หุ่นยนต์ออโตเมติกที่โดดเด่นรุ่นใดมีการบรรจุแบบพหุนาม

ฉันพยายามที่จะแก้ปัญหาเฉพาะและฉันคิดว่าฉันอาจจะสามารถแก้ปัญหาได้โดยใช้ทฤษฎีออโตมาตะ ฉันสงสัยว่าออโตมาต้ารุ่นใดที่มีการควบคุมได้ในเวลาพหุนาม นั่นคือถ้าคุณมีเครื่องจักร$M_1, M_2$คุณสามารถทดสอบว่า$L(M_1) \subseteq L(M_2)$อย่างมีประสิทธิภาพ

สิ่งที่ชัดเจนที่นึกถึงคือ DFAs และเครื่องนับถอยหลังที่มีขอบเขตย้อนกลับซึ่งจำนวนของเคาน์เตอร์ได้รับการแก้ไข (ดูบทความนี้ )

มีคลาสอื่น ๆ ที่น่าสนใจที่สามารถเพิ่มลงในรายการนี้ได้อย่างไร

ออโตมาตาที่ทรงพลังยิ่งดี ตัวอย่างเช่น DFA นั้นไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาของฉันและเครื่องนับไม่สามารถทำได้ด้วยจำนวนที่แน่นอน (โดยปกติถ้าคุณมีพลังมากเกินไปการกักกันก็อาจเป็นไปไม่ได้เช่นใน NFA หรือไม่แน่นอนสำหรับ CFG)

อย่างเห็นได้ชัดออขยายลง (หรือออโตคำซ้อนกันถ้าคุณต้องการทำงานกับคำซ้อนกันแทนคำ จำกัด ) ขยายการแสดงพลังของออโต จำกัด กำหนด: ระดับภาษาปกติที่มีอยู่อย่างเคร่งครัดภายในชั้นเรียนภาษาแบบขยายลงอย่างเห็นได้ชัด สำหรับการกดออโตเมต้าแบบกดลงอย่างเห็นได้ชัดปัญหาการรวมภาษาสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้จาก Alur และ Madhusudan โดยเฉพาะอย่างยิ่งบทที่ 6

โดยวิธีการที่ตัวแปร nondeterministic ของออโตมาตา pushdown อย่างเห็นได้ชัดคือรวบรัดมากกว่าตัวแปรที่กำหนดขึ้น แต่มีปัญหาการรวมภาษาคือ EXPTIME ที่สมบูรณ์และทำให้ยาก

Alur, R.; Madhusudan, P. (2009) "การเพิ่มโครงสร้างการซ้อนในคำ ". วารสาร ACM 56 (3): 1–43

หากคำที่ไม่สิ้นสุดอยู่ในขอบเขตของคุณคุณสามารถวางหลักเกณฑ์ DFA (ที่มีเงื่อนไขพาริตี) ให้กับ Good-for-Games Automata (GFG) ที่เรียกว่ายังคงมีการบรรจุพหุนาม

NFA คือ GFG หากมีกลยุทธ์ที่ให้คำนำหน้าอ่านจนถึงปัจจุบันและสถานะและตัวอักษรเลือกการเปลี่ยนแปลงเพื่อไปยังสถานะถัดไป กลยุทธ์σต้องทำให้แน่ใจว่าสำหรับทุก ๆwในภาษาของหุ่นยนต์การรันจะให้ผลลัพธ์โดยσ on $\sigma:A^*\times Q\times A\to \Delta$$\sigma$$w$$\sigma$$w$จะยอมรับ

การบรรจุสำหรับออโตมาตะเหล่านี้อยู่ในPสำหรับเงื่อนไขพาริตีคงที่ใด ๆ (โดยการลดเกมพาริตี) และในQuasi-Pหากดัชนีพาริตี้เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต สามารถมีขนาดเล็กกว่า DFA แบบเท่ากันใด ๆ [3]

อย่างไรก็ตามสำหรับคำที่ จำกัด พวกเขาเป็นเพียง DFAs ที่มีการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมที่ไร้ประโยชน์ดังนั้นพวกเขาจึงไม่ได้นำสิ่งใหม่มาใช้

นี่คือบางส่วนอ้างอิง:

[1] การแก้ปัญหาเกมโดยไม่ต้องคำนึงถึง Henzinger, Piterman ใน CSL 2006

[2] Nondeterminism ต่อหน้าอนาคตที่หลากหลายหรือไม่เป็นที่รู้จัก Boker, Kuperberg, Kupferman, Skrzypczak ใน ICALP 2013

[3] การกำหนดออโตมาตะที่ดีสำหรับเกม , Kuperberg, Skrzypczak ใน ICALP 2015

ออโตเมติก XOR ที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้ (NXA) ตรงกับคำถามของคุณ

NXA เป็นหลัก NFA แต่คำW ∈ Σ *มีการกล่าวถึงอยู่ในL ( M $M$$w\in \Sigma^*$$L(M)$ถ้ามันเป็นที่ยอมรับโดยเป็นเลขคี่ของเส้นทาง (Xor เกี่ยวข้อง) แทนการได้รับการยอมรับถ้ามีเส้นทางที่ยอมรับมัน (หรือความสัมพันธ์)

NXAs ใช้สำหรับการสร้างการแทนค่าเล็กน้อยของภาษาปกติเช่นเดียวกับอัลกอริธึมบางอัน

$O(|Q|^3$$L(M_1)\subseteq L(M_2)$

$M_1$$M_2$$L(M_2)$$L(M_1)$

$M_2$

ให้ฉันวาดหลักฐานของผลลัพธ์นี้

$M_1$$M_2$$M_2$$L(M_1)\subseteq L(M_2)$

พิสูจน์
ขั้นตอนที่ 1:สิ่งนี้ช่วยลดความเป็นสากลของออโตมาตาที่ไม่คลุมเครือ

$M_1$$M_1$

$L(M_1)\subseteq L(M_2)$$L(M_2)\cup L(M_1)^c$

ขั้นตอนที่ 2:มันเกิดขึ้นได้ว่าออโตมาตาที่ชัดเจนเป็น NXA ออโตมาตะ (ออโตมาตะ XOR ที่ไม่ได้กำหนดไว้ล่วงหน้าในโพสต์ก่อนหน้าโดย RB) โดยที่ไม่มีการประเมินผลที่จะเปลี่ยนแปลง (อันที่จริงแล้ว วิ่งตั้งแต่มีมากที่สุดหนึ่งวิ่ง) สำหรับออโตมาตะเหล่านี้ความเป็นสากลเป็นที่รู้จักกันในชื่อพหุนาม (QED)

$Z/2Z$ ZSchützenbergerใน [S61] ได้เปิดตัวออโตมาตะดังกล่าว เขาพิสูจน์ในบทความนี้ว่าความเท่าเทียมกัน (และความเป็นสากล) จึงสามารถตัดสินใจได้ (โดยใช้การย่อให้เล็กสุด) สำหรับฟิลด์ที่มีประสิทธิภาพทั้งหมด [S61] ความซับซ้อนของพหุนามหลายปีหลังจากนั้น

[SH85] Richard E. Stearns และ Harry B. Hunt III เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันและปัญหาการกักกันสำหรับการแสดงออกปกติไม่ชัดเจนไวยากรณ์ปกติและออโตไฟไนต์ จำกัด SIAM J. Comput., 14 (3): 598–611, 1985

[S61] Schützenberger, MP: ตามคำจำกัดความของตระกูลออโตมาตะ ข้อมูลและการควบคุม 4, 245–270 (1961)

LL (k) ไวยากรณ์ปกติ (เช่นไวยากรณ์ที่มีทั้งLL (k)และปกติ ) สามารถแปลงเป็นพหุนามให้เป็นขอบเขต จำกัด ออโตมาตา จำกัด ได้ดังนั้นการ จำกัด ภาษาและความเท่าเทียมสามารถแก้ไขได้ใน PTIME ดูทฤษฎีบท 4.2 ในบทความต่อไปนี้ (และผลลัพธ์หลังจากนั้นสำหรับการประยุกต์ใช้การสังเกตนี้กับโครงร่างของโปรแกรม)

Harry B. Hunt III: การสังเกตเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหาการแสดงออกปกติ , วารสารคอมพิวเตอร์และวิทยาศาสตร์ระบบ 19, 222-236 (1979)