให้เห็นว่าผลประกอบการของที่นี่หมายถึงผลการไม่แปรปรวนที่รู้จักกันที่นั่น
หากคุณมีการหักตามธรรมชาติหรือแคลคูลัสตามลำดับตรวจสอบเพื่อดูว่ามีผลการตัดที่รู้จักกันหรือไม่หรือคุณสามารถพิสูจน์ได้ หากมีอยู่คุณสามารถใช้ประโยชน์คุณสมบัติย่อยของฟอร์มย่อยเพื่อให้ข้อโต้แย้งแบบอุปนัยง่าย ๆ (เช่นความสอดคล้องกันผ่านการกำจัดการตัดเป็นเพียงคำแถลงว่าไม่มีการพิสูจน์ที่ปราศจากการตัดของเท็จและดังนั้นหากการตัดทั้งหมดสามารถกำจัดได้ก็จะไม่มีความไม่สอดคล้องกัน)
หากไม่มีสิ่งใดทำงานได้คุณจะสามารถแสดงผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน / ไม่น่าเชื่อถือผ่านอาร์กิวเมนต์ความสัมพันธ์เชิงตรรกะ นี่คือปืนขนาดใหญ่ที่ทำงานได้เมื่อไม่มีสิ่งอื่นทำ - ในแง่เซตเชิงทฤษฎีมันจะใช้ประโยชน์จากสัจพจน์ของการแทนที่ซึ่งจะช่วยให้คุณแสดงชุดขนาดใหญ่ที่ได้รับคำสั่งอย่างดี (นี่คือเหตุผลที่คุณสามารถใช้มันเพื่อพิสูจน์สิ่งต่าง ๆ เช่นการทำให้ปกติของ System F. )

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

F

$F$

P A^{2}

$PA^2$

F^{2}

$F^2$

ขอบคุณฉันเห็นสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "สิ่งต่าง ๆ เช่นการทำให้ปกติของระบบ F" :)

— Kaveh

@Kaveh, @Neel: การฟื้นฟูระบบที่แข็งแกร่งของ F ไม่ใช่ทฤษฎีบทของ PA2 แต่มันเทียบเท่ากับ PA มากกว่ากับความสอดคล้องของ PA2 แต่การฟื้นฟูที่แข็งแกร่งสำหรับเงื่อนไขทั้งหมดของการจัดอันดับn (ยศเป็นตัวชี้วัดของความลึกของปริมาณ maxiumum ประเภท nsted) ที่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ ACA- n ผมชอบการพูดคุยของการสร้างแบบจำลองมัดในที่ลับ ...

— ชาร์ลส์สจ๊วต

@Charles: ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับแนวคิดนี้จากเอกสารบางส่วนของ Jean Gallier ซึ่งอ้างถึงอย่างน่าประหลาดใจ มุมมองแฟนซีนี้ช่วยฉันเข้าใจบัญชีที่เรียบง่ายของ Mitchell & Scedrov

— Neel Krishnaswami