จำเป็นต้องมีภูมิหลังทางคณิตศาสตร์แบบใดสำหรับทฤษฎีความซับซ้อน

ตอนนี้ฉันเป็นนักศึกษาระดับปริญญาตรีซึ่งเพิ่งจบการศึกษาในปีนี้ หลังจากสำเร็จการศึกษาฉันกำลังพิจารณาที่จะทำงานต่อปริญญาโท TCS / ปริญญาเอก ฉันเริ่มสงสัยว่าสาขาวิชาคณิตศาสตร์ใดที่ถือว่าเป็นประโยชน์สำหรับ TCS โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีความซับซ้อน (แบบดั้งเดิม)

คุณคิดว่าจำเป็นต้องมีสาขาใดสำหรับคนที่ต้องการศึกษาทฤษฎีความซับซ้อน คุณรู้จักตำราเรียนที่ดีที่ครอบคลุมสาขาเหล่านี้หรือไม่และถ้าใช่โปรดระบุระดับความยากของพวกเขาด้วย (เบื้องต้นเกริ่นนำ ฯลฯ )

หากคุณพิจารณาสาขาที่ไม่ได้ใช้อย่างหนักในทฤษฎีความซับซ้อน แต่คุณเห็นว่าสำคัญสำหรับ TCS โปรดอ้างอิงด้วย

หากคุณดูคำตอบของคำถามTCS StackExchangeคุณจะเห็นว่ามีความเป็นไปได้ที่คณิตศาสตร์ในสาขาใด ๆ อาจมีความสำคัญในทฤษฎีความซับซ้อน ดังนั้นหากคุณสนใจคณิตศาสตร์ในสาขาที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องจริงๆให้ไปข้างหน้าเพื่อศึกษาต่อไป ถ้ามันเกี่ยวข้องกับทฤษฎีความซับซ้อนคุณจะเป็นหนึ่งในนักทฤษฎีความซับซ้อนสองสามคนที่เข้าใจมัน

คุณควรเพิ่มหนังสือของ Dexter Kozenในทฤษฎีการคำนวณลงในรายการของคุณ ครอบคลุมพื้นฐานของทฤษฎีความซับซ้อนอย่างมีประสิทธิภาพมากและรูปแบบการบรรยายสั้น ๆ นั้นยอดเยี่ยม

ในแง่ของภูมิหลังทางคณิตศาสตร์นอกเหนือจากที่กล่าวไว้ข้างต้น:

• ทฤษฎีความน่าจะเป็น
• พีชคณิตเชิงเส้นและพีชคณิตนามธรรม
• ทฤษฎีกราฟ
• ตรรกะพื้นฐาน

ฉันไม่คิดว่าคุณจะต้องเป็นผู้เชี่ยวชาญในหัวข้อเหล่านี้เพื่อเริ่มต้น แต่มันจะช่วยให้มีระดับความสะดวกสบายอย่างแน่นอน

หนังสือExtremal Combinatoricsโดย Stasys Jukna เป็น IMO ที่รู้จักกันน้อยมากในชุมชนที่ซับซ้อน มันเป็นคอลเลกชันที่ยอดเยี่ยมของเทคนิค combinatorial ที่เขียนขึ้นด้วยตาต่อการใช้งานของพวกเขาใน TCS (ส่วนใหญ่ซับซ้อน) จำนวนของเทคนิคความซับซ้อนที่สำคัญมีการกล่าวถึงในบริบท combinatorics ของพวกเขารวมถึงผลลัพธ์ที่โด่งดังเช่น monotone- และ A C 0 -วงจรต่ำกว่าขอบเขต แต่ยังมีผลลัพธ์ที่ดีมากที่คุณอาจไม่พบ และมีแบบฝึกหัดมากมาย$\bullet$$AC^0$

มันเป็นหนังสือที่ตีพิมพ์เพียงเล่มเดียวที่ปฏิบัติต่อ 'วิธีพีชคณิตเชิงเส้นในเชิงผสม' ในเชิงลึก - เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังและลื่นไหลที่จะรู้ มีร่างต้นฉบับของ Babai และ Frankl ที่เจาะลึกกว่านี้มาก แต่นั่นไม่ได้เผยแพร่หรือออนไลน์:

https://cs.uchicago.edu/page/linear-algebra-methods-combinatorics-applications-geometry-and-computer-science

$\bullet$

คำตอบก่อนหน้านี้ได้ระบุรายการพื้นฐานแล้ว: ทฤษฎีความน่าจะเป็น, combinatorics, พีชคณิตเชิงเส้น, พีชคณิตนามธรรม (ฟิลด์ จำกัด , ทฤษฎีกลุ่ม, ฯลฯ )

ฉันจะเพิ่ม:

การวิเคราะห์ฟูริเยร์ดูหลักสูตรของ Ryan O'Donnel: http://www.cs.cmu.edu/~odonnell/boolean-analysis/

ทฤษฎีการเข้ารหัสดูหลักสูตรของ Madhu Sudan: http://people.csail.mit.edu/madhu/coding/course.html

ทฤษฎีสารสนเทศหนังสือมาตรฐานคือองค์ประกอบของทฤษฎีข้อมูล: http://www.amazon.com/Elements-Information-Theory-Telecimedia-Processing/dp/0471241954

นอกจากนี้ยังมีทฤษฏีการเป็นตัวแทนการเดินแบบสุ่มและอีกมากมายที่ฉันอาจลืม ...

นอกเหนือจากสิ่งพื้นฐานอาจ:

• Combinatorics - คุณอาจพบว่าตัวเองกำลังนับสิ่งของค่อนข้างสม่ำเสมอ
• Stochastics - สำหรับการวิเคราะห์กรณีโดยเฉลี่ยและอัลกอริทึมแบบสุ่ม

ฉันชอบคณิตศาสตร์คอนกรีตโดย Knuth มันให้ภาพรวมที่ดี / ความรู้พื้นฐานของเครื่องมือสำคัญ ๆ

ถ้าคุณชอบสร้างฟังก์ชั่น (ดูgenerationfunctionologyโดย Wilf) เป็นเครื่องมือการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนก็มีประโยชน์เช่นกัน

Sanjeev Arora มีเอกสารที่ดีสำหรับผู้สำเร็จการศึกษา (สำหรับนักเรียนชั้นปีที่ 1) ที่เขาสอนเรียกว่า "ชุดเครื่องมือทางทฤษฎี" ซึ่งมีเนื้อหาพื้นฐานมากมายที่นักเรียนทฤษฎีควรรู้ มีหลายสิ่งที่คุณสามารถรอจนกระทั่งเรียนจบเพื่อเรียนรู้ แต่มันจะทำให้คุณมีความคิดที่ดีในสิ่งที่คุณต้องรู้และสิ่งที่จำเป็นต้องมีบางอย่าง

กระบวนทัศน์ทั่วไปสำหรับนักวิจัยที่ประสบความสำเร็จหลายคนในชุมชน TCS นั้นเป็นเรื่องปกติ แต่ก็ไม่เป็นสากล แต่อย่างใด: รู้พื้นฐานบางอย่างในระดับปริญญาตรีเช่นตรรกะพีชคณิตเชิงเส้นความน่าจะเป็นการหาค่าเหมาะที่สุดทฤษฎีกราฟ combinatorics พีชคณิตนามธรรมพื้นฐาน นอกเหนือจากนั้นอย่าบังคับตัวเองให้เรียนรู้สิ่งอื่นจนกว่าคุณจะคิดว่าคุณต้องการที่จะแก้ไขปัญหาที่คุณต้องดิ้นรนเป็นเวลาหลายเดือนหรือถ้าคุณคิดว่าคุณจะสนุกกับการเรียนรู้บางสิ่งเพื่อประโยชน์ของมัน

"ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าฉันต้องการมันถ้าฉันไม่เคยเห็นมาก่อน" คุณถาม? คำถามที่ดี. บางครั้งคุณก็โชคดีและรู้สึกว่า: "คุณรู้อะไรปัญหาย่อยนี้ฉันพยายามที่จะจัดการกับเสียงมากเหมือนการแปลงฟูริเยร์สิ่งที่สิ่งต่าง ๆ ของ Fred จะไม่ปิดตัวลง Fred ฉันจะต้องตรวจสอบหรือดักเฟร็ด อยู่ในห้องแล้วให้เขารีบวิ่งให้ฉันพื้นฐานอย่างรวดเร็ว " บางครั้งคุณเก็บคนที่มีความรู้มากกว่าตัวเองไว้ในห้องพูดโดยการพูดคุยสัมมนาหรืออะไรซักอย่างแล้วบ่นว่าคุณไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้จนกว่าเฟร็ดจะพูดกับ "เฮ้ฉันพนันได้เลยว่าคุณ สามารถแก้ปัญหานี้ได้ด้วยการวิเคราะห์ฟูริเยร์ฉันจะแสดงให้คุณดูว่า " ในท้ายที่สุดคุณจะได้รับกระดาษร่วมกับเฟร็ดคุณได้เรียนรู้สิ่งใหม่และคุณและเฟร็ดเป็นเพื่อนที่ดีที่สุดตอนนี้และออกไปดื่มทุกคืนวันเสาร์

ฉันคิดว่ารายชื่อสาขาคณิตศาสตร์ที่ไม่มีประโยชน์น่าจะสั้นกว่ารายการของสาขาวิชาที่มี! ฉันไม่สามารถคิดอะไรได้

ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ใด ๆ ที่น่าสนใจและ / หรืออะไรก็ตามที่ดูเหมือนว่าคุณต้องการในขณะนี้ แม้ว่าคุณจะไม่ได้ใช้มันโดยตรงมันจะช่วยให้คุณเรียนรู้สิ่งอื่น ๆ ที่คุณทำ

ความรู้เกี่ยวกับตรรกะทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานคือในความคิดของฉันเป็นบวก คุณสามารถดูหนังสือสองเล่มโดย Cori และ Lascar

ตรรกะทางคณิตศาสตร์: หลักสูตรที่มีแบบฝึกหัดตอนที่ 1

ตรรกะทางคณิตศาสตร์: หลักสูตรที่มีแบบฝึกหัดตอนที่ 2

ฉันแนะนำให้ดูหนังสือเหล่านี้:

• สหายพรินซ์ตันกับคณิตศาสตร์
• ตรรกะในวิทยาการคอมพิวเตอร์; การสร้างแบบจำลองและการใช้เหตุผลเกี่ยวกับระบบ

นอกจากนี้หัวข้อในการประชุม MFCS (ฐานรากคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์)อาจนำคุณไปสู่ภูมิหลังที่คุณอาจต้องการ (Caveat: การประชุมมีหัวข้อขั้นสูงคุณไม่จำเป็นต้องเชี่ยวชาญพวกเขาเพียงแค่พยายามให้ได้ภาพใหญ่)

ยังไม่ได้กล่าวถึงทฤษฎีจำนวน แต่เป็นเครื่องมือที่สำคัญมากสำหรับการสร้างการเข้ารหัสและความซับซ้อนเชิงทฤษฎีจำนวนมาก

ทฤษฏีการเป็นตัวแทนของกลุ่ม จำกัด (รวมถึงขอบเขตอัน จำกัด ) อาจมีประโยชน์อย่างน่าประหลาดสำหรับงานต่าง ๆ ได้แก่ :

• อัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์ ( Cohn - Kleinberg-Szegedy-Umans )

• การสร้างรหัสที่ถอดรหัสได้ในเครื่อง (ดูตัวอย่างเช่นบทความนี้โดย Klim Efremenko)

• แอปพลิเคชันในการคำนวณควอนตัม (ปัญหากลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่สำหรับกลุ่มที่ไม่ได้ใช้วิธีการแบบไม่เลือกคู่)

$S_n$

ฉันแนะนำให้อ่านหนังสือของ Garey and Johnson

คอมพิวเตอร์และ Intractability: คู่มือการทฤษฎี NP-ครบถ้วน

สามารถอ่านได้โดยมีพื้นหลังทางคณิตศาสตร์น้อยมาก ฉันคิดว่าหนังสือเล่มนี้เป็นความสุขที่ได้อ่านและฉันอยากจะแนะนำเป็นหนังสือเล่มแรกของ Papadimitriou และ Arora / Barak เมื่อคุณอ่านสิ่งนี้แล้วคุณสามารถจุ่มลงในหนังสือเล่มอื่นและระบุส่วนต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ที่คุณต้องเข้าใจในหัวข้อขั้นสูงที่คุณสนใจ

กาลครั้งหนึ่งหลักสูตรระดับปริญญาตรีCS464 (2002)ที่ UWaterloo CS ใช้ความซับซ้อนในการคำนวณของ Christos H. Papadimitriou , Addison-Wesley, 1994

หัวข้อเบื้องหลังประกอบด้วยรายการทัวริงเครื่องความไม่แน่นอนความซับซ้อนของเวลาและความสมบูรณ์แบบ NP

สำหรับพื้นหลังเรียกดูห้องสมุดของคุณใกล้กับ QA267.G57 (Goddard's แนะนำทฤษฎีการคำนวณโดยอ่านสกิมอย่างรวดเร็วหรือสองครั้งและความพร้อมใช้งานของฉันดูเหมือนจะครอบคลุมด้าน CS ของพื้นหลังฉันมีความรู้สึกบางส่วนและเป็นกลุ่ม ทฤษฎีจากด้านคณิตศาสตร์ล้วนๆก็มีประโยชน์เช่นกัน)