ปัญหาเซตที่มีอำนาจควบคุมนั้นถูก จำกัด อยู่ที่กราฟ bipartite ของระนาบการศึกษาระดับปริญญาสูงสุดที่ 3 สมบูรณ์หรือไม่?

ไม่มีใครทราบเกี่ยวกับผลลัพธ์ความสมบูรณ์แบบ NP สำหรับปัญหา DOMINATING SET ในกราฟซึ่ง จำกัด อยู่ที่ระดับของกราฟ bartartite ที่มีระดับสูงสุด 3

ฉันรู้ว่ามันเป็น NP-complete สำหรับคลาสของระนาบกราฟที่ระดับสูงสุด 3 (ดูที่หนังสือ Garey และ Johnson) เช่นเดียวกับกราฟ bipartite ที่ระดับสูงสุด 3 (ดู M. Chlebíkและ J. Chlebíková, "การประมาณค่าความแข็งของ มีอำนาจเหนือปัญหาชุดในกราฟองศาที่ล้อมรอบ ") แต่ไม่สามารถหาการรวมกันของทั้งสองในวรรณกรรม

จะเป็นอย่างไรถ้าคุณทำสิ่งต่อไปนี้: ให้กราฟ , สร้างกราฟอื่นG ′ = ( V ∪ U , E ′ )โดยแบ่งย่อยแต่ละส่วนของGใน 4 ส่วน; ที่นี่Uคือชุดของโหนดใหม่ที่เรานำเสนอและ| U | = 3 | E | .$G = (V,E)$$G' = (V \cup U, E')$$G$$U$$|U| = 3|E|$

กราฟเป็นสองส่วน นอกจากนี้ถ้าGเป็นภาพถ่ายและมีจำนวนสูงสุด ระดับ 3 จากนั้นG ′ก็เป็นภาพถ่ายและมีขนาดสูงสุด ระดับ 3$G'$$G$$G'$

Let จะเป็น (ขั้นต่ำ) มีอำนาจเหนือการตั้งค่าสำหรับG ' พิจารณาขอบ( x , Y ) ∈ Eที่ถูกแบ่งออกไปในรูปแบบเส้นทาง( x , , B , C , Y )ในG ' ตอนนี้อย่างชัดเจนอย่างน้อยหนึ่ง, ข, คอยู่ในD ' นอกจากนี้หากเรามีมากกว่าหนึ่ง, B , CในD ' , เราสามารถปรับเปลี่ยน$D'$$G'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c$$D'$$a,b,c$$D'$เพื่อให้ยังคงเป็นชุดควบคุมที่ถูกต้องและขนาดจะไม่เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่นถ้าเรามี ∈ D 'และค∈ D 'เราสามารถเท่าเทียมกันทั้งลบคจาก D 'และเพิ่ม Yเพื่อ D ' ดังนั้นเรามี WLOG | D ′ ∩ U | = | E | .$D'$$a \in D'$$c \in D'$$c$$D'$$y$$D'$$|D' \cap U| = |E|$

แล้วพิจารณา V สมมติว่าx ∈ Vและx ∉ D ' จากนั้นเราจะต้องมีโหนด∈ D 'ดังกล่าวว่า( x , ) ∈ E ' ดังนั้นจึงมีขอบ( x , y ) ∈ Eเช่นที่เรามีเส้นทาง( x , a , b , c , y )ในG $D = D' \cap V$$x \in V$$x \notin D'$$a \in D'$$(x,a) \in E'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$. ตั้งแต่, ข, ค∈ Uและ∈ D 'เรามีข, ค∉ D 'และเพื่อครองคเราจะต้องมีY ∈ D ' ดังนั้นในGโหนดYเป็นเพื่อนบ้านของxกับy ที่∈ D นั่นคือDเป็นชุดที่มีอำนาจเหนือสำหรับG$a,b,c \in U$$a \in D'$$b, c \notin D'$$c$$y \in D'$$G$$y$$x$$y \in D$$D$$G$

ตรงกันข้ามพิจารณา (ขั้นต่ำ) มีอำนาจเหนือชุดสำหรับG สร้างชุดควบคุมD ′สำหรับG ′เพื่อให้| D ′ | = | D | + | E | ดังนี้: สำหรับขอบ( x , y ) ∈ Eที่ถูกแบ่งย่อยเพื่อสร้างเส้นทาง( x , a , b , c , y )ในG ′เราเพิ่มaไป$D$$G$$D'$$G'$$|D'| = |D| + |E|$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a$ถ้า x ∉ Dและ y ∈ D ; เราเพิ่ม cลงใน D ′ถ้า x ∈ Dและ y ∉ D ; และอื่น ๆ ที่เราเพิ่มขเพื่อ D ' ตอนนี้สามารถตรวจสอบได้ว่า D ′เป็นชุดควบคุมสำหรับ G ′ : จากการก่อสร้างโหนดทั้งหมดใน Uจะถูกควบคุม ตอนนี้ขอ x ∈ V ∖ D ' จากนั้นก็มี y ∈ Vเช่นนั้น$D'$$x \notin D$$y \in D$$c$$D'$$x \in D$$y \notin D$$b$$D'$$D'$$G'$$U$$x \in V \setminus D'$$y \in V$และด้วยเหตุนี้ตามเส้นทาง ( x , , B , C , Y )เรามี ∈ D 'ซึ่งครอบงำx$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$a \in D'$$x$

โดยสรุปหากมีขนาดชุดk ที่มีอำนาจเหนือดังนั้นG ′จะมีชุดขนาดที่มีอำนาจเหนือk + | E | และถ้าG ′มีชุดขนาดk + | E | แล้วGมีชุดที่มีอำนาจเหนือของขนาดที่มากที่สุดk$G$$k$$G'$$k + |E|$$G'$$k + |E|$$G$$k$

แก้ไข:เพิ่มภาพประกอบ ด้านบน: กราฟดั้งเดิม ; ตรงกลาง: กราฟG ′ด้วยชุด "ปกติ" ก้น: กราฟG ′พร้อมชุดควบคุมโดยพลการ$G$$G'$$G'$