การดำรงอยู่ของเส้นทางที่เหนี่ยวนำยาวในกราฟของตัวขยาย

สมมติว่ากราฟตระกูลมีเส้นทางเหนี่ยวนำนานถ้ามีค่าคงที่ϵ > 0ซึ่งกราฟGทุกตัวในFประกอบด้วยเส้นทางเหนี่ยวนำบน| V ( G ) | ϵจุดยอด ฉันสนใจคุณสมบัติของตระกูลกราฟที่ช่วยให้มั่นใจว่ามีเส้นทางที่เหนี่ยวนำยาว โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันกำลังสงสัยว่าตัวขยายระดับคงที่มีเส้นทางเหนี่ยวนำยาวหรือไม่ นี่คือสิ่งที่ฉันรู้$\mathcal{F}$$\epsilon > 0$$G$$\mathcal{F}$$|V(G)|^{\epsilon}$

• กราฟแบบสุ่มที่มีระดับค่าเฉลี่ยคงที่ (ในรูปแบบErdős – Rényi) มีเส้นทางเหนี่ยวนำยาว (แม้จะเป็นแบบเส้นตรงขนาด) ที่มีความน่าจะเป็นสูง ดูตัวอย่างบทความของซุน
• กราฟที่ไม่ซ้ำเพื่อนบ้านแผ่ (ตามที่กำหนดโดยAlon และ Copalbo ) มีการเหนี่ยวนำขนาดใหญ่ต้นไม้ ในความเป็นจริงต้นไม้ที่ชักนำสูงสุดจะมีขนาดใหญ่ในกราฟดังกล่าว

จากข้อเท็จจริงทั้งสองนี้ฉันคาดหวังว่าตัวขยายที่เพิ่มขึ้นของ contant-degree มีเส้นทางการเหนี่ยวนำที่ยาวนาน อย่างไรก็ตามฉันไม่พบผลลัพธ์ที่เป็นรูปธรรม ข้อมูลเชิงลึกใด ๆ ที่ชื่นชมมาก

คำตอบที่ควรจะเป็นในเชิงบวกถ้ากราฟกระโดดองศาของคุณมีทั้งคุณสมบัติของการมีการขยายตัวต่อเนื่องและเส้นรอบวง อาร์กิวเมนต์จะเป็น: เริ่มต้นที่จุดสุดยอดจากนั้นสำหรับn ϵก้าวเดินในแต่ละขั้นตอนที่ถูกเลือกโดยการสุ่มในหมู่ที่ไม่ได้พาเรากลับไปที่ที่เราเป็นขั้นตอนก่อน (ดังนั้นหากกราฟเป็นd- ผิดปกติเรามีd - 1ตัวเลือกสุ่มในแต่ละขั้นตอน)$\Omega( \log n)$$n^\epsilon$$d$$d-1$

$i$$j$$i$$j$$i$$j$$n^{-\Omega(1)}$$\epsilon$$1-o(1)$

$|i-j|$$i$$j$$j> i+ \Omega(\log n)$$(i,j)$$n^{-\Omega(1)}$$v$$n^{\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$$O(1)$$v$$n^{-\Omega(1)}$